精品解析：北京市平谷区2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷

平谷区2025—2026学年度第一学期教学质量监控样卷 初二数学 注意事项 1．本样卷共6页，共三道大题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将样卷和答题卡一并交回． 一、选择题（下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每题2分） 1. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 宋锦作为中国古代丝织技艺杰出代表，凭借独特的织造结构与典雅的艺术风格，承载着深厚的中华传统文化底蕴与美学精髓．其纹样品类丰富、形态各异，在以下纹样中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大为原来的4倍． 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 400名学生中至少有两人生日是同一天 B. 打开电视正在播放广告 C. 抛一枚骰子朝上的数字是5 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 7. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 8. 已知，当时，y值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（ ） A 2025 B. 2026 C. 2035 D. 2037 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 10. 若分式的值为0，则x的值是______． 11. 正六边形的内角和为___度． 12. 平谷区的“近光讲堂”是一个极具特色的区域性思政教育和文化品牌．它立足本地历史文脉，汇聚各界名家．为学生们开启了一场场“追光之旅”，在活动现场设置互动提问环节，会随机抽取某班的一个问题对嘉宾提问，参加本次活动的有初一年级6个班，初二年级5个班，初三年级4个班，第一个问题抽中初二年级提问的可能性大小是______． 13. 最接近的整数是_． 14. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，可以求得 ______度． 15. 如图，等边的周长是18，是的平分线，则______． 16. 如图，在四边形中，，，点E、F分别为边上的动点，当的周长取得最小值时，_____．（用含的代数式表示） 三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分；第24-25题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，，交于点O，且O中点，求证：． 22. 在中，，，、分别是的角平分线和高线，补全图形并求的度数． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 列分式方程解应用题 文房四宝是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，其名起源于南北朝时期．某中学为丰富八年级学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买了A、B两种型号的“文房四宝”，A型号每套的售价比B型号每套的售价少10元，用1800元购买A型号和用2000元购买B型号的套数相同，求A、B型号每套的售价各是多少元． 25. 如图，在中，，，在边上求作点D，使，小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明，并补全图形． 证明：过点D作于点P ∵，∴ ∵平分， ∴（推理依据：_______） ∵，∴， 在和中， ， ∴， ∴（推理依据：________） ∵，，∴， 在中，， ∴，∴ ______（推理依据：________） ∵，∴ 26. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 27. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 28. 如图1，在等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． （1）求的度数； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，将沿对称，交于点M，过点A作的垂线交直线于点N，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷区2025—2026学年度第一学期教学质量监控样卷 初二数学 注意事项 1．本样卷共6页，共三道大题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将样卷和答题卡一并交回． 一、选择题（下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每题2分） 1. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可得解． 【详解】解：， ， 的平方根是． 故选：A． 2. 宋锦作为中国古代丝织技艺的杰出代表，凭借独特的织造结构与典雅的艺术风格，承载着深厚的中华传统文化底蕴与美学精髓．其纹样品类丰富、形态各异，在以下纹样中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，只需检查两个较小边的和是否大于最大边即可判断． 【详解】解：A．两个较小边为和，和为，等于最大边，∴ 不能组成三角形，不合题意； B．两个较小边为和，和为，小于最大边，∴ 不能组成三角形，不合题意； C．两个较小边为和，和为，大于最大边，∴ 能组成三角形，符合题意； D．两个较小边为和，和为，等于最大边，∴ 不能组成三角形，不合题意； 故选：C． 5. 如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大为原来的4倍． 【答案】B 【解析】 【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可 【详解】分别用2a和2b去代换原分式中的a和b， 得， 可见新分式是原分式的2倍． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 400名学生中至少有两人生日是同一天 B. 打开电视正在播放广告 C. 抛一枚骰子朝上的数字是5 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是正确解答的关键．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，选项A中，由于一年最多有366天，400名学生人数超过天数，根据抽屉原理，至少有两人生日相同是必然的；选项B、C、D都是随机事件，不一定发生． 【详解】解：A．一年最多有366天（包括闰年），，因此400名学生中至少有两人生日同一天是必然事件，所以选项A符合题意； B．打开电视可能播放广告或其他内容，不是必然事件，是随机事件，所以选项B不符合题意； C．抛骰子朝上的数字有6种可能，不一定是5，不是必然事件，所以选项C不符合题意； D．射击可能命中或脱靶，因此射击运动员射击一次，命中靶心，不是必然事件，是随机事件，所以选项D不符合题意． 故选：A． 7. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可． 【详解】解：∵， ∴BC=CE，∠ACB=∠DCE， ∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE， ∵， ∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 8. 已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2035 D. 2037 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 11. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 12. 平谷区的“近光讲堂”是一个极具特色的区域性思政教育和文化品牌．它立足本地历史文脉，汇聚各界名家．为学生们开启了一场场“追光之旅”，在活动现场设置互动提问环节，会随机抽取某班的一个问题对嘉宾提问，参加本次活动的有初一年级6个班，初二年级5个班，初三年级4个班，第一个问题抽中初二年级提问的可能性大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，计算总班数和初二年级班数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：总班数为初一年级6个班、初二年级5个班、初三年级4个班之和，即个班， 初二年级有5个班，因此抽中初二年级的概率为． 故答案为：． 13. 最接近的整数是_． 【答案】2 【解析】 【分析】估算得出所求即可． 【详解】解：∵， ∴， 则最接近整数是2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 14. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，可以求得 ______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，先根据三角形内角和定理得，再根据基本作图得点D在的垂直平分线上，则，，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，若，， ∴， 由作图可知，点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，等边的周长是18，是的平分线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，先根据等腰三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一的性质得，，最后由勾股定理求的长． 【详解】解：∵等边的周长是18， ∴， ∵是的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，点E、F分别为边上的动点，当的周长取得最小值时，_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识．作点A关于的对称点N、M，连接分别交于点H、G，连接、，则当点E与点H重合，点F与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点N、M，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：， ， ， ∴当点E与点H重合，点F与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分；第24-25题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简二次根式和绝对值，并计算零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可． 【详解】解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把对应分式的分子分母分解因式，再把除法变成乘法后约分，接着通分化简即可得到答案． 【详解】解： ； 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 21. 如图，，交于点O，且O是中点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先根据平行线的性质得，，再根据中点的定义得，然后证明即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵点O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 在中，，，、分别是的角平分线和高线，补全图形并求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和高线的定义，三角形内角和定理，角的和差，首先按要求补全图形，再根据三角形内角和定理得出，然后根据角平分线的定义得，根据高线的性质得，则，最后根据求解即可． 【详解】解：补全图形如下： ∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 24. 列分式方程解应用题 文房四宝是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，其名起源于南北朝时期．某中学为丰富八年级学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买了A、B两种型号的“文房四宝”，A型号每套的售价比B型号每套的售价少10元，用1800元购买A型号和用2000元购买B型号的套数相同，求A、B型号每套的售价各是多少元． 【答案】A型号每套售价90元，B型号每套售价100元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设A型号每套售价为x元，则B型号每套售价为元，根据用1800元购买A型号和用2000元购买B型号的套数相同，列出分式方程并求解． 【详解】解：设A型号每套售价为x元， 由题意，得， 化为整式方程，得， 解得， 经检验：是所列分式方程的根， （元） 答：A型号每套售价90元，B型号每套售价100元． 25. 如图，在中，，，在边上求作点D，使，小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明，并补全图形． 证明：过点D作于点P ∵，∴ ∵平分， ∴（推理依据：_______） ∵，∴， 在和中， ， ∴， ∴（推理依据：________） ∵，，∴， 在中，， ∴，∴ ______（推理依据：________） ∵，∴ 【答案】（1）见解析 （2）角平分线的性质定理；全等三角形的对应边相等；；等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作图作的平分线交于点D，点D即为所求； （2）先补全图形，根据角平分线的性质得，再证明得，然后证明，进而可得结论． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问2详解】 证明：过点D作于点P， ∵， ∴ ∵平分， ∴（推理依据：角平分线的性质定理） ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（推理依据：全等三角形的对应边相等） ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴（推理依据：等角对等边）， ∵， ∴． 故答案为：角平分线的性质定理；全等三角形的对应边相等；；等角对等边． 26. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，根据平行线的性质和勾股定理解答是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （2）由（1）得，再根据平行线的性质得，然后由勾股定理求得，再利用等积法求出，最后由勾股定理求的长． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 27. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【解析】 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 28. 如图1，在等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． （1）求的度数； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿对称，交于点M，过点A作的垂线交直线于点N，若，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）用证明，得到，结合，等量代换计算即可； （2）在上截取，连接，用证明，得到，，证明，，即可得出结论； （3）延长到点H，使得，连接，连接，交于点G，证明是等腰三角形，，是等边三角形，得到，再证明，得到，计算即可． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q是的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长到点H，使得，连接，连接，交于点G， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿对称，交于点M，， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $