精品解析：北京市平谷区2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

北京市平谷区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数学 2025.1 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列是几种著名的数学曲线 蝴蝶曲线 费马螺线 笛卡尔心形线 科赫曲线 其中是轴对称图形的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知，费马螺线，笛卡尔心形线，科赫曲线三个图形是轴对称图形，蝴蝶曲线不是轴对称图形， 故选C． 2. 如果分式的值为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分式的分母不为零且分子为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：． 故选：B． 3. 下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义，将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键． 先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A. ，与是同类二次根式； B. ，与是同类二次根式； C. ，与不是同类二次根式； D. ，与是同类二次根式． 故选：C． 4. 不透明袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有3个红球，2个白球， ∴摸出红球的可能性大小为． 故选：D． 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，据此即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A. A，O之间 B. B，C之间 C. C，D之间 D. O，B之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，因为，则，再结合数轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 则表示数的点应在O，B之间， 故选：D． 7. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 8. 如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；因为和的平分线交于点D，所以平分，则点D到三边的距离相等；当时，运用三角形内角和得，结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①是正确的； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ∴平分， 则点D到三边的距离相等； 故②是正确的； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 故③是正确的； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故④是正确的； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根数有意义的条件，根据二次根式的被开放数为非负数得到，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 10. 计算：_______；_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质化简，根据二次根式的除法法则进行运算，则，再结合二次根式的性质进行化简，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：2，． 11. “若，则”这一事件是_________（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【解析】 【分析】此题主要考查了必然事件概念以及二次根式的性质，根据二次根式的性质，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则为必然事件， 故答案为：必然事件． 12. 分式和的最简公分母是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，先整理，，得出分式和的最简公分母是，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴分式和的最简公分母是， 故答案为：． 13. 已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，算术平方根的求解，根据平方根求得a的值，结合立方根即可求得b的值，进一步求得代数式的算术平方根即可． 【详解】解：∵a的平方根分别是与， ∴，解得， ∴， 则， ∵b是27的立方根， ∴， ∴， 则的算术平方根为， 故答案为：． 14. 如图，在中，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：． 15. 如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为______ 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理、平角定义求出， 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据勾股定理，得，，设点E表示的数为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了勾股定理，数轴上两点间距离，数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得，， 设点E表示的数为， 由点A对应的数是， 根据题意，得， 解得或． 故答案为：或． 三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及二次根式的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式以及平方差公式，先根据完全平方公式以及平方差公式展开，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 19. 计算∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算， 先将除法变为乘法，同时分解因式，再约分，然后计算分式的加减． 【详解】解： ． 20 解方程： 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是关键．方程两边都乘化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 两边同乘得：， 展开：， 化简：， 解得， 检验：时，，故是增根， 所以原方程无解． 21. 已知：如图，是线段上的两点，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据“边角边”证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ． ， ． ∵在和中 ∴， ∴. 22. 已知，求代数式的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 23. 如图，． 求作：边上的高． 作法如下： （1）延长； （2）以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点，连接； （3）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （4）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； （5）连接，交的延长线于点． 所以线段是的边上的高． 根据尺规作图过程，解答下列问题． （1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵， （________________）（填推理的依据）， ∴线段是的边上的高． 【答案】（1）见解析 （2），，等腰三角形的性质 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）利用直尺和圆规依作法补全图形即可； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示； 【小问2详解】 证明：，， （三线合一）， 线段是的边上的高． 故答案为：，，三线合一． 24. 如图，点C在上，，，给出以下四个等量关系：①，②，③，④请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：______，结论：______；（填序号） （2）写出你的证明过程． 【答案】（1）②③；① （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，命题，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质与判定组成真命题即可； （2）根据全等三角形的判定证明（1）中的命题即可． 【小问1详解】 解：条件：①②或①③或①④或②③或②④或③④，结论：③或④；②或④；②或③；①或④；①或③；①或②；（答案不唯一） 【小问2详解】 证明： ∵， ， ， （1）条件：①②，结论：③或④时 ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴③，④． （2）条件：①③，结论：②或④时 ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴②，④． （3）条件：①④，结论：②或③时 ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴②，③． （4）条件：②③，结论：①或④时 在和中 ， ∴． ∴，④． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①． （5）条件：②④，结论：①或③时 在和中 ， ∴． ∴，③． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①． （6）条件：③④，结论：①或②时 在和中 ， ∴． ∴，②． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①． 25. 2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 【答案】300米 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米，列出方程求解即可． 【详解】解：设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义， 答：小明乐跑活动后每分钟跑300米． 26. 如图，在中，，平分，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解答本题的关键． 作于点E，根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求得，再证明，可得，然后设，则，再根据勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：作于点E，如图： ∵，平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 即， 解得， ∴． 27. 【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 （1）小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． （2）如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①作图见解析；②；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据即可证明，进而可以解决问题； （2）①根据题意即可补全图形； ②延长到点，使，证明，得，，所以，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴在证明时，使用的判定依据是， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：如图，即为补全的图形； ②． 证明：如图，延长到点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点． （1）下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号） （2）在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数； （3）如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，， ①补全图形； ②求的长． 【答案】（1）① （2） （3）①补图见解析 ② 【解析】 【分析】（）根据均分点的定义判断即可求解； （）如图，连接并延长交于点，由均分点的定义和等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求解； （）①根据题意画出图形即可；②过点作交延长线于点，由均分点的定义可得，进而由勾股定理得，再证明，得到，，即得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴点是关于顶点均分点； ②∵， ∴是的角平分线， ∴点到的距离相等，设为， 则，， ∵与不一定相等， ∴与也不一定相等， ∴点不一定是关于顶点的均分点； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交于点， ∵点是关于顶点的均分点， ∴， 即为的中线， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：①补全图形如下： ②过点作交延长线于点， ∴ ∵点是关于顶点的均分点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线和角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市平谷区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数学 2025.1 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列是几种著名的数学曲线 蝴蝶曲线 费马螺线 笛卡尔心形线 科赫曲线 其中是轴对称图形的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如果分式的值为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A. A，O之间 B. B，C之间 C. C，D之间 D. O，B之间 7. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 计算：_______；_______． 11. “若，则”这一事件是_________（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 12. 分式和的最简公分母是_________． 13. 已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为_______． 14. 如图，在中，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得_______度． 15. 如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为______ 16. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为________． 三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 计算： 18. 计算： 19. 计算∶ 20. 解方程： 21. 已知：如图，是线段上的两点，，，．求证：． 22. 已知，求代数式值． 23 如图，． 求作：边上的高． 作法如下： （1）延长； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接； （3）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （4）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； （5）连接，交的延长线于点． 所以线段是的边上的高． 根据尺规作图过程，解答下列问题． （1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵， （________________）（填推理的依据）， ∴线段是的边上的高． 24. 如图，点C在上，，，给出以下四个等量关系：①，②，③，④请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：______，结论：______；（填序号） （2）写出你的证明过程． 25. 2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 26. 如图，在中，，平分，若，，求的长． 27. 问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 （1）小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． （2）如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 28. 定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点． （1）下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号） （2）在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数； （3）如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，， ①补全图形； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $