1.2 空间向量基本定理习题课 学历案-山东省枣庄市第三中学2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学历案聚焦“空间向量基本定理”习题课，通过知识点与方法回顾搭建基础，设置课本习题精练（如基底判断、向量表示、线面垂直证明）和典型习题过关（选择、填空、综合证明），构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于分层递进的习题设计，基础题巩固基底概念与向量表示，综合题如正方体中夹角计算、四面体性质证明，培养学生空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），参考答案详解助力学生用向量语言表达几何关系（数学语言），体现学生自主练习与教师精准指导的结合。

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第5期) 主备人：曹燕 审查人：马艳萍使用日期： 2024.9 1.2空间向量基本定理习题课 一.知识点与方法回顾 二课本习题精练 1.若{a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(). A.b+c、b、b-c B.a、a+b、a-b C.a+b、a-i、c D.a+b、a+b+c、e 2.如图，在三棱柱ABC-AB'C中，己知AA=a,AB=b,AC=c,点M,N分别是BC', BC'的中点，试用基底{a,五，C表示向量AM,AN: B M 3.如图，平行六面体ABCD-A,B,CD的底面ABCD是菱形，且∠CCB=∠C,CD=∠BCD=60 ,CD=CC,求证：CA,⊥平面C,BD. C 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,,BD的中点，点G在CD 上，且CG=二CD 4 D B E B (1)求证：EF⊥B,C; (2)求EF与CG所成角的余弦值. 5.己知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 三、典型习题过关 1.以下四个命题中正确的是() A.基底a,6,c中可以有零向量 B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C.△ABC为直角三角形的充要条件是AB.AC=0 D.空间向量的基底只能有一组 2.(多选)设{a,b,c构成空间的一个基底，则下列说法正确的是() A.存在不全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0 B.对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z,使得p=xG+yb+zC C.在a,b,c中，能与ā+b,a-b构成空间另一个基底的只有c D.存在另一个基底{a,b,,使得a+26+3=a+26+3 3.在三棱锥O-ABC中，AD=DB,CE=2EB,若DE=xOA+yOB+zOC,则() 111 A.x= 2、 62=3 ys1,=-1 B.x= 3 111 111 C.x=-2y=62= D.x=2y=62=3 图所示，在四面体ABCD中，△ABC为等边三角形，AB=1,CD=),∠ACD AB⊥CD,则BD=() 3 A. B. C.5 D.V3 2 2 2 5.设O-ABC是正三棱锥，G,是△ABC的重心，G是0G,上的一点，且OG=3GG,若 OG=x0A+yOB+zOC,x+y+z=(). 1 A.4 D.1 6.三棱柱ABC-ABC中，M,N分别是AB,BC1上的点，且BM=2AM,CW=2BN.若 ∠BAC=90°，∠BAA=∠CAA=60°，AB=AC=AA=1,则MN的长为 7.如图，已知正方体ABCD-AB'CD',CD'和DC相交于点O,连接AO,求证A0⊥CD'. 8.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=4,AA=5,∠DAB=60°，∠BAA=60°， ∠DAA=60°，M,N分别为DC,C,B,的中点. (1){a,b,c构成空间的一个基底，用它们表示MN,AC,设AB=a,AD=i,AA=c. (2)求AC,与MN的夹角. 1.2空间向量基本定理习题课参考答案 二课本习题精练 1.c2w-a+6d,N-i++5 3.【详解】设CB=a,CD=b,CC=c, 由于四边形ABCD为菱形，则CB=CD=CC,即日==， 所以，6a=eos60=,同理可得a万=c=, 由题意可得CA=a+b+c,BD=b-a, 所以，CA-BD=(a+i+c)6-a=6-a+c.i-ca=0,所以，C41BD, 同理可证CA⊥BC, 因为BD∩BC,=B,因此，CA⊥平面CBD. 4【答案】(1)证明见解析；(2)y5 2 5.【详解】 已知：四面体SABC中，E、F、G、H、M、N分别是对应各棱的中点，且 EF=GH =MN 求证：SA⊥BC,SB⊥AC,SC⊥AB 证明：设SA=a，,SB=b,SC=, 则F-F-E-号6+小a-6+-小， 丽=丽-G=-a+-a+6-d, 在：6a可将网-a网.则56+8-到a+6- 所以(6+c-a'=(a+b-c, 由此可得0=(6+c-a-(a+6-c=4i(c-), 所以b·(c-)=0,即SB.AC=0, 所以SB⊥AC,即SB⊥AC,同理可证SA⊥BC,SC⊥AB, 故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直. 三、典型习题过关 1.c 2.【答案】BCD 【解析】A选项，假设存在不全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,不妨令x≠0，则 a=-上b-三c,此时ā，万，c共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，故A错： B选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组x,y,z),使 得p=xa+yb+zC，,即B正确； c选项，因为a=a+6列+a-列，6=a+列-a-列，而c不能由a+6,a-5表示出， 即向量a+b,a-b,c不共面，因此a+b,a-b,c可以构成一组基底，即C正确； D选项，若{a',b',c与{a,b,c都是构成空间的基底，如果a+26+3=0,若a=-a,b=-b', c=-c,则a+2b+3c=a+2b+3c=0,即{a',b',c与{a,b,c是不同的基底，故D正确.故 选BCD. 3.【答案】C 【解析】由题意D是AB中点，.OD=(OA+OB), XCE=2EB.WOE-OC+CE-0C+2CB-0C+2(0B-0C)-L0C+208. 3 DE=0E-0D=}0c+0B-10A, 6 若DE二DA+vOB+zOC,则x三-方，立=克=故选C. 4.【答案】D 【解析】方法一：依题意，BD=BA+AC+CD. 因为△ABC为等边三角形，AB=1,CD=7,∠ACD=60,AB1CD, 所以BD-VBD=8A+Ac+CD) 6 =BA'+AC+CD+2BA.AC+2AC.CD+2BA.CD -+1++2x1x1xcos120+2x1x3×eos120+2x0= .故选D. 方法二： AC=AB=1,CD=,∠ACD=60°， 六4D=VAC2+CD2-2·AC-CD.cos∠ACD=5 .AD2+CD2=AC2,即AD⊥CD. ,CD⊥AB,AB AD=A, CDL BD,BC=1→BD=S .故选D. 2 5.【答案】C 6.【答案】 3 【解析】 如图设AB=a,AC=b,AA=c, 所以M=MA+4B+BN=BA+AB+5B,C -+B+4c-=6+c+4=a+6+d 因为a+i+c=a+万+c2+2a.b+2ac+26.c =1+1+1+0+2×1×1×c0s60°+2×1×1×c0s60°=5， 所以派-6+d小-5 B 7.【解析】 因为正方体ABCD-A'B'CD',所以CD⊥CD',AD⊥平面CCDD', 又因为CD'c平面CCDD',所以AD⊥CD', 又因为CD∩AD=D,所以CD'⊥平面AC'D, 又因为AOc平面ACD,所以AO⊥CD'. 8【解】因为项-wC+C-0GCa-号西-而-0-， 2 2 AC=AB+BC+CC=a+b+c, 所以M-0-,C=0+4e: 2因为w.ac-a-pja6-d a2+a-+ac-6a-6-16c 1-21 2 2 ×42+1 1 1 1 ×4×4×二+二×4×5× I-Ix4-x4x5xI 2 2 22 1_1x4×4 22 22 2 2 =0, 所以弧14C,所以4C与MN的夹角为号 6