精品解析：山东省济宁市育才中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

育才中学2025-2026学年度高二上学期阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 假设，，且A与相互独立，则（ ） A. 0.9 B. 0.75 C. 0.88 D. 0.84 2. 已知， ，且，则的值为（ ） A. B. 5 C. －6 D. 10 3. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知双曲线，以其右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（ ） A. B. 30 C. D. 18 8. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 直线经过点，则点到的距离为 D. 直线的方向向量，平面的法向量，则 10. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A. 短轴长为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 11. 在数列中，，则下列结论正确的是（ ） A. 对为递减数列 B. 当时，对任意常数恒成立 C. 当时，对任意常数有解 D. 当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 13. 已知等比数列满足，则数列的通项公式______. 14. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某手机配件生产厂为了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果为： 等级 一等品 二等品 次品 甲车间配件频数 55 33 12 乙车间配件频数 65 27 8 其中一、二等品为正品. （1）分别估计甲、乙车间生产出的配件是正品的概率； （2）分别从甲、乙车间随机抽取一件产品，求抽取的两件产品中存在次品的概率. 16. （1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 17. 如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程. 19. 如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）若轴，求四边形的面积； （2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才中学2025-2026学年度高二上学期阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 假设，，且A与相互独立，则（ ） A. 0.9 B. 0.75 C. 0.88 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式求得，再根据和事件的概率计算即可求得答案. 【详解】由题意，，且A与相互独立， 则, 故， 故选：C 2. 已知， ，且，则的值为（ ） A. B. 5 C. －6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可． 【详解】因为， ，且， 所以，解得． 故选：A． 3. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件可得，即可求参数，并代入验证是否含重合情况. 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得， 解得或， 当时，代入可得与验证两条直线不重合， 当时，代入可得与验证两条直线不重合. 故选：C 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，设公差为， 所以，，， 所以数列，，是等差数列，公差为， 所以，解得， 故选：B 5. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且半径为2，则圆心到直线的距离求解即可. 【详解】圆心，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离为，解得; 故答案为：B 6. 已知双曲线，以其右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与渐近线相切列方程，求得，再根据即可求得答案. 【详解】双曲线的渐近线为， 因为以为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切， 所以到渐近线的距离为，即， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 7. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（ ） A. B. 30 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 8. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 直线经过点，则点到的距离为 D. 直线的方向向量，平面的法向量，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由，得到为钝角或平角判断；对B，假设三个向量共面，则是否成立判断；对C，根据，可得为所求；对D，根据与是否共线判断. 【详解】对A：由，所以为钝角或平角，故A错误； 对B：假设共面，则存在，使得成立. 则，无解，所以假设不成立，即不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确； 对C：因为，， ，所以， 所以即为点到的距离，又，故C正确； 对D：因为不存在实数使得，所以与不共线，所以不成立，故D错误. 故选：BC 10. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A. 短轴长为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程得到的值，利用公式求出的值，利用公式分别求出短轴长，离心率，从而可判断选项A和B的正误；设点纵坐标为，则，利用三角形面积得解；利用点到直线的距离公式求出以线段为直径的圆的圆心到直线距离，从而得到结论. 【详解】对于A，椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 短轴长为，故A错误； 对于B，半焦距，椭圆的离心率，故B正确； 对于C，设点纵坐标为，则， 则的面积，故C错误； 对于D，以线段为直径的圆的圆心到直线距离， 可得直线与圆相离，故D正确. 故选：BD. 11. 在数列中，，则下列结论正确的是（ ） A. 对为递减数列 B. 当时，对任意常数恒成立 C. 当时，对任意常数有解 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：通过判断数列不是一个单调递增数列，有可能是常数列来判断；对于B：通过A的单调性即可判断；对于C：利用数列极限定义可判断；对于D：通过递推公式变形，再构造放缩可求. 【详解】对A选项：由，， 故， 当时数列单调递减，当时，数列为常数列，故A错误； 对B选项：由A选项可知当时数列单调递减，故数列的最大项为， 所以对任意常数恒成立，故B正确； 对C选项：由A选项可知当时数列单调递减，且， 当时，，故数列为单调递减的正项数列，根据极限定义可知对任意常数故C正确； 对D选项：由，故， 即， 故有，，， ， 累加有，即，故，， 故，即有， 又， 故当时，， ，，， 又， 累加有，， 即， 即，故， 故，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知等比数列满足，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 14. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某手机配件生产厂为了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果为： 等级 一等品 二等品 次品 甲车间配件频数 55 33 12 乙车间配件频数 65 27 8 其中一、二等品为正品. （1）分别估计甲、乙车间生产出的配件是正品的概率； （2）分别从甲、乙车间随机抽取一件产品，求抽取的两件产品中存在次品的概率. 【答案】（1）甲、乙正品的概率分别为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算出对应频率，从而可得概率的估计值； （2）解法一：根据独立事件和对立事件的概率计算公式求得结果；解法二：根据互斥事件和对立事件以及独立事件的概率计算公式求得结果. 【小问1详解】 由数表可知，甲车间生产出配件的正品的频率为， 故甲车间生产出配件的正品的概率的估计值为， 乙车间生产出配件的正品的频率为， 故乙车间生产出配件的正品的概率估计值为. 【小问2详解】 解法一：令事件“甲车间抽取的产品是正品”，事件“乙车间抽取的产品是正品”， 事件“两件产品中存在次品”，则“两件产品都是正品”， 因为，相互独立，所以， 所以. 解法二：令事件“甲车间抽取的产品是正品”，事件“乙车间抽取的产品是正品”， 事件“两件产品中存在次品”，则， 因为，，两两互斥，且，相互独立， 所以 ， 所以. 16. （1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组计算即可. （2）利用为等差数列求出表达式，利用求出表达式，进而求出的通项公式. 【详解】（1）设的公差为． 由题意知，解得， 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 又，得， 所以，也符合该式． 所以，. 17. 如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【答案】（1） 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面. （2） （3） 不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 【解析】 【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该法向量垂直，证明线面平行； （2）由线面角的向量求法求得直线与平面所成角的余弦值； （3）设存在点，使得平面，根据线面垂直的向量证法求得参数的值，从而判断不存在点，使得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意求得，代入即可求解； （2）由题意可得，分直线斜率不存在，直线斜率为，直线斜率存在三种情况，结合韦达定理列式计算可解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在轴上， 因为椭圆的一个顶点为，所以， 因为离心率为，则，解得， 所以， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意可知，若是直角三角形，则只能，即， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 将代入计算可得，取， 此时线段的垂直平分线与轴交于点， 则， 因为，所以不是直角三角形，不符合题意舍去； 当直线斜率为时，此时线段在轴上， 由对称性可知，线段的垂直平分线为轴，故点位置不确定，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 直线与椭圆联立方程可得，得， 因为在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点，则， 则，， ， ， 线段的中点坐标为， 所以线段垂直平分线方程为， 令，则，即， ， 则， 即， 即， 化简可得，解得， 所以，即或. 19. 如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）若轴，求四边形的面积； （2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）证明:设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明出，分析可知，求出、，即可得出，结合三角形的面积公式可得出答案； （2）设，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出，同理有，进而可知、是方程的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立； （3）分析可知点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，分析可知，点在以为直径的圆上，又可知线段为该圆的直径，即可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $