寒假专项提升 专题6 比的认识（专项训练）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

2025-2026学年六年级数学上册寒假专项提升（北师大版） 专题六：比的认识 一、本单元知识考点 1. 比的意义与读写：理解比表示两个数相除的关系，掌握比的正确读写方法（如 读作“3比5”），能准确区分比、分数与除法的联系与区别。 1. 比的基本性质：掌握“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”的性质，并能运用性质化简比。 1. 化简比与求比值： · 化简比：将比化为最简整数比（前项和后项互质），包括整数比、小数比、分数比的化简； · 求比值：用比的前项除以后项，结果可以是整数、小数或分数。 1. 比的应用： · 按比例分配问题：根据已知比将一个总量分成若干部分，解决生活中分配物资、路程、工作量等实际问题； · 比与分数、百分数的综合应用：结合分数乘法、除法知识，解决与比相关的复合应用题。 1. 连比的认识与应用：理解连比的含义（如 ），能将两个相关比转化为连比，解决多量之间的分配问题。 二、本单元知识重难点的突破方法 1. 比的意义突破：结合具体情境（如路程与时间的关系、物品数量的对比），通过“谁是谁的几倍”“谁占谁的几分之几”转化为比，借助线段图直观呈现两个量的倍数关系，明确比的后项不能为0（与除法中除数不能为0、分数中分母不能为0的一致性）。 1. 比的基本性质突破：类比分数的基本性质和商不变的性质，通过举例验证（如 同时除以2得 ，比值均为 ），总结性质核心“同时乘除、非零数、比值不变”，通过对比练习（化简比与求比值）避免概念混淆。 1. 化简比与求比值突破： · 整数比化简：前项和后项同时除以最大公因数； · 小数比化简：先将前项和后项同时乘10、100等转化为整数比，再化简； · 分数比化简：前项和后项同时乘分母的最小公倍数转化为整数比，再化简； · 明确区别：化简比结果是一个比（有前项、后项和比号），求比值结果是一个数（无单位，除非情境特殊）。 1. 按比例分配问题突破： · 关键步骤：①求出总份数；②算出每份对应的量（总量÷总份数）；③根据各部分所占份数求出对应量； · 辅助方法：用分数乘法思路理解（各部分量=总量×对应份数/总份数），通过画线段图拆分总量，直观呈现各部分与总量的关系； · 连比问题：先统一中间量的份数（如甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，统一乙为12，转化为甲:乙:丙=8:12:15），再按比例分配。 三、专项提升训练题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每题2分，共20分） 1. 一辆汽车3小时行驶240千米，路程与时间的比是_______，比值是_______，这个比值表示___________________________。 1. ___ ___ ___ ___ （填小数） 1. 把 化成最简整数比是________，比值是________。 1. 甲、乙两数的比是 ，甲数比乙数多12，甲数是________，乙数是________。 1. 一个三角形三个内角的度数比是 ，这个三角形是________ 三角形（按角分类），最大内角是________度。 1. 把30克盐溶解在120克水中，盐与水的比是________，盐与盐水的比是_______________。 1. 一项工程，甲队单独做需8天完成，乙队单独做需10天完成，甲、乙两队工作效率的比是__________。 1. 一个长方形的周长是48厘米，长与宽的比是 ，这个长方形的面积是__________平方厘米。 1. 已知甲:乙=3:4，乙:丙=2:5，那么甲:乙:丙=_______:_______:__________。 1. 学校图书馆科技书、故事书、绘本的本数比是 ，其中故事书有150本，科技书有________本，绘本有________本。 二、判断题（每题1分，共5分） 1. 比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。（ ） 1. 化简 的结果是4。（ ） 1. 甲数是乙数的 ，则甲、乙两数的比是 。（ ） 1. 把20克糖放入100克水中，糖与糖水的比是 。（ ） 1. 若 ，则 ， 。（ ） 三、选择题（每题2分，共10分） 1. 下面与 比值相等的比是（ ） A. B. C. D. 1. 化简 的正确过程是（ ） A. B. C. D. 直接写成 1. 甲、乙、丙三人的零花钱比是 ，已知丙比甲多21元，三人共有零花钱（ ）元 A. 70 B. 42 C. 21 D. 105 1. 一个比的前项扩大到原来的3倍，后项缩小到原来的 ，比值（ ） A. 扩大到原来的9倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 扩大到原来的3倍 1. 用48厘米长的铁丝围成一个长方体框架，长、宽、高的比是 ，这个长方体的体积是（ ）立方厘米 A. 48 B. 64 C. 96 D. 128 四、计算题（共30分） 1. 求比值（每题2分，共12分） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 吨 千克 1. 化简比（每题2分，共12分） （1） （2） （3） （4） （5） 小时 分钟 （6） 平方米 平方分米 1. 按要求计算（每题3分，共6分） （1）已知 ， ，求 的值。 （2）已知 ， ，求 。 五、解决问题（每题5分，共35分） 1. 某农场种植小麦、玉米和大豆的面积比是 ，已知小麦种植面积比大豆多120公顷，三种作物各种植多少公顷？ 1. 学校合唱队共有120人，男生人数与女生人数的比是 ，后来又有几名男生加入，这时男生与女生人数的比是 ，加入的男生有多少人？ 1. 甲、乙两车同时从相距450千米的两地相对开出，经过3小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是 ，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 1. 用水泥、沙子和石子按 的比例配制混凝土，现有水泥12吨，沙子15吨，石子25吨，最多能配制多少吨这样的混凝土？ 1. 一个长方形的长和宽的比是 ，如果长减少5厘米，宽增加3厘米，就变成一个正方形，原来长方形的面积是多少平方厘米？ 1. 某工厂有三个车间，第一车间与第二车间人数的比是 ，第二车间与第三车间人数的比是 ，已知第一车间有48人，三个车间共有多少人？ 1. 学校组织“书香浸润寒假”读书活动，四年级（1）班同学共读两类书籍：科普书和文学书。已知科普书与文学书的阅读本数比是，且文学书比科普书多阅读了12本。该班同学科普书和文学书各阅读了多少本？两类书籍一共阅读了多少本？ 参考答案及解题分析 一、填空题（每题2分，共20分） 1. 答案： ；80；汽车每小时行驶的路程（速度） 分析：路程与时间的比为行驶路程比时间，即 ；比值为 ，路程与时间的比值表示速度。 1. 答案：3；4；20；0.75 分析：分数与比的关系为分子:分母， ；根据分数与除法的关系， ，除数=被除数 商， ； 。 1. 答案： ；2 分析：先统一形式， ，则 ；比值为 。 1. 答案：30；18 分析：甲、乙两数的份数差为 份，对应实际差12，每份为 ；甲数= ，乙数= 。 1. 答案：直角；90 分析：三角形内角和为180°，总份数 份，最大内角占5份，度数为 ，有一个角是直角的三角形是直角三角形。 1. 答案： ； 分析：盐与水的比为 ；盐水质量= 克，盐与盐水的比为 。 1. 答案： 分析：工作效率=工作总量 工作时间，设工作总量为1，甲效率= ，乙效率= ，效率比为 。 1. 答案：135 分析：长方形周长= （长+宽），长+宽= 厘米，总份数 份，每份= 厘米，长= 厘米，宽= 厘米，面积= 平方厘米。 1. 答案：3；4；10 分析：统一乙的份数，甲:乙=3:4，乙:丙=2:5=4:10，所以甲:乙:丙=3:4:10。 1. 答案：120；90 分析：故事书占5份对应150本，每份= 本，科技书= 本，绘本= 本。 二、判断题（每题1分，共5分） 1. 答案： 分析：比的基本性质中“相同的数”必须排除0，因为比的后项不能为0，所以原题缺少“0除外”的条件，错误。 1. 答案： 分析：化简比的结果是一个比， ，而4是比值，不是最简比，错误。 1. 答案： 分析：设乙数为3，则甲数为2，甲、乙两数的比为 ，正确。 1. 答案： 分析：糖水质量= 克，糖与糖水的比为 ，不是 ，错误。 1. 答案： 分析： 表示 和 的比值为 ， 和 可以是3和4，也可以是6和8、9和12等，并非固定值，错误。 三、选择题（每题2分，共10分） 1. 答案：A 分析： 的比值为 ，选项A ，与原题比值相等；B ，C ，D ，故选A。 1. 答案：C 分析：化简分数比需先乘分母最小公倍数转化为整数比， 的最小公倍数是9，两边同时乘9得 ，再化简为 ，符合步骤的是选项C；A是求比值，B是求比值，D步骤错误，故选C。 1. 答案：A 分析：丙比甲多 份，对应21元，每份= 元，总份数 份，总零花钱= 元，故选A。 1. 答案：A 分析：设原比为 ，比值为 ；前项扩大3倍为 ，后项缩小到 为 ，新比值为 ，即扩大到原来的9倍，故选A。 1. 答案：A 分析：长方体棱长和= （长+宽+高），长+宽+高= 厘米，总份数 份，每份= 厘米，长= 厘米，宽= 厘米，高= 厘米，体积= 立方厘米，故选A。 四、计算题（共30分） 1. 求比值（每题2分，共12分） （1）答案： （2）答案：0.5 （3）答案： （4）答案：5 （5）答案：1 （6）答案：4 分析：求比值时先统一单位（如第6题），再用前项除以后项，结果化为最简形式。 1. 化简比（每题2分，共12分） （1）答案： （2）答案： （3）答案： （4）答案： （5）答案： （6）答案： 分析：化简比需先统一单位（如第5、6题），再根据比的类型选择对应方法转化为整数比，最后除以最大公因数化为最简整数比。 1. 按要求计算（每题3分，共6分） （1）答案：15 分析：根据比与分数的关系， 是 的 ，代入 的值即可求出 。 （2）答案： 分析：统一 的份数， 和 的最小公倍数是 ，将两个比中 的份数都化为 ，再写出连比。 五、解决问题（每题5分，共35分） 1. 答案：小麦200公顷，玉米120公顷，大豆80公顷。 算式及计算过程： 总份数= 份，小麦比大豆多 份，对应120公顷，每份= 公顷 小麦： （公顷） 玉米： （公顷） 大豆： （公顷） 答：小麦种植200公顷，玉米种植120公顷，大豆种植80公顷。 1. 答案：15人 算式及计算过程： 女生人数不变，原来男生:女生=3:5，女生占5份，总人数120人，每份= 人，女生人数= 人 后来男生:女生=4:5，女生5份对应75人，每份= 人，后来男生人数= 人 原来男生人数= 人，加入男生人数= 人 答：加入的男生有15人。 1. 答案：甲车每小时行70千米，乙车每小时行80千米 算式及计算过程： 速度和=总路程 相遇时间= 千米/小时 总份数= 份，每份= 千米/小时 甲车速度= 千米/小时，乙车速度= 千米/小时 答：甲车每小时行70千米，乙车每小时行80千米。 1. 答案：50吨 算式及计算过程： 按比例 ，先判断哪种材料不足： 水泥12吨，对应2份，每份= 吨，需要沙子= 吨（现有15吨，不足） 沙子15吨，对应3份，每份= 吨，需要水泥= 吨（现有12吨，足够），需要石子= 吨（现有25吨，足够） 所以以沙子为标准，总份数= 份，总吨数= 吨 答：最多能配制50吨这样的混凝土。 1. 答案：864平方厘米 算式及计算过程： 长和宽的份数差= 份，长减少5厘米、宽增加3厘米后变成正方形，说明长比宽多 厘米，1份=8厘米 原来长= 厘米，原来宽= 厘米，面积= 平方厘米 答：原来长方形的面积是864平方厘米。 1. 答案：188人 算式及计算过程： 第一车间:第二车间=4:5，第一车间48人对应4份，每份= 人，第二车间人数= 人 第二车间:第三车间=3:4，第二车间60人对应3份，每份= 人，第三车间人数= 人 答：三个车间共有188人。 7. 解题方法分析： 本题考查比的应用，核心是通过“两个量的比”和“两个量的差值”求出每份的数量，再分别计算两个量的具体数值及总和。步骤如下：①根据比确定两个量的份数差；②用差值除以份数差得到每份的数量；③用每份数量分别乘两个量的份数，求出各自的本数；④将两个量的本数相加得到总数。 2. 算式与计算过程： · 第一步：计算份数差 科普书占3份，文学书占5份，份数差为： 5 - 3 = 2（份） · 第二步：求出每份的本数 已知文学书比科普书多12本，对应2份，因此每份的本数为： 12 （本） · 第三步：计算科普书的阅读本数 科普书占3份，总本数为： 6 （本） · 第四步：计算文学书的阅读本数 文学书占5份，总本数为： 6 （本） · 第五步：计算两类书籍的总阅读本数 方法一：将两类书籍本数相加 18 + 30 = 48（本） 3. 答：该班同学科普书阅读了18本，文学书阅读了30本，两类书籍一共阅读了48本。 2 学科网（北京）股份有限公司 $