第二章 一元二次方程 专题练习2025－2026学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程专题练习 专题1 一元二次方程的特殊解法- 换元法 名师指导 换元法又称变量替换法，是解题的常用方法之一，对于结构比较复杂的代数式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化. 在使用换元法时要有利于计算，换元后要注意新变量的取值范围，例如令 若x可取全体实数，则t≥0，新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小，也不能扩大. 针对训练建议用时:12 min 1.在分式方程 中，设 可得到关于y的整式方程为( ) 2.※已知实数x满足的值是 ( ) A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2 3.阅读材料：为解方程 可将方程变形为 然后设 则 原方程化为 解①得 当 时， 无意义，舍去；当 时， 解得 原方程的解为 (1)利用以上学习到的方法解下列方程： (2)若实数x满足 求代数式 的值. (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 专题2 一元二次方程的特殊 ①解法——十字相乘法 针对训练建议用时:10 min 1.分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：(acx²+(ad+ bc)x+ bd= (ax+b)(cx+d),这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后相加等于一次项系数. 例如： 交叉相乘后相加，验证一次项系数：2×3+1×(-1)=5 参考以上方法解方程： 2. 若关于x的方程( 的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围. 专题3解含绝对值的一元二次方程 针对训练 1.阅读下面的例题与解答过程： 例：解方程： 解：当x≥0时，原方程可化为 解得 (不合题意，舍去)； 当x<0时，原方程可化为 解得=1(不合题意，舍去)， ∴原方程的解是 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值.这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论.请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： 2.解方程： 专题4“配方法”的应用 名师指导 配方法在初中数学中占有非常重要的地位，通过配方法将一个式子或者一个式子的某一部分化成一个或几个完全平方式的形式，是恒等变形的重要手段，以挖掘题目中的隐含条件.利用完全平方式的非负性，可以求代数式的最值及取得最值的条件、通过作差法比较大小等等. 分类训练 建议用时:20 min 类型一 求多项式的最值 1.|一题多解(2023·连云港中考改编)若 x,y为实数)，求W 的最小值. 类型二 比较大小 2.已知a，b满足等式 求x，y的大小关系. 类型三 求多项式的参数 3.已知 当M>N恒成立时，求m的取值范围. 类型四 利用非负数的性质求值或证明 4.若a,b,c表示. 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由. 专题5 根的判别式的应用 分类训练 建议用时:15 min 类型一 判断一元二次方程根的情况 1. 关于x的方程 的根的情况，正确的是 () A.无实数根 B.一个实数根 C.两个相等的实数根 D.两个不相等的实数根 2求证：关于x的一元二次方程 定有实数根. 类型二求方程中的值或取值范围 3.关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是 ( ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2 4.关于x 的一元二次方程 有实数根，k的取值范围是 . 5.已知关于x的一元二次方程 若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形的边长. 类型三 将代数式转化为二次方程求最值或取值范围 6. 若实数x，y满足 则x的最大值为 7. 若a是实数，且 求m的取值范围. 专题1 一元二次方程的特殊 解法——换元法 1. D 2. D 解析:令 则 即(t+2)(t-1)=0,解得 无解 故选D. 3.(1)①设 得 解得 当 时， 解得 当 时， 解得x=3或-1,∴原方程的解为 ②设 得 解得 当y₁= 时， 无解；当y₂=1时， 即 5x=0,解得 经检验， 是原方程的解. (2)令 则原方程可化为 解得 即 或2.当 时， 原方程没有实数根，舍去；当 时 成立；故 (3)设最小正整数为x,则x(x+1)(x+2)(x+3)=24,即即 3x+2)=24,令 则原方程可化为 解得y₁= 为正整数，∴y>0,∴y=x²+3x=4,即 解得 (舍去)，故这四个连续正整数为1，2，3，4. 专题2一元二次方程的特殊 解法-一十字相乘法 1. (1)x²+2x-35=0,(x+7)(x-5)=0,x₁=-7,x₂=5. 2. ①当 时,m=±1.当m=1时,可得 符合题意；当m=-1时,可得 不符合题意. ②当 时,(1-m²)x²+2mx-1=0,[(1+m)x-1][(1-m)x+ 关于x的方程( 2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数， 解得m>0; 解得m>2.故m>2.综上可得，实数m的取值范围是 m=1或m>2. 专题3 解含绝对值的一元二次方程 1.(1)当x≥0时,原方程可化为 解得 当x<0时，原方程可化为 解得 (舍去). ∴原方程的解为 (2)当x≥1时，原方程可化为 即 解得 (舍去),x₂=6;当x<1时,原方程可化为 即 解得 (舍去).∴原方程的解为x=6或x=-4. 2.(1)当2x-1≥0,即 时，原方程可化为 解得 当2x-1<0,即 时，原方程可化为 解得 综上可得，原方程的解为. (2)当2x+3≥0,即 时，原方程化为 整理得 解得 当2x+3<0,即 时，原方程化为 整理得 15=-44<0，∴此一元二次方程无实数根.综上所述，原方程的解是 专题4 “配方法”的应用 1 ²-4. x+ ,y均为实数，∴ 且 与(x+2)²能同时等于0,∴W≥-2,即W的最小值为-2. 3.由题意作差得 >N恒成立，且( 且(x-y)²和 能同时等于0 4.△ABC 为等边三角形.理由: 即 c² a=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形. 专题5 根的判别式的应用 1. A 即Δ≥0，∴原方程一定有实数根. 3. D 4. k≤1且k≠0 5.∵平行四边形是菱形，∴邻边相等，∴方程有两个相等的实数根,∴ 此时方程为 解得 ∴ 菱形边长为2. 6. 解析：由题意得 此方程为关于y的一元二次方程，由于x，y为实数，即方程有解，则 即-4x+9≥0,解得 故x的最大值为 整理得 (2m+1)a+(m-2)=0,此方程为关于a的方程,∵a是实数,即方程有解,∴当m-2≠0,即m≠2时,为一元二次方程, 解得 且m≠2;当m-2=0,即m=2时,为一元一次方程，解得a=0.综上，m的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $