河南省信阳市信阳高级中学（贤岭校区）2025-2026学年高三上学期1月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期01月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D D B C B C ACD ACD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．5 13．5 14．, 15．(1)； (2)或． 【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小； （2）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小. 【详解】（1）在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． （2）法1：设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 法2：设，则，． 因为，所以，因此， 所以，． 在中，由正弦定理得，即， 化简得． 因为，所以或，， 故或． 16．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明； （2）首先证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案. 【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，； 又为中点，， 因为二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面平面 平面，又平面； 又平面平面. （2）， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面 平面， 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得①，把代入中，求得点的坐标，利用可得，代入坐标化简得，由① ，② 联立求出即得椭圆方程； （2）先由点关于轴对称，设出的外接圆圆心，将代入求得，写出的外接圆的方程，利用点在该圆上，化简得出该圆方程：，再由直线与轴交于点求出点坐标，证明其在该圆上即可. 【详解】（1）依题，，即 ①，把代入中，解得， 因点在第一象限，则，由可得， 代入点的坐标可得：，即得， 整理得：②， 将① 代入②可得：，解得（负值舍去），则， 故椭圆的标准方程为：. （2）依题意，点关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 将代入，解得，依题意，， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：， 因点在该圆上，代入解得， 故的外接圆的方程可化简为：（*）. 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆.    【点睛】关键点点睛：证明四点共圆问题，一般先由其中三点建立其外接圆方程，再证明第四个点在该圆上即可. 19．(1)，的值域为整数集 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦函数的有界性可得，而函数无界，其值域为，所以的值域为整数集； （2）先求出与的值域，发现当且时，，当时，，由此可得函数的值； （3）令，求得单调递减，利用单调性分析可得：，再令，利用导数可知在上单调递增，故，又当为奇偶时分别两次运用分组求和法可求得的范围，由此可得求的值. 【详解】（1）由于，所以， 由于函数的值域为，所以的值域为整数集； （2）令，则，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，又，， 所以当时，，当时，． 由于恒成立，并且当时，，当时，． 故当且时，，当时，． 所以 （3）令，则在上单调递减，且， ，所以 依次可得：， 令，则在上恒成立． 所以在上单调递增， 故，又， 所以当为偶数时， 即， 故； 当为大于1的奇数时， 即，故． 所以 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期01月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知，则的最小值是（    ） A．5 B．1 C．2 D． 4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（    ） A．1 B．－1 C． D． 5．已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 7．已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递增 C．有一个极大值是 D．有一个极大值是 11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式 C．该半正多面体过三点的截面面积为 D．该半正多面体外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式展开式中含项的系数为80，则 ． 13．已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则 ． 14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则 其中. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，． (1)求B的大小； (2)延长BC至点M，使得．若，求的大小． 16．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 17．（15分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 18．（17分）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆. 19．（17分）数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，． (1)分别求函数和的值域； (2)若，求函数的值； (3)若数列满足：是数列的前项和，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $