辽宁省锦州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期末考试 高三数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小愿5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合求题目要的。 BADD BACB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.BCD 11.ACD 三、填空愿：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 5-1 13.17 14.- 2 1024 四、解答题： 15.(本题满分13分)】 解：函数f(x)=almx+x的定义域为(0，+o) 1分 (I)当a=1时，函数fx)=lnx+x,f)=+1, …2分 k=f1=2,a… 3分 f0=1. ..4分 曲线y=f(x)在1，f)少处切线方程为：y-1=2(x-1), 5分 即y=2x-1 .6分 2)因为f)=+1,令f小>0，可得兰+1>0，即x>-a, .8分 当-a≤0，即a≥0时，f'(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，+o)上单调递增 .10分 当-a>0,即a<0时，f'(x)>0的解为x>-a, 此时(x)在(0，-a上单调递减，a,+∞）上单调递增.13分 16.(本题满分15分) (1)解：由题意知a,b分别为这组数据的75%分位数、95%分位数.1分 0.75=0.001×100+0.0025×100+(a-200)×0.005,解得a=280,3分 0.95=0.001×100+0.0025x100+0.005×100+(b-300)×0.00125,解得b=380:5分 当用电量为350kWh时，电费为0.5×280+0.55×70=178.5元.7分 (2)()事件A发生的概率可估计为品 2 9分 (ii) 人口不少 人口少 合计 于5人 于5人 用电量在第一阶梯 60 90 150 ..11分 用电量高于第一阶梯 40 10 50 合计 100 100 200 K2= 200(3600-600=24 150×50×100×100 .14分 因为24>6.635，所以有99%的把握认为每户人口是否少于5人与户用电量是否在第一阶梯有关 5分 17.(本题满分15分) (1)证明：因为E、F分别是棱PC、PB中点， 所以EF∥BC且EF=2BC, 414分 又4D∥BC且AD=BC 2 2分 所以EF∥AD且EF=AD,四边形EFAD是平行四边形，所以AF∥DE ..3分 (2)因为PA=AB,F是PB中点，所以AF⊥PB.4分 又因为侧面PABL底面ABCD,AB是交线，且AB⊥BC,所以BC⊥面PAB,5分 因为AFC面PAB,从而BC⊥AF, 又PBn BC=B,所以AF⊥面PBC, .6分 由(1)知AF∥DE,所以DE1面PBC,7分 又因为DEC面PDC,所以平面PBC⊥平面PDC..8分 (3)因为侧面PAB⊥底面ABCD,交线为AB,在面PAB内 作AB的垂线，则该垂线垂直于面ABCD以该垂线为z轴， A为坐标原点建立如图的空间直角坐标系， B F是PB中点，所以F 4 10分 由2)知1面8c,正-日A9}是面9C的-个法向是， 设平面PBD的法向量为n=(x,水，2)，PB= 2 BD=(-1.10) 「-x+y=0 n·BD=0 则 3x0不防令，可得"=以V3 .13分 np呢=02x 所以cos -AFn125 AF 5 14分 x5 所以二面角D-PB-C的正弦值是S .15分 法二：连接DF,由(2)知DE⊥面PBC,则EF为DF在面PBC内的射影， 由(2)知BC⊥面PAB,EF∥BC,所以EF⊥面PAB,EF⊥PB, ..10分 由三垂线定理知DF⊥PB, 11分 则∠DFE为二面角D-PB-C的平面角， 12分 因为LPAB=120,AP=AB=1,F为PB中点，所以DE=AF= .13分 EBF=BC=1,所以DF=号 14分 所以sin-DFE==吾即二面角D-PB-C的正弦值是号 15分 18.(本题满分17分) 解：(I)设LCAB=20,则由Sm+S。m=S。 故in0-ABAD+sin0-ACAD=sin20.AB.AC2分 2 所以(AB+AC)-AD=2cOs0·AB·AC… .4分 又因为AB=3AC,AD=kAC 3 4kAC:=6AC:cos0,k=>cos0 .6分 因为20e0,0e0号)， 所以cos0∈(0，l) 7分 所以k 8分 (2)法一：SAc= 4B4Csm20-24cm20-可得4c= 1 2sin 20 .10分 BC:=AB:+AC:-2AB.AC.cos 20=10AC:-6AC:cos 20 10-6cos205-3cos20 2sin 20 sin 20 12分 5-3cos20 不妨令y= .ysin 20+3cos20-5.sin(20+)=-5 ≤1，所以y≥4.14分 sin20 +9 于是BC≥2.此时tan20= 0os20=号2cos0-1,c0s0=25 4 3 ..16分 又因为k=0s0,所以k=35 3 .17分 1 法二：S。x= 4B4Csn20=34Csn20=2可得4C= 2 4 2sin 20 10分 BC:=AB+AC:-2AB.AC.cos 20=10AC:-6AC cos 20 =10-6c0s28 5-3cos26 2 sin20 5in212分 5-3(cos20-sin20)4sin20+cos20 4tan20+1 2sin0 cos0 sin0 cos 0 tan 1 4tan0 tan0≥4 .14分 当4tan0=。即tan0=时等号成立，于是BC≥2，此时cos日=2S 5 .16分 又因为k=cos0,所以k=5 5 .17分 19.(本题满分17分) D法-)设：48，则=2：方=2m,c任5，） c-22 直线CD的斜率k。= =--X=-y+y k y-y.2p ，2分 y:+y k=2=-+y 4…04分 -2-2 2p 22 所以CD∥CF,四边形CDFC是平行四边形，所以FD=CC6分 (法二)设直线AB方程为y=kx+b,A(x,),B(x,y,),C(x,y) (y=kx +b {y2=2r,可得kx2+2b-pk+b=0, x=+=p-kb .1分 k2 可得CC'=P-b2 k .3分 直线AB的垂直平分线方程为)y-火=一北-) 所以D点横坐标x。=,+花，=k:,+b)+x=(k:+1k+仙=k:+)P二他+幼 =p-kb+p-k +b=p+P-他 k: k 所以FD=p+P-他_2=2+p- .5分 k222k 所以FD=CC .6分 (2)由1D知FD=CC=2,所以DBp,0) 7分 设直线m:x=x,动圆圆心即AD的中点 8分 它到m的距离d 9分 动圆半径r= AD 2Φ3p+1 4 4 10分 直线m被以AD为直径的动圆截得的弦长为 2r2-d正=2 x-3p)+y x +3p 4 2 =V-10xp-4x,2+4xx+12px =Vx(4x。-10p)+12px,-4x 14分 其长度与A点位置无关，则x=2P: 5 即直线m的方程为x= 2 .16分 此时m被以AD为直径的动圆截得的弦长为√5p..17分2025~2026学年度第一学期期末考试 高三数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域 内，超出答题区域或写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知全集U={-1,0,1,3,5},集合A={0,1,3},B={-1,0},则A∩(CB)=（) A.{0} B.{1,3} C.{-1,1,3,5} D.{-1,0,1,3} 2.已知复数2=1+为虚数单位)，则2在复平面内对应的点位于（) 4-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知P(4=,P(B)=】,那么命题“事件A与事件B相互独立”是“P4B=”的( ) 3 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且 几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域.某地平流层是地球表面以上l0k(不含)到50km (不含)的区域，下述不等式中x能表示平流层高度的是() A.x+10l<50 B.x-10<50 C.x-20<30 D.x-30l<20 5.若圆心角是120°的扇形面积为27π，则该扇形围成的圆锥表面积为（) A.35π B.36元 C.39π D.43π 6.设函数y=f(x)的图象与y=2x+“的图象关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=3,则 a=(） A.3 B.2 C.1 D.0 7.在正方体的8个顶点中任取三个构成三角形，则构成的三角形是等腰三角形的概率 是() B. 4 C. 3 D. 2 8.设0<a<1,0<0<元，x=(6in0)g:血0，y=(cos9g,m0，z=(tan0),血0，则x,” 4 z的大小关系为() A.x<y<z B. x<z<y C.y<x<z D.z<x<y 高三数学试卷第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)有() A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 第9题图 10.已知集合A={xy)x2+y2=r2},B={(w,y)(x-a)2+(y-b)2=r2},且AnB= {(x,),(x2y2)},则下列选项正确的是（) A.0<a2+b2<2r2 B.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 C.x+x2=a,y+y2=b D.a2+b2=2a1+2by1 1 10,+。- 1 1.已知数列x,3,,},红，}满足-3化，+，-y那么（） 23氏+a-ah A.若x1=乃=Z1,则xm=yn=2m B.若1=3，y2=1,则x+31=4 C.当xn+yn+乙≠0时，数列{化n+yn+2n}是公比为二的等比数列 D若=行-写则，1+2少 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.已知5山，0，EL,0分别为双曲线C:之=1o>0,b0的左、石焦点，A和9 是以O为圆心(O为坐标原点)，以OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F,AB 是等边三角形，则= D 13.如图，在平面凸四边形ABCD中，AB=BC-5,AC⊥CD, AC=CD=8,则BA·BD= 14.化简求值：cos2cos2红co632.co810r- C 111111 11 第13题图 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 设函数f(x)=anx+x,其中a为实常数. (1)当=1时，求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 高三数学试卷第2页（共4页) 16.(本题满分15分) 为有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型，环境友好型社会的建设，某市拟建 立“多用者多付费”的阶梯电价机制.要求约75%的居民用电价在第一阶梯内，约20%的居民 用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.现从该市抽取了200户居民的月用电 量（单位：kWh)进行整理，并由此作出如图1所示的频率分布直方图.根据用样本估计总体 的思想确定阶梯电价的临界点α，b.并且每户的用电单价与每户用电量的关系如表1所示. 个频率/组距 0.0050 户用电量（月） 用电单价 分档 (单位：kWh) (单位：元/kWh) 0.0025 第一阶梯 0a(含a) 0.5 0.00125 0.0010 第二阶梯 ab(含b) 0.55 0.00015 0.0001--- --- 第三阶梯 b~+0 0.8 0 100200300400500600kW·h 第16题图1 第16题表1 (1)求a,b的值，并计算月用电量为350kWh的家庭需缴纳的电费是多少元； (2)对这200户居民用电量和每户人口情况进一步整理，得到如表2的“2×2”列联表， 人口不少于5人 人口少于5人 合计 用电量在第一阶梯 60 用电量高于第一阶梯 40 合计 100 100 200 第16题表2 ()记人口不少于5人的家庭中用电量高于第一阶梯的概率为P,求P的估计值； (ⅱ)完成“2×2”列联表，根据数据回答：有99%的把握认为每户人口是否少于5人与 户用电量是否在第一阶梯有关吗？ 附：K2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥) 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 高三数学试卷第3页（共4页） 17.(本题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,E,F分别是 棱PC,PB的中点，侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=1,BC=2. (1)证明：AF∥DE; (2)证明：平面PBC⊥平面PDC; (3)若∠PAB=120°，求二面角D-PB-C的正弦值. D B 第17题图 18.（本题满分17分) 如图，在△ABC中，AB=3AC,AD是∠A的角平分线，且AD=kAC (1)求实数k的取值范围； (2)若△ABC的面积为三，则k为何值时BC最短，并求出此时BC的值。 第18题图 19.(本题满分17分) 设抛物线y2=2Px(p>O)的焦点是F,准线为1，A,B是抛物线上互异的两点，直线AB 与x轴不垂直，线段AB的中点为C,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,过C向准线1作垂 线，垂足为C. (1)证明：FD=CC'; (2)若C到y轴的距离为2p,直线m平行于y轴，且m被以AD为直径的动圆截得的弦 长恒为定值，求直线m的方程，并求出该定值， 高三数学试卷第4页（共4页）