第一章三角形的证明01三角形内角和定理 寒假预习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明01三角形内角和定理寒假预习讲义(北师大版) 01预习目标 1.明确三角形内角和定理的内容，并能利用该定理求解三角形中未知角的度数。 2.理解并掌握三角形内角和定理的证明过程，特别是辅助线的添加方法和作用。 3.掌握直角三角形的两个锐角互余这一推论，并能进行简单的逻辑推理。 4.通过证明过程，体会如何将三角形的三个内角转化为一个平角（180°），感受5.“转化”和“数形结合”的数学思想。 从“说理”过渡到“推理”，学会使用“因为…所以…”的规范几何语言书写证明过程。 02知识点梳理 知识点1. 核心定理、内容 定理：三角形内角和定理 内容：三角形的三个内角之和等于 180∘ 知识点2. 定理的证明方法 基本思路：通过添加辅助线，将三角形的三个内角“拼”成一个平角，或转化为一组平行线中的同旁内角，从而利用“平角为 180∘或“两直线平行，同旁内角互补”进行证明。 知识点3.常见辅助线添加方式： 方法一：过三角形某一顶点作对边的平行线。 方法二：过三角形某一顶点作任意直线，使其与对边平行，构造平行线模型辅助推理。 知识点4. 定理的应用 角度计算：已知任意两个内角，可求第三个内角。 形状判断：根据三个内角的大小关系，判断三角形类型（锐角、直角、钝角三角形）。 简单证明：结合其他几何知识，用于推导角之间的数量关系。 知识点5. 重要推论 推论1：直角三角形的两个锐角互余（即和为 90∘）。 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 知识点6 注意事项  三角形内角和恒为 180∘，与三角形的形状、大小无关。 添加辅助线时要标注清楚，并说明依据；推理过程需逻辑严密，步步有据。 03题型解读归纳 题型解读1三角形内角和定理的证明 例1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 变式1．如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 变式2．证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 题型解读2与平行线有关的三角形内角和定理 例2．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 变式1．如图，直线，则的度数是 ． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 变式2．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型解读3与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵是高，， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 变式1．如图，在中，，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 变式2．如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理． 根据三角形的内角和定理求得，，则，根据角平分线的定义即可求得的度数，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ， ． 题型解读4三角形内角和定理的应用 例4．已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和恒为是解题的关键． 直接利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． 故选C． 变式1．如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 【答案】100 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：100． 变式2．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出解答． （1）根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，进而利用平行线的判定解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 题型解读5三角形折叠中的角度问题 例5．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 变式1．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：64． 变式2．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 题型解读6三角形的外角的定义及性质 例6．马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 根据题中图②，由是的一个外角，得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， ，， ， 故选：B． 变式1．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】  本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的 性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定及性质． 根据，推出，得到，由此可得结论． 【详解】证明：是的一个外角（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）. （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 04强化提升 一、单选题 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．由，求得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，平分交于点D， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．一个三角形的一个内角是，其余两个内角度数的比是．这个三角形是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，根据已知角度和比例求出其余两个角的度数，再判断三角形类型． 【详解】解：因为三角形内角和为，已知一个角为， 所以其余两个角之和为． 因为其余两个角的度数比为， 所以另外两个角的度数分别为，， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 5．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 6．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②所示的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理、平行线的性质．根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 10．如图，在中，，，是的平分线，则 度 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，在中由内角和定理得出度数，根据角平分线定义知，最后在中，由内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：. 11．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 12．将两个分别含和角的直角三角板如图放置，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 三、解答题 13．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 14．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．如图所示在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D； (2)在（1）中作出的图形中，计算的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：∵平分， ， ， 在中，， ， ． 16．如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线得出，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于点， ． ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可． 【详解】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，， ，， ∵， ， ， ． 18．如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，利用三角形内角和定理求的度数即可；利用角平分线的定义得的度数，利用外角的性质得的度数． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， ∵平分， ∴， ∵于E， ∴， ∵， 又， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章三角形的证明01三角形内角和定理寒假预习讲义(北师大版) 01预习目标 1.明确三角形内角和定理的内容，并能利用该定理求解三角形中未知角的度数。 2.理解并掌握三角形内角和定理的证明过程，特别是辅助线的添加方法和作用。 3.掌握直角三角形的两个锐角互余这一推论，并能进行简单的逻辑推理。 4.通过证明过程，体会如何将三角形的三个内角转化为一个平角（180°），感受5.“转化”和“数形结合”的数学思想。 从“说理”过渡到“推理”，学会使用“因为…所以…”的规范几何语言书写证明过程。 02知识点梳理 知识点1. 核心定理、内容 定理：三角形内角和定理 内容：三角形的三个内角之和等于 180∘ 知识点2. 定理的证明方法 基本思路：通过添加辅助线，将三角形的三个内角“拼”成一个平角，或转化为一组平行线中的同旁内角，从而利用“平角为 180∘或“两直线平行，同旁内角互补”进行证明。 知识点3.常见辅助线添加方式： 方法一：过三角形某一顶点作对边的平行线。 方法二：过三角形某一顶点作任意直线，使其与对边平行，构造平行线模型辅助推理。 知识点4. 定理的应用 角度计算：已知任意两个内角，可求第三个内角。 形状判断：根据三个内角的大小关系，判断三角形类型（锐角、直角、钝角三角形）。 简单证明：结合其他几何知识，用于推导角之间的数量关系。 知识点5. 重要推论 推论1：直角三角形的两个锐角互余（即和为 90∘）。 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 知识点6 注意事项  三角形内角和恒为 180∘，与三角形的形状、大小无关。 添加辅助线时要标注清楚，并说明依据；推理过程需逻辑严密，步步有据。 03题型解读归纳 题型解读1三角形内角和定理的证明 例1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 变式1．如图，，，为三角形的内角，求： ． 变式2．证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 题型解读2与平行线有关的三角形内角和定理 例2．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线，则的度数是 ． 变式2．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 题型解读3与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，则的值为 变式2．如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 题型解读4三角形内角和定理的应用 例4．已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 变式1．如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 变式2．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型解读5三角形折叠中的角度问题 例5．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 变式2．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 题型解读6三角形的外角的定义及性质 例6．马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1.．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 变式2．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 04强化提升 一、单选题 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．一个三角形的一个内角是，其余两个内角度数的比是．这个三角形是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 5．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②所示的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ． 【详解】解：， 8．如图，若，则 ． 9．如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 10．如图，在中，，，是的平分线，则 度 11．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 12．将两个分别含和角的直角三角板如图放置，则的度数是 ． 三、解答题 13．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 14．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 15．如图所示在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D； (2)在（1）中作出的图形中，计算的度数． 16．如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 17．如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，求的度数． 18．如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，求和的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $