第08讲 解题技巧专题：巧构等腰三角形的基本模型（4知识点+4大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第08讲 解题技巧专题：巧构等腰三角形的基本模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 知识点2：过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 知识点3：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 知识点4：利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 【题型1 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 例1．如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 例2．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 变式1．如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 变式2．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 【题型2 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 例3．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 例4．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 变式1．数学课上，李老师出示了如框图中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_____填“”，“”或“”)． (2)特例启发，解答题目： ①如图，与的大小关系是：____填“”，“”或“． ②解：如图，过点作，交于点请你接着完成图3解答过程 (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为，，则的长为_______请你直接写出结果． 【答案】(1)=； (2) =；②见解析； (3)或． 【分析】（1）根据点为的中点时，根据等腰三角形的判定证明即可； （2）根据题目给出的辅助线证明即可得出结论； （3）分类讨论，画出不同的图形，根据（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：=； 是等边三角形，点为的中点， ∴， ∵， ∴,， ∵， ∴， ∴； 故答案为：=． （2）解：①=， ②证明：∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图所示，点D在上， 由（2）可知，， ∵的边长为， ∴； 如图所示，点D在延长线上， 同（2）方法可得，可知，， ∵的边长为， ∴； 故答案为：或． 变式2．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型3 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例5．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 例6．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 变式1．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例7．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明：沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 例8．【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由． 【答案】【问题解决】，证明见解析；【方法迁移】，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】问题解决：在线段上截取，连接，由角平分线定义和全等三角形的判定证明，进而证得，结合三角形外角性质可证得，进而证得即可解答； 方法迁移：在的延长线上截取，连接，证明，进而证得，结合等角的补角相等和三角形外角性质可证得，进而证得即可解答． 【详解】解：问题解决：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 方法迁移：． 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ∵为的外角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式1．问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 一、解答题 1．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，平行线的性质得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，，得到，进而得到，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边的中点，连接平分交于点． (1)若，求的度数； (2)过点作交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识， （1）利用等腰三角形三线合一的性质即可得到，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数，即可求解； （2）只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形； （2）解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知； 过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， 交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 由可知， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：如下图所示，过点作， ， ， 由可知，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，为的角平分线，E为的中点，交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：为等腰三角形． (2)求证：． (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据为的角平分线，，证得进而证得为等腰三角形； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，根据角平分线的性质证得，进而证得； （3）由（1）知，根据、，证得，进而证得即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的角平分线 为等腰三角形； （2）证明：延长至点，使，连接， 为的中点 在和中， 、 、 为的角平分线 ； （3）解：由（1）知， 、、 ． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 8．（24-25八年级上·吉林长春·月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法． 问题具化：如图1，在中，，求证：； 问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在中，是的平分线，，则___________度． 【答案】问题解决：见解析；问题拓展： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 问题解决：证明，得出，根据，即可得出答案； 问题拓展：在上取点E，使，连接，证明，得出，，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：问题解决：在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题拓展：在上取点E，使，连接，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·福建莆田·期中）数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（），理由见解析；（）见解析；（）不发生变化，证明见解析 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）证明：如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）证明，，都是等腰三角形即可； （3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）解：如图，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴为的“双等腰线”； 如图，作的垂直平分线，交于D，交于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴是的“双等腰线”； （2）证明：∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴线段、是的“三等腰线”． （3）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ④设顶角为x， 可得，， 解得：， ∴ 故答案为：或或或． 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲解题技巧专题：巧构等腰三角形的基本模型 内容导航一一 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 3 图1 图2 图3 条件：如图1，OO平分∠MON,过OO的一点P作PQ/ON结论：△OPQ是等腰三角形： 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别相 交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 ☑知识点2：过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线】 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDE是等腰三角形 ☑知识点3：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD兰△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. B D ☑知识点4：利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形. 图① 图② 图③ 条件：如图1，若∠ABC-2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC-2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 02练题型强知识 【题型1利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 例1.如图，BE是ABC的角平分线，在AB上取点D使DE∥BC. B (I)求证：△DBE是等腰三角形 (2)若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数 例2.己知如图ABC中AC=6cm,AB=8cm,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过D作直线平行于 BC,交AB,AC于E,F, 2/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E D B (1)求证：△DFC是等腰三角形： (2)求△AEF的周长 变式1.如图，在ABC中，AB=AC,LBAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.过点A作AE∥BC, 交BD的延长线于点E. B (1)求∠ADB的度数： (2)求证：ADE是等腰三角形； (3)若BC=m,CD=n,求BE的长（用含m,n的式子表示）. 变式2.(I)如图1，ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交 AB,AC于点E,F.图中有一个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由： (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有-个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是一； (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角LACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有_个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是- 图 图2 图3 【题型2过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形】 例3.如图，BD是ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E, 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (1)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由， 例4.综合与探究 如图，在ABC中，AB=AC,D为CA延长线上的一动点，且DE⊥BC,交AB于点F. 图1 图2 (1)如图1，求证：△ADF是等腰三角形. (2)如图2，当F为AB的中点时，DF与EF有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由. 变式1.数学课上，李老师出示了如框（图3）中的题目. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 图1 图2 在等边三角形ABC中， 点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC,如图，试确定线段AE 与DB的大小关系，并说明理由。 D B 图3 (I)特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结 论：AE BD(填“>”，“<”或“=”). (2)特例启发，解答题目： ①如图2，AE与DB的大小关系是：AEBD(填“>”，“<”或“=”). ②解：如图2，过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你接着完成图3解答过程) (3)拓展结论，设计新题 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC,若ABC的边长为3，AE=1, 则CD的长为 (请你直接写出结果) 变式2.(1)如图1，ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在边AC上.若这两点分别从点B, A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接CD,BE交于点P,则在动点D, E的运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 D 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上”改为“动点D在射线BA上运动，动点 E在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由. (3)如图3，若把(1)中的“动点D在边AB上"改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB于点M, 其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过 程. 【题型3巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例5.某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，ABC为主梁框架， ∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2LC,工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD,交底 梁BC于点D,为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE,使得BE⊥AD,分别交AD,AC于点F,E (I)求证：加固后的△ABE是等腰三角形： (2)经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度， 例6.(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为 OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：△A0C≌△B0C. (2)【问题探究】如图2，在(1)的条件下，过点A作AD⊥ON,垂足为D,AD交OP于点E.若 AD=OD,试探究AC和OE的数量关系，并证明你的结论 (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 ∠BDE=∠ACB,BE⊥DE于E,DE交AB于F,试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论。 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D D 图1 图2 图3 变式1.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过 点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△A0C≌△B0C,则AO=B0,AC=BC. A 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若LEAC=63°，∠B=37°，通过上述构 造全等的办法，求∠DAE的度数： 【问题探究】 (2)如图③，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地ABC，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形 土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD; ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 【题型4利用倍角关系构造新等腰三角形】 例7.将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处. B C B D 图1 图2 (I)在图1中，若AB=8,AC=6,S△4CD=9,求BE; (2)在图2中，若∠C=2∠B, ①求证：BE=ED. 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②若AD=AC,求∠BAC的度数 例8.【问题提出】在ABC中，∠ACB=2LB,AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB,AC,CD的数 量关系。 E D B 图1 图2 图3 【问题解决】如图1，当∠ACB=90°，过点D作DE⊥AB,垂足为E,易得AB=AC+CD;由此，如图2 ,当LACB≠90°时，猜想线段AB,AC,CD有怎样的数量关系？给出证明 【方法迁移】如图3，当LACB≠90°，AD为ABC的外角平分线时，探究线段AB,AC,CD又有怎样 的数量关系？直接写出结论，并说明理由. 变式1.问题背景：在ABC中，∠B=2∠C,点D为线段BC一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段 AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系， ▣ D 图1 图2 y D 图3 (1)在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD,请你给出证明过程。 (2)当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC; (3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论. 03 串知识识框架 7/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 巧构等腰三角形的基本 知识点2：过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 模型 知识点3：巧用"角平分线+垂线合一"构造等腰三角形 知识点4：利用倍角关系构造新等腰三角形 04过关测稳提升 一、解答题 1.(25-26七年级上山东济宁.期中)如图，已知BD平分∠ABC,AD∥BC,且AC=AD. D (I)求证：△ABD为等腰三角形； (2)判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由. 2.(25-26八年级上陕西西安·月考)如图，在ABC中，CD平分∠ACB,交AB于点D,过点D作 DE∥BC交AC于点E,F为CD的中点，连接EF, D B (I)求证：△CDE为等腰三角形； (2)若∠A=80°，∠B=56°，求∠CEF的度数. 3.(25-26八年级上陕西成阳期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，连接AD,BE平分 ∠ABC交AC于点E. D (1)若∠C=40°，求∠BAD的度数； (2)过点E作EF∥BC交AB于点F,求证：△BEF是等腰三角形. 4.(25-26八年级上陕西榆林·期中)如图，在ABC中，∠ABC=2LC,∠BAC的平分线AD交BC于点 D,过点B作BF⊥AD于点F,延长BF交AC于点E, 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D (I)求证：△ABE为等腰三角形； (2)连接DE,若∠C=36°，求∠EDC的度数. 5.(25-26八年级上·浙江杭州·期中)如图，AD为ABC的角平分线，CE⊥AD交AD的延长线于点E, ∠BAD=2∠DCE=2a. A D B E (I)求证：△ABD为等腰三角形； (②)若DA=DC,BD=4,求DE的长； (3)求证：AD+AC=2AE. 6.(25-26八年级上·广东广州期中)如图，AD为ABC的角平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的 延长线于点F,交AC于点G. B D E (1)求证：△AFG为等腰三角形. (2)求证：BF=CG. 日求8之4C的信， CG 7.(25-26八年级上·江苏连云港·期中)综合与实践 【解决问题】 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (I)如图①，在ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC. (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，已知LBAD=60°， ∠D=110°，∠ACD=40,∠ACB=80°，CE是ABC的高，AD=8,EB=2.求AB的长 8.(24-25八年级上·吉林长春·月考)问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等 角对等边.数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等， 其中大边对大角，思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全 等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法. E B D B D 图1 图2 图3 问题具化：如图1，在ABC中，AB>AC,求证：∠C>∠B; 问题解决：如图2，在AB上找一点E,使AE=AC,过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D,连接DE.请 你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=3,AC=5,BD=2,∠C=26°，则∠ADB= 度 9.(25-26八年级上福建莆田期中)数学课上，老师出示了如图中的题月. 如图，在等边ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小 关系，并说明理由。 A E 图1 图2 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 (1)如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与BD的大小关系，并说明理由； 10/12