专题1.1 三角形内角和定理（寒假预习讲义）（2大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

专题1.1 三角形内角和定理 知识点1：三角形内角和定理 具体说明三角形内角和定理 图示 定理定义 三角形三个内角的和等于，即对于任意，。 证明方法 常见辅助线构造： ①过三角形一个顶点作对边的平行线； ②延长三角形一边构造平角； ③过三角形内部一点作三边的平行线。利用平行线性质将三个内角转化为平角或同旁内角，验证和为。 核心推论 1.直角三角形的两个锐角互余（若，则）； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.三角形的一个内角等于另外两个内角的和时，该三角形是直角三角形。 知识点2：三角形的外角 性质 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角（如中，是的外角）。 2.核心性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（）。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（，）。 3.外角和：三角形的外角和为（任意三角形的三个外角之和恒为）。 【基础必考题型】 【题型1】直接利用内角和求角 1.核心知识点 三角形内角和定理：。 直角三角形两锐角互余推论。 2.解题方法技巧 直接代入计算：已知两个内角，用减去两角度数和得第三个角。 直角三角形快捷计算：若为直角三角形，直接用减去已知锐角得另一个锐角。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）在中，，，则 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 【题型2】平行线与内角和综合求角 1.核心知识点 三角形内角和定理。 平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。 2.解题方法技巧 转化角度：利用平行线性质将未知角转化为三角形的内角或外角。 联立计算：结合内角和定理列等式，求解未知角。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①为永动摆，图②为其某一时刻的抽象图，已知，若要使，则 °． 【变式题2-1】.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，中，，．若，则的度数为 ． 【题型3】折叠问题中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理。 折叠的性质（折叠前后对应角相等）。 2.解题方法技巧 标注对应角：折叠后重合的角相等，明确折叠前后的角度对应关系。 构建方程：设未知角为，结合内角和定理列方程求解。 【例题3】.（23-24八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·江西抚州·月考）如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过第一次折叠得到了如图①关于直线对称的图形，经过第二次折叠得到了如图②关于直线对称的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4】三角板组合中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理。 三角板固定角度（、、、）。 2.解题方法技巧 明确固定角：识别三角板的已知角度，确定组合后的三角形内角。 利用外角性质：复杂组合时，用外角性质简化计算（如三角板叠放中，外角等于不相邻两内角和）。 【例题4】.（2024八年级上·全国·专题练习）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·全国·期末）一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2025·山东济宁·二模）一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·河南郑州·月考）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【培优高频题型】 【题型5】角平分线与内角和综合 1.核心知识点 三角形内角和定理。 角平分线的定义（将角分成两个相等的角）。 2.解题方法技巧 分步求角：先由内角和求顶角，再由角平分线求底角。 整体推导：设内角为，利用角平分线转化为，结合内角和列方程。 【例题5】.（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，两线相交于点，．求和的度数． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·安徽宣城·期末）在中，平分，，垂足是，． (1)若，，则________，________； (2)如果，求的度数． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【题型6】跨学科情境题（平面镜反射） 1.核心知识点 三角形内角和定理。 反射定律（反射角等于入射角）。 2.解题方法技巧 转化为三角形模型：将反射光线与镜面的夹角转化为三角形的内角。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点D，一束光线照射到镜面上， 反射光线为， 点B在上， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2025·河南平顶山·一模）如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2025·甘肃临夏·二模）物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，小琪同学测得，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线与折射光线的夹角的度数．聪明的你也一定知道的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反射角入射角i，这就是光的反射定律．一束光线m射到平面镜上，被反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角为和． (1)实验证明，，请你用数学知识解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们制作了潜望镜． 图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变． 如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，则______°，______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行． 【题型7】实际应用题（导航/起重机） 1.核心知识点 三角形内角和定理。 外角性质。 2.解题方法技巧 建模转化：将实际场景（如导航方向、机械臂角度）转化为三角形图形。 结合性质计算：利用内角和或外角性质求未知角。 【例题7】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图是一台起重机的工作简图，吊杆前后两次位置，与线绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角 ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，某时刻轮船位于灯塔A 南偏东方向的B处，小岛C在该轮船北偏东的方向上．若，则小岛C在灯塔A（   ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．北偏东的方向上 【变式题7-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为；① （填增大或减小），②增大或减小的度数是 度． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·宁夏固原·期末）如图，小明周末和爸爸妈妈一起去六盘山国家森林游玩，爸爸妈妈用手指着远处的几个有特色的景点，对小明说：“景点在景点的南偏西方向，景点在景点的南偏东方向，且．你能不能求出的度数？”请你帮小明进行解答． 【压轴素养题型】 【题型8】内外角平分线综合规律探究 1.核心知识点 三角形内角和定理。 内角平分线、外角平分线定义。 2.解题方法技巧 推导递推关系：先推导一次平分的角度（如），再递推多次平分的规律（如）。 归纳结论：通过特殊值验证，总结通用公式。 【例题8】.（23-24七年级下·江苏徐州·期末）分析探究． (1)如图1，已知，求证：． (2)如图2，已知，求证：． (3)如图3，已知，平分，平分，若，求的度数． (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，则的度数为___________；（用含的代数式表示） 【变式题8-1】.（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 【变式题8-2】.（20-21七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）综合与实践：在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． (1)【问题感知】如图①，直线，点、在直线、上，点在两平行线之间，连接，．若，，则的度数为________°． (2)【问题初探】如图②，若点，在平行直线与之间，，，，则的度数为________°． (3)【问题深化】如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． (4)【问题拓展】如图④，在图③的基础上，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，⋯，依次平分下去，则________°．（用含，的式子表示） (5)【应用迁移】在一次综合实践活动课上，小景同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【题型9】新定义问题（和谐三角形/伴随角） 1.核心知识点 三角形内角和定理。 新定义规则。 2.解题方法技巧 解读定义：明确新定义的角度关系要求。 分类讨论：结合内角和定理分情况列方程。 【例题9】.（25-26八年级上·广西南宁·月考）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【变式题9-1】.（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·浙江台州·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则 ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． 【应用】 （3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 易错点 1.混淆内角与外角：误将三角形的外角当作内角参与内角和计算，或忽略外角“不相邻”的条件（如，而非）。 2.折叠问题漏角：折叠后未识别出重合的对应角，导致角度关系错误。 3.模型应用失误：飞镖型、8字型模型中，角度关系记忆颠倒（如误记）。 4.分类讨论不全：新定义或等腰三角形相关问题中，未分情况讨论不同角的倍数关系或顶角、底角关系。 重点 1.掌握三角形内角和定理的核心内容及证明思路，能灵活运用定理求角。 2.熟练运用外角性质进行角度转化，理解“外角=不相邻两内角和”的本质。 3.识别常见倒角模型（飞镖型、8字型、内外角平分线型），快速推导角度关系。 4.能将实际场景、跨学科问题转化为三角形图形，运用定理解决实际问题。 难点 1.复杂图形中的模型分离：从多个三角形组成的复杂图形中，准确识别飞镖型、8字型等核心模型。 2.新定义问题的解读与建模：将抽象的新定义转化为具体的角度关系，结合内角和定理分类讨论。 3.多步折叠与多三角形联动：多次折叠后角度关系复杂，需逐步标注、联动多个三角形的内角和进行推导。 4.规律探究的递推推导：内外角平分线多次平分后的角度规律，需通过一次推导、二次验证归纳通用结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，且，，三点在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如果一个等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 5．将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，，若，，则 ． 7．如图，是的外角，若，则 °． 8．如图所示，在中，，是的平分线，则 ． 9．如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ． 10．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时， ． 三、解答题 11．如图，点D在的边的延长线上，．求的度数． 12．求出下列各图形中的值． 13．如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 14．如图，在中，分别是和边上一点，连接，过点作交于点，是边上一点，连接，． (1)证明：； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形内角和定理 知识点1：三角形内角和定理 具体说明三角形内角和定理 图示 定理定义 三角形三个内角的和等于，即对于任意，。 证明方法 常见辅助线构造： ①过三角形一个顶点作对边的平行线； ②延长三角形一边构造平角； ③过三角形内部一点作三边的平行线。利用平行线性质将三个内角转化为平角或同旁内角，验证和为。 核心推论 1.直角三角形的两个锐角互余（若，则）； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.三角形的一个内角等于另外两个内角的和时，该三角形是直角三角形。 知识点2：三角形的外角 性质 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角（如中，是的外角）。 2.核心性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（）。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（，）。 3.外角和：三角形的外角和为（任意三角形的三个外角之和恒为）。 【基础必考题型】 【题型1】直接利用内角和求角 1.核心知识点 三角形内角和定理：。 直角三角形两锐角互余推论。 2.解题方法技巧 直接代入计算：已知两个内角，用减去两角度数和得第三个角。 直角三角形快捷计算：若为直角三角形，直接用减去已知锐角得另一个锐角。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，在直角三角形中，两个锐角互余，根据，，即可解答． 【详解】解：在中， ∵，， ∴; 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角性质，三角形内角和计算即可． 本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的意义，三角形内角和是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，得，， 故， 故选：A． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键在于明确全等三角形对应角相等这一性质． 先根据全等三角形的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形的内角和为，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【题型2】平行线与内角和综合求角 1.核心知识点 三角形内角和定理。 平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。 2.解题方法技巧 转化角度：利用平行线性质将未知角转化为三角形的内角或外角。 联立计算：结合内角和定理列等式，求解未知角。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①为永动摆，图②为其某一时刻的抽象图，已知，若要使，则 °． 【答案】70 【分析】本题考查三角形内角和，直线平行的判定与性质．根据三角形内角和求出，根据两直线平行，同位角相等得 ，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 要使， 则 ， 故答案为：70． 【变式题2-1】.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角的性质得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由，得，由三角形的外角性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，中，，．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【题型3】折叠问题中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理。 折叠的性质（折叠前后对应角相等）。 2.解题方法技巧 标注对应角：折叠后重合的角相等，明确折叠前后的角度对应关系。 构建方程：设未知角为，结合内角和定理列方程求解。 【例题3】.（23-24八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质，可得，， 则， 则． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）和外角性质的知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角和的性质，掌握三角形外角和的性质及计算是解题的关键． 根据折叠可得，由三角形外角和的性质可得，，即，由即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴，即， 故选：A ． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·江西抚州·月考）如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 过点 作 ，则，，由折叠得，，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过点 作， ∴，由折叠得 ， 由折叠可得， ， ∴ ， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过第一次折叠得到了如图①关于直线对称的图形，经过第二次折叠得到了如图②关于直线对称的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，平行线的性质，三角形外角性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据折叠性质，求出，再用三角形外角性质求解． 【详解】∵图①关于直线对称， ∴， 由第一次折叠，得， 由第二次折叠，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型4】三角板组合中的角度计算 1.核心知识点 三角形内角和定理。 三角板固定角度（、、、）。 2.解题方法技巧 明确固定角：识别三角板的已知角度，确定组合后的三角形内角。 利用外角性质：复杂组合时，用外角性质简化计算（如三角板叠放中，外角等于不相邻两内角和）。 【例题4】.（2024八年级上·全国·专题练习）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有关三角板的角度计算，三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴． 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·全国·期末）一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质．先根据平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题4-2】.（2025·山东济宁·二模）一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据题意得到，再利用三角外角的性质进行解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴ 故选：C 【变式题4-3】.（24-25七年级下·河南郑州·月考）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 【培优高频题型】 【题型5】角平分线与内角和综合 1.核心知识点 三角形内角和定理。 角平分线的定义（将角分成两个相等的角）。 2.解题方法技巧 分步求角：先由内角和求顶角，再由角平分线求底角。 整体推导：设内角为，利用角平分线转化为，结合内角和列方程。 【例题5】.（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，两线相交于点，．求和的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余以及角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·安徽宣城·期末）在中，平分，，垂足是，． (1)若，，则________，________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形内角和求出，； （2）根据三角形内角和定理、角平分线的定义结合得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形外角的性质． （1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用垂直的定义结合三角形内角和定理求解即可； （3）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的高，， ∴； （3）解：∵是的角平分线，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【题型6】跨学科情境题（平面镜反射） 1.核心知识点 三角形内角和定理。 反射定律（反射角等于入射角）。 2.解题方法技巧 转化为三角形模型：将反射光线与镜面的夹角转化为三角形的内角。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点D，一束光线照射到镜面上， 反射光线为， 点B在上， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形中两锐角互余，解决此题的关键是熟练掌握入射角和反射角相等；先根据入射角和反射角相等可知的度数，进而得到答案即可； 【详解】解：由题可知， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题6-1】.（2025·河南平顶山·一模）如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先证明，由平行线的性质得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选：D． 【变式题6-2】.（2025·甘肃临夏·二模）物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，小琪同学测得，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线与折射光线的夹角的度数．聪明的你也一定知道的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质等知识．根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反射角入射角i，这就是光的反射定律．一束光线m射到平面镜上，被反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角为和． (1)实验证明，，请你用数学知识解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们制作了潜望镜． 图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变． 如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，则______°，______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行． 【答案】(1)①等角的余角相等；②见解析 (2)96，90 (3)90，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）①由垂直得到，则，即可由等角的余角相等得到； ②先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （3）先根据平行线的性质可得，从而可得，据此可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； ②证明：∵， ， ，， ， ，即， ∴． （2）解：由题意得，，， ， ∵， ， ， ， 故答案为：96，90． （3）解：当时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行，理由如下： 由题意可知，，， ∵， ， ， ∴， ，即， ， 故答案为：90． 【题型7】实际应用题（导航/起重机） 1.核心知识点 三角形内角和定理。 外角性质。 2.解题方法技巧 建模转化：将实际场景（如导航方向、机械臂角度）转化为三角形图形。 结合性质计算：利用内角和或外角性质求未知角。 【例题7】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图是一台起重机的工作简图，吊杆前后两次位置，与线绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质，根据平行线的性质可得，再依据三角形的外角的性质可得，即可解出答案． 【详解】解：如图： 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，某时刻轮船位于灯塔A 南偏东方向的B处，小岛C在该轮船北偏东的方向上．若，则小岛C在灯塔A（   ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．北偏东的方向上 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，方位角．根据题意得：，从而得到，再由三角形内角和定理，可得的度数，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即小岛C在灯塔A北偏东的方向上． 故选：C 【变式题7-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为；① （填增大或减小），②增大或减小的度数是 度． 【答案】 增大 30 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，关键是三角形外角的性质及角平分线定义的熟练掌握．起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ∵，支撑臂为的平分线， ∴， ∴； 物体被吊起后， ∵机械臂的位置不变，，， ∴， ∵增大了， ∴， ∴， ∴， ∴的变化情况为增大． 故答案为：增大；30． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·宁夏固原·期末）如图，小明周末和爸爸妈妈一起去六盘山国家森林游玩，爸爸妈妈用手指着远处的几个有特色的景点，对小明说：“景点在景点的南偏西方向，景点在景点的南偏东方向，且．你能不能求出的度数？”请你帮小明进行解答． 【答案】能求出的度数， 【分析】本题主要考查了方向角的识别，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握方向角与平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 先根据方向角求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数，结合方向角对应的角度计算的度数． 【详解】解：由题意得， ∵在中，， ∴ ， ∵为正北方向，为正南方向， ∴， ∴ ∴能求出的度数， 【压轴素养题型】 【题型8】内外角平分线综合规律探究 1.核心知识点 三角形内角和定理。 内角平分线、外角平分线定义。 2.解题方法技巧 推导递推关系：先推导一次平分的角度（如），再递推多次平分的规律（如）。 归纳结论：通过特殊值验证，总结通用公式。 【例题8】.（23-24七年级下·江苏徐州·期末）分析探究． (1)如图1，已知，求证：． (2)如图2，已知，求证：． (3)如图3，已知，平分，平分，若，求的度数． (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，则的度数为___________；（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及图形的变化类，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是用类比的思想解决第（3）、（4）小题，以及归纳总结出，，，……，之间的规律． （1）过点A作．利用平行线的性质得出．根据平角等于180度，即可得出结论； （2）过点B作，则，根据平行线的性质得，，据此结合图形可得出结论； （3）根据角平分线的定义得，，再由（2）的结论得，然后根据四边形的内角和等于得，则，据此可求出的度数； （4）根据（2）的结论可知，，据此可得，再由（3）可知，据此得，同理，……，以此类推可得出的度数． 【详解】（1）过点A作． ∴． ∵， ∴． （2）过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即：． （3）∵平分，平分， ∴，， 由（2）可知：， ∴， 由四边形的内角和等于得： ， 即：， ∴， ∵， ∴； （4）∵平分，平分， ∴， ， 由（2）可知：，， ， 由（3）可知：， 又， ， ， 同理，， ……， 以此类推，． 故答案为：． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线，三角形的外角和等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和，进行解答，即可． （1）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （2）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （3）根据（2）得到的结论，同理，，得到，进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，， ∵平分，平分，平分，平分，平分、平分，， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（20-21七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得 ，代入计算即可； ③利用 计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④ ， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）综合与实践：在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． (1)【问题感知】如图①，直线，点、在直线、上，点在两平行线之间，连接，．若，，则的度数为________°． (2)【问题初探】如图②，若点，在平行直线与之间，，，，则的度数为________°． (3)【问题深化】如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． (4)【问题拓展】如图④，在图③的基础上，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，⋯，依次平分下去，则________°．（用含，的式子表示） (5)【应用迁移】在一次综合实践活动课上，小景同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2)60 (3) (4) (5)，见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）如图，过P作，则，易证可得，然后根据角的和差即可解答； （2）如图：过P作，过Q作，则，同（1）中方法可得，即，易得，然后运用平行线的性质即可解答； （3）利用（1）中结论和角平分线的定义即可得解； （4）将．．．．．．列举几个找出规律即可得解； （5）如图：过点P作交于点G，则，利用平行线的性质结合三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：如图，过P作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：130°； （2）解：如图：过P作，过Q作，则， 由（1）方法可知∶， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． （3）解：如图③：∵平分，平分， ∴， 利用（1）的方法可得：． 故答案为． （4）解：如图③：由（3）知， ， ， ．．．．．． ． 故答案为：． （5）解：，理由如下： 如图：过点P作交于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型9】新定义问题（和谐三角形/伴随角） 1.核心知识点 三角形内角和定理。 新定义规则。 2.解题方法技巧 解读定义：明确新定义的角度关系要求。 分类讨论：结合内角和定理分情况列方程。 【例题9】.（25-26八年级上·广西南宁·月考）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】(1)见解析 (2)从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键． （1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∵C岛在B岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∵B岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ； 答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，高的定义及角平分线的定义，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用以上知识点是解题的关键．利用“友爱三角形”的定义，根据，，结合，求出的度数，由高的定义及角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵与互为“友爱角”，且， ∴， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·浙江台州·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则 ． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分． （1）根据是“准互余三角形”，得出，从中求出即可； （2）分两种情况，当时，先求出，可得；当时，可求，据此求解即可． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”， ，， ， ， 故答案为：； （2）①解：是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴当时， ∴， ∴； ∴当时， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． 【应用】 （3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】（1）根据“开心三角形”的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案. （2）根据“开心三角形”的概念分两种情况求解即可. （3）分与互为“开心角”和与互为“开心角”两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：设最小的角为，为“开心三角形”， 故答案为： （2）当是“开心角”，则最小的角是， 当不是“开心角”，设最小的角为，， 故答案为： （3）分两种情况讨论：①当与互为“开心角”时，或． 平分，平分， ． ， ，即或， 解得（第一个方程无解，即不成立）； ②当与互为“开心角”时，或， 即或， 同①可得，或， 解得或． 综上所述，的值为或或． 易错点 1.混淆内角与外角：误将三角形的外角当作内角参与内角和计算，或忽略外角“不相邻”的条件（如，而非）。 2.折叠问题漏角：折叠后未识别出重合的对应角，导致角度关系错误。 3.模型应用失误：飞镖型、8字型模型中，角度关系记忆颠倒（如误记）。 4.分类讨论不全：新定义或等腰三角形相关问题中，未分情况讨论不同角的倍数关系或顶角、底角关系。 重点 1.掌握三角形内角和定理的核心内容及证明思路，能灵活运用定理求角。 2.熟练运用外角性质进行角度转化，理解“外角=不相邻两内角和”的本质。 3.识别常见倒角模型（飞镖型、8字型、内外角平分线型），快速推导角度关系。 4.能将实际场景、跨学科问题转化为三角形图形，运用定理解决实际问题。 难点 1.复杂图形中的模型分离：从多个三角形组成的复杂图形中，准确识别飞镖型、8字型等核心模型。 2.新定义问题的解读与建模：将抽象的新定义转化为具体的角度关系，结合内角和定理分类讨论。 3.多步折叠与多三角形联动：多次折叠后角度关系复杂，需逐步标注、联动多个三角形的内角和进行推导。 4.规律探究的递推推导：内外角平分线多次平分后的角度规律，需通过一次推导、二次验证归纳通用结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 2．如图，已知，，，且，，三点在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 先根据全等三角形得到，再由三角形的外角定理得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如果一个等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，且两底角相等， ∴两底角之和为， ∴每个底角为． ∴一个底角的度数为． 故选：B． 4．已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和的应用，利用三角形内角和定理，结合给定条件求解∠A的度数，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． ∴三角形一定有一个内角为， 故选：B． 5．将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的角度计算，熟练掌握平行线的性质以及角度的和差计算是解题的关键． 先根据已知的直角和角度计算出的度数，再结合求出的度数，最后利用平行线的性质，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 6．如图，，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等． 根据，可得，再利用三角形内角和即可算出的度数． 【详解】解：， ，   ． ， ． 故答案为：． 7．如图，是的外角，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 8．如图所示，在中，，是的平分线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算． 根据求出，进而求出，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 9．如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理分别求出、、，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：，， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时， ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 【详解】解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图，    ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 三、解答题 11．如图，点D在的边的延长线上，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 12．求出下列各图形中的值． 【答案】图1：；图2： 【分析】本题考查三角形内角和外角，根据三角形内角和求图1中的值，根据三角形外角求图2中的值． 【详解】解：由图1可得：； 由图2可得：， 解得． 13．如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 14．如图，在中，分别是和边上一点，连接，过点作交于点，是边上一点，连接，． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理应用，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，证明，根据平行线的判定得出即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，结合已知得出，根据三角形内角和定理得出，得：，求出，根据勾股定理得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 得：， 解得：， ∴， ∴， 根据勾股定理得：． 15．如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先求出，，再根据外角的性质解答即可； （2）求出，得，根据得，故可得结论． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 又, ∴， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $