精品解析：广东省惠州市2026届高三上学期第二次调研考试数学试题

惠州市2026届高三第二次调研考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在单调递增 D. 在单调递减 5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. 414 B. 406 C. 403 D. 393 8. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 的最小值为 C. 若，则的周长为 D. 双曲线上存在不同两点关于点对称 11. 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知函数，若，则______. 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的对称中心； （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且. （1）求； （2）若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； （3）经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望. 附：若，则， ，. 18. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数的最小值为0，其中． （1）求 的值； （2）若对任意的，有成立，求实数 的最小值； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市2026届高三第二次调研考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得出集合A，利用交集的性质即可求出. 【详解】解方程可得 .故选B. 【点睛】本题考查解一元二次方程和交集的性质. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在单调递增 D. 在单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的定义域排除A、B，再结合对数型函数的单调性判断其他选项. 【详解】函数定义域为，故排除A、B， 对于C，D，由复合函数的单调性知在上单调递增， 且在上单调递增， 则在单调递增，C正确，D错误； 故选：C. 5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图求得圆锥的高和底面半径，得圆锥体积即得结论． 【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积， 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， 所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积， 从而所求三棱锥的体积为. 故选：A 6. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为：，过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为， 过作准线的垂线，垂足为， 因为，是该抛物线上的两点，故，， 所以，又为梯形的中位线，所以， 故到轴的距离为， 故选：B. 7. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. 414 B. 406 C. 403 D. 393 【答案】B 【解析】 【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案. 【详解】由，两式相减得，即. 再由，两式相减得，由，得， 故为以14为首项，8为公差的等差数列，故， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目. 8. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，求解方程可得，逐项判断即可. 【详解】因为，可得， 即，又因为是正项等比数列，所以， 可得，解得，所以A正确； 数列的通项公式为，所以B正确； 则，所以C不正确； 由，则，， 所以，所以D正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 的最小值为 C. 若，则的周长为 D. 双曲线上存在不同两点关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：根据离心率计算公式计算即可；选项B：利用向量数量积的坐标表示将化为二次函数，结合求解即可；选项C：根据勾股定理和完全平方公式求出，进而求出，再求周长即可；选项D：结合对称点及点差法求出直线方程，与双曲线方程联立判断是否有实数解，进而确定是否存在点. 【详解】双曲线：，，，，，. 选项A，，故A正确； 选项B，设，则，则， ， 因为，所以，所以，当或，等号成立，故B错误； 选项C，由，可得， 又，所以， 故， 则， 所以的周长为，故C正确； 选项D，设不同两点，关于点对称，则，， 因为点在双曲线上，所以，两式相减并化简得， 则，即，此时直线：，即. 代入双曲线方程整理得，此时， 这与、是双曲线上不同的两点矛盾，故D错误. 故选：AC. 11. 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对ABC选项分别赋值即可判断，对于D先根据赋值得及，再由基本不等式及等式性质可得. 【详解】对于A：令，则， 即， 又函数不是常数函数，所以， 即，故A正确； 对于B：令，则， 所以，即，故B错误； 对于C：令，，则， 再令，，则， 由可知，当时，， 则，故C正确； 对于D：令，则，所以， 则，，又， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】由得，，所以，解得. 故答案为：1. 13. 已知函数，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，并发现，即可得解. 【详解】由题意得， 则， 所以，故. 故答案为：2 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种. 【答案】 【解析】 【分析】设，则有，可知的最小值为，最大值为，根据这三个数的构成进行分类讨论即可得. 【详解】由，可得， 所以. 不妨设，则，还有一个数为， 显然，， 对于任意取值，都有如下情况， 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法. 因为，所以一共有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的对称中心； （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意确定，再令即可得解； （2）法一：由三角函数定义得，，三角函数变换得，再利用和差角和二倍角公式求解； 法二：由三角函数变换得，由为角终边上的一点，则，，代入函数解析式求解. 【小问1详解】 由条件得， 又，所以， 所以，令（）. 得， 所以的对称中心为（）. 【小问2详解】 （法一）由为角终边上的一点，故，， 由三角函数的图象变换性质可得， 所以， 又，，从而 （法二） 由为角终边上的一点，则，， 由三角函数的图象变换性质可得， . 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）直接根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得； （2）由（1）知平面，所以将线面距离转化为到平面的距离，再用向量的方法计算可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【小问1详解】 取中点，连接，，如图： 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且，则有，， 故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图： 有，，，，，，， 则有，，， （1）知平面，故点到平面的距离即为到平面的距离. 设平面的法向量为，则有， 取，则有，，即， 又，则有， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，则有， 取，则有，，故，平面的法向量， 所以， 故平面与平面的夹角余弦值为. 17. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且. （1）求； （2）若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； （3）经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望. 附：若，则， ，. 【答案】（1）56 （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，故，所以. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 因为，，所以，， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186， 故，所以. 18. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，使得恒为定值 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合离心率求解的值即可得解； （2）法一：先求出直线、的方程，设角平分线上任意一点为，则，化简求解； 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），由于，则，再由，即可得解； 法三：设角平分线与轴交于点，根据可解得，即可得解； （3）设直线方程为，联立方程组，利用根于系数的关系化简即可得解. 【小问1详解】 设椭圆方程为（）， 因为椭圆经过点，所以， 又离心率，，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：，，，则直线方程为， 直线方程为， 设角平分线上任意一点为，则， 得或， 因为斜率为正，所以直线方程为. 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点）， 由于，则， 故，由于是锐角， 则，，所以， 直线的斜率为， 故直线的方程为. 法三：设角平分线与轴交于点， 则，即， 故，得， 所以，所以，故直线的方程为. 【小问3详解】 设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 故当时，使得恒为定值. 19. 已知函数的最小值为0，其中． （1）求 的值； （2）若对任意的，有成立，求实数 的最小值； （3）证明：． 【答案】（1） ； （2）； （3）由（2）知：令得：， 令得： 当时，(1)； 当时，， ， ， 将(1)(2)(3),......,(n)式相加得： 不等式左边： ； 不等式右边： ； 所以. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，已知最小值为0，可得极小值也为0，得 ，从而求出 的值； （2）由题意任意的，有成立，可以令先通过，大致确定 取值范围，再利用分类讨论法求出的最值； （3）由（2）知:令得:令得: ，累加即可的证. 【小问1详解】 由函数，则其定义域为，且. 由，得:，又由 ，得:， 在单调递减，在单调递增， ； 【小问2详解】 设， 则在恒成立等价于， 注意到，又， ①当时，由得. 在单减，单增，这与式矛盾； ②当时，在恒成立，符合， 的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $