精品解析：河南省驻马店市汝南县双语学校、清华园学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年九年级上册数学期末测试卷 （考查范围：本册教材全部内容） 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中抽到红桃 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 两个无理数的积是无理数 D. 在标准大气压下，加热到时水沸腾 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 6. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是______.（写出一个即可） 14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有______个． 15. 如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留． 16. 边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转得正方形，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 19. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 20. 寒假期间，某校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择老师参加培训． （1）若选择一位老师参加培训，则选中丁老师的概率是 ； （2）若选择两位老师参加培训，请你用列表法或画树状图法求出选择的两位老师中恰好有甲老师的概率． 21. 抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳，分别与空竹相切于点，，连接左右两个绳柄，，经过圆心，交于点，，． （1）求证：． （2）若，，求两个绳柄之间的距离． 22. 在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决下列问题： （1）若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知，且，所以， 所以，解得，． 所以点P的坐标为　　　　． （2）若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标． （3）若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 23. 综合与实践： 如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点，连接，． 【观察猜想】 （1）图①中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】 （2）把绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接，判断的形状，并证明； 【拓展延伸】 （3）把绕点A在平面内自由旋转，，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学期末测试卷 （考查范围：本册教材全部内容） 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．，最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中抽到红桃 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 两个无理数的积是无理数 D. 在标准大气压下，加热到时水沸腾 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．A、B、C选项均可能不发生，只有D选项在标准条件下必然发生，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： A、从一副扑克牌中抽到红桃不是必然，可能抽到其他花色，故不是必然事件，故该选项不符合题意； B、打开电视，可能播放新闻，也可能播放其他节目，故不是必然事件，故该选项不符合题意； C、两个无理数的积可能是有理数，如，故不是必然事件，故该选项不符合题意； D、在标准大气压下，加热到时水必然沸腾，故是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的步骤为：把常数项移到等号右边；把二次项系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．用配方法解一元二次方程得到，即可得到答案． 【详解】解∶ ， 用配方法解一元二次方程，配方结果为， 故选：B． 5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移5个单位为： 故选： 6. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 故选：B ． 7. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A ． 8. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案． 【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处， 位于“---”（图中虚线）的上方的有2处， 所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，勾股定理，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质结合，推出是等腰直角三角形，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 故选：D ． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 11. 如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作,因为，是等腰三角形,利用含角的直角三角形三边关系得到的长，即为扇形的半径,再利用扇形弧长公式求出围成圆锥的底面周长,继而选出本题答案． 【详解】解:∵是等腰三角形,, ∴过点作, ∴, ∵等腰的腰长为, ∴, ∴扇形的半径为, ∴圆锥的底面圆周长及扇形的弧长为：, ∴圆锥的底面圆半径为：,即, 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形性质,扇形弧长公式,圆周长公式,含角的直角三角形三边关系．理解掌握扇形弧长及圆周底面周长是解决本题的关键． 12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x=-=1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴b＞0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0， ∴b＞a+c，故②不正确； 当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴x=1时，y有最大值a+b+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， ∴a+b＞m（am+b），故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是______.（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，从而得出，即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ， 的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为，可知摸到黑球的概率为，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次试验后，发现摸到白球的频率约为， ∴摸到黑球的频率约为， 设黑球的个数为个， ∴， ∴． 经检验：是方程的解． 故答案为：． 15. 如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 16. 边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转得正方形，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B向x轴引垂线，连接，可得的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点E，连接， 正方形绕顶点O顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， 点B坐标为， 代入得， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查坐标转换问题及待定系数法求二次函数解析，理解题意，掌握旋转的性质确定点的坐标是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法．根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）根据方程的特点利用因式分解法来解答，先对其变形，再结合提公因式进行因式分解可得，至此问题即可迎刃而解； （2）先确定方程中的a、b、c分别是什么数，再求判别式判别式的值，然后根据求根公式解方程即可. 【小问1详解】 解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 这里， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，为所求． 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，作旋转图形，掌握中心对称图形与旋转图形是解题的关键． （1）根据关于原点对称点的坐标变化得到的三个顶点关于原点O的对称点，，的坐标，再在坐标系中描出点，，，依次连接即可得到； （2）根据旋转的性质作出点，，，依次连接即可得到，由平面直角坐标系直接写出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，，，与关于原点O对称， ∴，，． 【小问2详解】 略 19. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】（1）；（1）1. 【解析】 【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得； (2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得. 【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意， 当时，方程是一元二次方程，由题意得 ， 解得：， 综上，的取值范围是； (2)和是方程的两根， ，， ， ， 解得， 经检验：是分式方程的解，且， 答：的值为. 【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键. 20. 寒假期间，某校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择老师参加培训． （1）若选择一位老师参加培训，则选中丁老师的概率是 ； （2）若选择两位老师参加培训，请你用列表法或画树状图法求出选择的两位老师中恰好有甲老师的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择老师参加培训，得出选中丁老师的概率是； （2）理解题意，画出树状图，得出所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中选择的两位老师中恰好有甲老师的结果有6种，再运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵某校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择老师参加培训， ∴选择一位老师参加培训，则选中丁老师的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等， 其中选择的两位老师中恰好有甲老师的结果有6种， ∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率． 21. 抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳，分别与空竹相切于点，，连接左右两个绳柄，，经过圆心，交于点，，． （1）求证：． （2）若，，求两个绳柄之间的距离． 【答案】（1） 证明：连接，，如图所示， ∵，分别与相切于点C，D， ∴． ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴． ∴； （2）两个绳柄之间的距离为20 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识． （1）连接，，证明即可得出； （2）设，则，在中，由勾股定理得出方程，求解方程即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． ∴． ∴． 22. 在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决下列问题： （1）若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知，且，所以， 所以，解得，． 所以点P的坐标为　　　　． （2）若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标． （3）若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解题意是解决本题的关键． （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于x的方程，利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，点P的坐标为或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 由定义可知，且， ∴， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 由定义可知，且， ∴， ∴ 由题意得，， ∴． 23. 综合与实践： 如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点，连接，． 【观察猜想】 （1）图①中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】 （2）把绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接，判断的形状，并证明； 【拓展延伸】 （3）把绕点A在平面内自由旋转，，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），； （2）是等腰直角三角形．证明如下： 如图②，连接，． 由旋转知，． ，， ． ，． 点M，P，N分别是，，的中点， ，分别是，的中位线． ，，，． ，，． 是等腰三角形， ， ． ， ． ． 是等腰直角三角形． （3）最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）先证明，则，，可得，分别是，的中位线，，，，，则，，，再导角证明即可； （3）连接，由勾股定理可得，同理，由（2）知，是等腰直角三角形，，则最大时，即最大，的面积最大，此时点D在的延长线上，此时，故，即可求解面积． 【详解】解：（1）点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）如图②，连接， ，，均为等腰直角三角形， ∴， ∴，同理． 由（2）知，是等腰直角三角形，． 最大时，即最大，的面积最大． ∵， 的面积最大时，点D在的延长线上，此时． ． ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $