专题2.4 双曲线导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学导学案以“双曲线”为核心，围绕定义、方程、性质及应用构建学习目标，通过“必备知识系统梳理-分考点例题与变式训练-综合强化实训”的递进式设计，形成从基础到综合的完整学习路径，帮助学生构建系统化的双曲线知识体系。 亮点在于“考点专练”的分层设计，每个考点设置经典例题与变式训练，如离心率求值问题培养数学思维的推理能力，轨迹问题强化数学语言的模型意识，同时表格化知识框架便于对比记忆，为教师实施单元复习提供清晰教学脉络，助力学生深度学习与能力提升。

专题2.4 双曲线 高中数学导学案 专题2.4 双曲线 考点预览 一、必备知识 1.双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线 方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 2.双曲线渐近线的常用结论： （1）双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； （2）双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 二、考点专练： 地 城 考点01 双曲线方程与基本量 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)双曲线的虚半轴长为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西梧州·期末)双曲线的焦距为（    ） A． B．3 C． D．6 2．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末) (多选)关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3．(多选)已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 4．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中) (多选)已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 地 城 考点02 双曲线的定义与焦点三角形 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2．(24-25高三上·河北保定十县一中·)已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为 . 【变式训练】 1．(21-22高二上·山西太原·期末)已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（   ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 2．设双曲线的左、右焦点分别为，若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广西贵港·期末) （多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 4．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 地 城 考点03 双曲线的渐近线 【经典例题】 1．(23-24高二上·山西朔州怀仁·调研)已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高三上·湖南天壹名校·)已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．3 【变式训练】 1．(24-25高二上·河北部分校·期中)直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 2．(23-24高二上·广西百色·期末)设双曲线（）的虚轴长为2，焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广西部分学校·)已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 5．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 6．(23-24高二上·广西北海·期末)（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点．则（    ） A． B．点的坐标为 C．是的中点 D．是的中点 【经典例题】地 城 考点04 双曲线离心率求值问题 1．(24-25高二上·广西贵港·期末)已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西河池·期末)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(20-21高二上·重庆育才中学·月考)过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 3．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高二上·重庆部分区·期末)已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，且，的平分线交x轴于点M，，则双曲线C的离心率为 ． 7．(24-25高二上·北京第二十中学·月考)已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 . 7．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 8．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 9．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 【经典例题】地 城 考点05 双曲线离心率求取值范围问题 1．(24-25高二上·贵州安顺·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 3．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【变式训练】 1．若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·浙江杭州八县区·期末)设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 5．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·重庆第一中学校·期中)双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是 . 7．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高二上·吉林吉林第一中学·月考)已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．(25-26高二上·浙江丽水发展共同体·期中)设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是 . 10．(24-25高二上·安徽合肥第一中学肥东分校等校·期末)已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 地 城 考点06 轨迹问题 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式训练】 1.在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 . 2.在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 3.已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 4．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 地 城 考点07 解答题 【经典例题】 1．(21-22高二上·山西太原·期末)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； (2)渐近线方程为，经过点． 2．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【变式训练】 1．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长. 2．已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为． （i）求证：为定值； （ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 三、强化实训 1．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知双曲线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·江西部分重点中学·期末)双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高二上·广西合浦县·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为( ) A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（  ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 7．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（    ） A． B． C．10 D． 8．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 10．（多选）已知双曲线的左､右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为3 C．点到两条渐近线的距离之积为 D．当与､不重合时，直线，的斜率之积为3 11．(23-24高二上·广西桂林·期末) （多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为 12．(23-24高二上·广西北海·期末)在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值． 13．(24-25高二上·广西桂林·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. (1)求的方程； (2)直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 14．(24-25高二上·江西八校协作体·)已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. (1)求的方程； (2)若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 试卷第1页，共3页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $专题2.4 双曲线 高中数学导学案 专题2.4 双曲线 考点预览 一、必备知识 1.双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线 方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 2.双曲线渐近线的常用结论： （1）双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； （2）双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 二、考点专练： 地 城 考点01 双曲线方程与基本量 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)双曲线的虚半轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将双曲线的方程化为标准方程得，则，，可得双曲线的虚半轴长为.故选：D. 2．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】方程表示双曲线，因为恒成立，所以，解得， 故选：A． 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西梧州·期末)双曲线的焦距为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【详解】因为，所以焦距.故选：D. 2．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末) (多选)关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【详解】由题意得：对于方程， ①当时，方程即，表示圆； ②当时，方程即，即，表示y轴； ③当且时，方程即，若，方程表示双曲线；若且，方程表示椭圆. 综合可得：方程不可能是抛物线.故选：ABD. 3．(多选)已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项，若曲线C表示为椭圆，则，可得且， B错误； 对于C选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，有，可得， C错误； 对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，有，可得， D正确． 故选：AD． 4．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中) (多选)已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项，若曲线C表示为椭圆，则，可得且， B错误； 对于C选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，有，可得， C错误； 对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，有，可得， D正确． 故选：AD． 地 城 考点02 双曲线的定义与焦点三角形 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【详解】因为，所以，因为是双曲线上的一点，所以，即，解得（舍去），或.故选：B. 2．(24-25高三上·河北保定十县一中·)已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】由题可知，，设，则由，得，，则.由，得，解得，又点为的中点，则点到直线的距离.故答案为： 【变式训练】 1．(21-22高二上·山西太原·期末)已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（   ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 【答案】D 【详解】双曲线中，，由双曲线定义知：，而，又且，∴3或7，故选：D. 2．设双曲线的左、右焦点分别为，若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，三角形两边的和大于第三边，故排除A,B选项.当轴时，，，，此时为直角三角形，排除C选项.故本小题选D. 3．(24-25高二上·广西贵港·期末) （多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 【答案】BCD 【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误；对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确；对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确；对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确.故选：BCD. 4．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【详解】由题意， 当且仅当，，三点共线时等号成立.而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为.所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 地 城 考点03 双曲线的渐近线 【经典例题】 1．(23-24高二上·山西朔州怀仁·调研)已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，又，故，解得，显然渐近线方程为. 故选：B 2．(23-24高三上·湖南天壹名校·)已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由于双曲线的一条渐近线为，所以.故选：A 【变式训练】 1．(24-25高二上·河北部分校·期中)直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线为，又是双曲线的一条渐近线，即，解得.故选：A 2．(23-24高二上·广西百色·期末)设双曲线（）的虚轴长为2，焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：因为该双曲线的虚轴长为2，焦距为，所以，解得，所以该双曲线方程为，故渐近线方程为：，故选:A. 3．(24-25高二上·广西部分学校·)已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B. 4．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设，又，所以，所以，因为为的中点，所以，即，所以两边平方得，所以，即，即，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为. 5．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】依题意，设，则，因为点在以为直径的圆上，则，在Rt中，，则，故或(舍去)，所以，则，故，所以在中，，整理得，则，则，则，故的渐近线方程为.故答案为：. 6．(23-24高二上·广西北海·期末)（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点．则（    ） A． B．点的坐标为 C．是的中点 D．是的中点 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，为的中点，所以，A正确； B选项，渐近线方程为，设，则，解得，故，B错误； C选项，由B选项知，，，故，直线方程为，即，联立，解得，故，由于，故是的中点，C正确； D选项，联立，即，解得，负值舍去，故，故， 由于，故是的中点，D正确. 故选：ACD 【经典例题】地 城 考点04 双曲线离心率求值问题 1．(24-25高二上·广西贵港·期末)已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的焦距为，焦点为因为双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为.因为，所以，，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 2．(24-25高二上·广西河池·期末)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知延长 则必过点 ，，设，则，， 由双曲线的定义可得，，由可得， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 解得：，则，故选：D 【变式训练】 1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，； 因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A 2．(20-21高二上·重庆育才中学·月考)过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由可知，，，，直线，，由可知，，，化简可得：，，即，解得：.故选:B． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查向量在几何问题中的应用，考查计算能力，属于中档题． 3．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由于，因此点A到渐近线距离为，其中一条渐近线方程为， 所以有，可得.故选：C. 4．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，，设，则, 由，得，解得，又在双曲线上，所以，即，整理得，即，由解得.故选：B 5．(22-23高二上·重庆部分区·期末)已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，又因为，且分别为，的中点，所以,所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：①，因为，所以即，整理得：，将①代入，，所以.故选：C. 6．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，且，的平分线交x轴于点M，，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为的平分线交轴于点，，所以由角平分线定理得，则，又因为，所以，，在中，，由余弦定理得，整理得，故双曲线C的离心率．故答案为：. 7．(24-25高二上·北京第二十中学·月考)已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连结，因为四边形是菱形，所以，所以，并且根据对称性可知是等边三角形，所以，，所以根据双曲线定义可知，即，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：. 7．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，∴，， 设，，则在中由余弦定理得，， ∴化简得，该式可变成．故选A． 8．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】由正弦定理可知且，又因为，可解得，又因为，所以为的中点，所以，又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以，所以， 又因为，所以，所以，解得，故答案为：. 9．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，将代入中，故，则.故答案为：.   【经典例题】地 城 考点05 双曲线离心率求取值范围问题 1．(24-25高二上·贵州安顺·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 2．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，，由于为平行四边形，故,直线的方程为，渐近线方程，联立，故, 所以，因此，化简得， 故离心率为，故答案为：   3．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】浙江省绍兴市上虞中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，由，，则，，，所以，从而有，故，当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故答案为：． 【变式训练】 1．若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，为使双曲线与双曲线有公共点，只需，则离心率为.故选：D.故选：D 2．(24-25高二上·浙江杭州八县区·期末)设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得，因此，由，得，则，即，则，所以的取值范围是. 3．已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，   则到渐近线的距离，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以．故答案为： 4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设直线的方程为，则其与另一条渐近线的交点为，   由为锐角，可得，即，化简得，，，所以．故离心率的取值范围为．故答案为： 5．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设，根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即，又因为， 所以，即，.故选：B. 6．(25-26高二上·重庆第一中学校·期中)双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由双曲线的右焦点为，则，又由圆的圆心为，半径为，设圆上的一点，可得的中点坐标为，因为双曲线的渐近线方程为，可得，即，又因为直线与圆存在公共点，则圆心到直线的距离，即，可得，所以，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为.故答案为：. 7．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的焦距为，且 设点P在第一象限，则根据椭圆与双曲线的定义，可得，解得 在中，，由余弦定理得，即，整理得两边都除以c，可得，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则可得，整理得，因为，所以，可得，所以，可得，可得.故选：C. 8．(25-26高二上·吉林吉林第一中学·月考)已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则，  由椭圆与双曲线的定义得，可得，因为，所以，即，则，故，且，则，所以，由于函数在上为增函数，所以，则，故的取值范围是.故选：D. 9．(25-26高二上·浙江丽水发展共同体·期中)设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率绝对值小于，所以，则，，设，则，所以；由于，因为，所以，则，则，因为，所以.故答案为： 10．(24-25高二上·安徽合肥第一中学肥东分校等校·期末)已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得，所以，因为，所以，根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以，在中，由余弦定理得，化简得，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1.故答案为：1. 地 城 考点06 轨迹问题 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确；对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确；对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确；对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确.故选：B. 2．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设动圆的圆心，半径为，依题意，，则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.故答案为： 【变式训练】 1.在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，，所以轨迹的方程为. 2.在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 【答案】. 【详解】因为在线段的垂直平分线上,所以,所以, 由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,则,,得,所以曲线的方程为.故答案为： 3.已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,设动圆的半径为,由动圆与圆,都外切,得,则，因此点的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支，设方程为,则,所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 4．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆，即，圆心为，半径，设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是，若动圆与圆相外切，所以，， 所以，所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，所以，所以动圆圆心的轨迹方程是，综上可得动圆圆心的轨迹方程是.故选：C 5．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆N：的圆心为，半径为，且.设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是.故选：A 6．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设点，由已知得，整理得，所以点P的轨迹方程为．故答案为：. 地 城 考点07 解答题 【经典例题】 1．(21-22高二上·山西太原·期末)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； (2)渐近线方程为，经过点． 【详解】（1）设双曲线的标准方程为：， 由题知：， 双曲线方程为：. （2）设双曲线方程为：， 将代入，解得， 所以双曲线方程为：. 2．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以，故，故， 所以双曲线； （2）双曲线的右焦点为， 当直线斜率不为零时，设直线的方程为：， 设,，由，得 恒成立，， ，即以直径的圆恒过点. 当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点， 综上，以直径的圆恒过点. 【变式训练】 1．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长. 【详解】由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为 因为点在双曲线上，代入方程得：. 解得. 所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为， 并且，， 则， 离心率，实轴长． 2．已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为． （i）求证：为定值； （ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线的右焦点为，且过点， 所以其中，解得 双曲线的方程为． （2）（i）设直线的方程为， 由得， 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，所以得， 即． （ii）设直线的方程为， 由得，， 由，结合（i）可知， 由，得，即，或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点． 三、强化实训 1．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知双曲线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线,可知该双曲线的离心率.故选:C. 2．(23-24高二上·江西部分重点中学·期末)双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，即，解得.故选：B 3．(24-25高二上·广西合浦县·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，所以渐近线方程为，即故选：C 4．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的离心率是3，可得，则. 则双曲线的渐近线的方程为：.故选：A. 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）.所以.故选：A. 6．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 【答案】B 【详解】因为，所以，所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为，所以离心率不相等，故A错误；因为，所以实轴长不相等，故C错误； 因为，所以虚轴长不相等，故D错误.故选：B. 7．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程是，∴，即，∵左焦点，∴，∴，∴，，∴双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，∴，，∴．故选:C 8．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，如下图所示：  由题意可得，；又，由可得， 即，解得；所以；因为，所以；即，可得，即，解得.故选：D 9．（多选）已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误；对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确；对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误；故选：BC 10．（多选）已知双曲线的左､右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为3 C．点到两条渐近线的距离之积为 D．当与､不重合时，直线，的斜率之积为3 【答案】BCD 【详解】对于A，，，故A错误；对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确；对于D，设，由C得，，，故D正确；故选：BCD 11．(23-24高二上·广西桂林·期末) （多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于双曲线，，，， 对于A选项，的离心率，A对； 对于B选项，的渐近线方程为，即，B对； 对于C选项，的焦距为，C错； 对于D选项，的焦点到渐近线的距离为，D对. 故选：ABD. 12．(23-24高二上·广西北海·期末)在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值． 【详解】（1）易知双曲线的渐近线为，根据题意可知，解之得， 故双曲线的标准方程为； （2） 由上可知，设，显然， 由题意可知，即， 而. 13．(24-25高二上·广西桂林·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. (1)求的方程； (2)直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 因为双曲线右顶点，所以， 由，得：， 所以，则双曲线的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然， 联立，消去得：， 由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且， 于是得，则， 双曲线的渐近线为， 联立，消去得：， 设，，则. 当直线的斜率不存在时，，故， 综上，点与点的横坐标的积为定值3. ②由①，且，， 因为，分别在双曲线的两条渐近线上，不妨取， 则，当且仅当时取等号， 所以△周长的最小值为6. 14．(24-25高二上·江西八校协作体·)已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. (1)求的方程； (2)若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由题意知 解得，， 所以的方程为. （2）由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由，消得， 所以，解得， 所以. ①因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ②直线，即， 由，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 试卷第1页，共3页 30 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $