专题04 双曲线及其应用（考点+二级结论+15题型+易错，期末复习知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学双曲线专题知识清单全面梳理了双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与位置关系四大核心知识点，结合15类典型题型和2类易错点，搭建从基础概念到综合应用再到易错警示的递进式学习支架。 清单采用“知识点清单+题型分类+易错点剖析”的体系，如“双曲线定义”明确a与c关系的三种轨迹情况，“焦点三角形”给出面积公式推导过程，培养学生数学思维。二级结论附证明，如中点弦斜率公式，题型含离心率、定点定值等，易错点配实例分析，帮助学生用数学语言规范表达，教师可精准设计教学，学生自主复习能高效突破重难点。

专题04 双曲线及其应用（4知识&15题型&2易错） 【清单01】双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 【清单02】 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 【清单03】 双曲线的简单几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1 (－a,0)， A2 (a,0) 顶点坐标： A1 (0，－a)， A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 【清单04】直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 2.直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 3.双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 【二级结论1】双曲线的焦点三角形的内心 ①若点P在双曲线（，）的右支上且不与右顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为a． ②同理，若点P在双曲线（，）的左支上且不与左顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为． 证明 以点P在双曲线（，）的右支上情形为例分析，左支情形也可以依葫芦画瓢． 令的内接圆与，，依次相切于D，E，G三点，连接IP，，，ID，IE，IG，如图所示， 根据内心的性质可得，，． 因为点P在双曲线（，）的右支上，所以， 所以，所以，所以， 又（D在上），所以，，所以点D的坐标为， 所以焦点三角形的内心I的横坐标为a． 【二级结论2】双曲线弦中点问题 若直线与双曲线（，）交于，两点，且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在双曲线（，）上， 所以（点在双曲线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 【二级结论3】双曲线（，）的切线 先将双曲线（，）的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得双曲线（，）在左、右顶点处的切线方程分别为，． ②双曲线（，）在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而双曲线（，）在点处的切线方程为，于是（同乘），于是就有（点在双曲线上），因此双曲线（，）在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，双曲线（，）在点处的切线方程为． 结合①②③可得，双曲线（，）在点处的切线方程为． 注：通过隐函数求导求切线方程只能在小题中使用，在大题中求切线方程时需要联立求解． 题型1 对双曲线定义的理解及应用 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 【例1】（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】B 【分析】首先求出、，再根据双曲线的定义计算可得. 【详解】双曲线，则，，所以， 又，，解得或， 又，所以. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）与两圆和都外切的圆的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．两支双曲线上 D．一条抛物线上 【答案】B 【分析】由条件求出圆和圆的圆心坐标和半径，设与圆和圆都外切的圆的圆心为，结合条件可得，结合双曲线定义判断点的轨迹可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 方程可化为 圆的圆心为，半径， 设与圆和圆都外切的圆的圆心为，该圆的半径为， 则，， 所以，且， 所以点的轨迹为以，为焦点的双曲线左支， 故选：B. 【变式1-2】【多选】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．（   ） A．若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆 B．若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线 C．若运算*为乘法，则点的轨迹为直线 D．若运算*为除法，则点的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】根据题目新定义的条件，结合曲线的定义分别分析即可. 【详解】对于A，若运算*为加法，则有， 因为，所以， 所以根据椭圆的定义知，的轨迹是以A，B焦点，实轴长为的椭圆， 故选项A正确； 对于B，若运算*为减法，则有， 当时，点的轨迹不存在， 故选项B错误； 对于C，若运算*为乘法，则有，， 设，则由有， ， 两边平方得：，其中， 所以方程不可能表示直线，所以点的轨迹不是直线， 故选项C错误； 对于D，若运算*为除法，则有， 设，由，即， 即， 两边平方：， 整理得：， 因为，所以， 所以， 由 ， 因为，所以， 所以， 所以点的轨迹是圆，故选项D正确， 故选：AD． 【变式1-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 题型2 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【例2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 【变式2-2】【多选】（2020·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 【变式2-3】（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 题型3 双曲线中的距离和差的最值问题 双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 【变式3-1】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 【变式3-3】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 题型4 双曲线标准方程的求解 待定系数法求双曲线标准方程 【例4】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在直角中，.若以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以为焦点，且过点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定即可求解； 【详解】由题意可知：，即， 可得：,由结合双曲线的定义可得：, 即，则， 所以双曲线方程为：， 故选：B 【变式4-3】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【详解】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用是的中垂线、的周长与的周长之差得到关于的方程组求解. 题型5 双曲线标准方程的参数问题 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【例5】（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 【变式5-1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式5-2】【多选】（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C， 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 当时，此时方程表示圆，所以A不正确； 对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确； 对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误； 对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确． 故选：BD． 【变式5-3】【多选】（24-25高二上·海南·期末）已知方程．则下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆 B．若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C．若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．该方程可以表示两条平行直线 【答案】BCD 【分析】利用椭圆、双曲线方程特征及直线方程特征逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，方程为，表示圆，A错误； 对于B，当时，方程为，，该方程表示焦点在轴上的椭圆，B正确； 对于C，该方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，C正确； 对于D，当时，方程表示两条平行直线，当时，方程也表示两条平行直线，D正确. 故选：BCD 题型6 与双曲线有关的轨迹问题 与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． ． 【例6】（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式6-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 题型7 求双曲线离心率的值或范围 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 【例7】（24-25高二下·甘肃定西·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 【变式7-2】【多选】（25-26高二上·云南文山·月考）设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆和双曲线离心率公式代入计算即可. 【详解】设圆锥曲线的离心率为， ①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有； ②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有. 综上，所求的离心率为或. 故选：AD. 【变式7-3】（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 题型8 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志． 【例8】（河南省南阳地区十校2025-2026学年高二上学期12月阶段联考数学试题）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将整理为，发现该曲线为双曲线的一支，在坐标系中画出该曲线及其渐近线，再结合双曲线的性质，数形结合即可确定的取值范围. 【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为. 过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与. 由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对曲线方程进行分类讨论得或，直线过定点，再联立曲线方程和直线方程求解. 【详解】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·江苏无锡·月考）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论直线与双曲线的右支只有一个交点的临界情况，即直线与双曲线右支相切或直线与双曲线的渐近线平行求对应参数值，数形结合确定参数范围. 【详解】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选： 【变式8-3】（25-26高二上·北京·月考）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 题型9 直线与双曲线相交弦长问题 “先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 弦长公式：或（）． 【例9】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，写出关于的方程组，即可求解； （2）直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； （2）联立，得， 设直线被双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ， 解得： 【变式9-1】（25-26高二上·四川绵阳·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过，与双曲线的右支交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过已知渐近线方程得出斜率关系，结合双曲线标准方程中渐近线公式得到参数比值，再代入已知点坐标建立关于参数的方程求解得到双曲线方程. （2）由双曲线方程确定焦点坐标，再设出过焦点的直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理得到交点横坐标关系，利用三角形面积公式转化为纵坐标差的条件，结合弦长公式最终求得弦长. 【详解】（1）已知双曲线与双曲线渐近线相同， 由的渐近线方程得， 故的渐近线方程斜率为，即，得， 可得，代入点得，解得， 故. （2）由方程得，焦点， 设直线，与联立得， 设，韦达定理得， ，又得， 而，其中，代入得， 平方整理得，解得， 弦长. 【变式9-2】（25-26高二上·贵州铜仁·月考）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求： (1)双曲线的焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据双曲线方程确定双曲线参数，即可得焦点坐标； （2）根据已知和点斜式写出直线方程； （3）联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求. 【详解】（1）由双曲线，即，则，故， 所以左焦点，右焦点； （2）由直线过且倾斜角为，则，所以； （3）联立，则，整理得， 其中，所以，， 则. 【变式9-3】（25-26高二上·河南新乡·月考）已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式、两点间距离公式及三角形面积公式表示出三角形面积，进而表示出三角形面积和，结合基本不等式计算即可. 【详解】设点，则. 直线的方程：，即；直线的方程：，即. ， 点到直线的距离：， . ，点到直线的距离：， . 所以. 设，，则，. ，当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为. 故答案为：. 题型10 双曲线的中点弦问题 既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【例10】（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 【变式10-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率 . 【答案】 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式10-2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【答案】 【分析】设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    【变式10-3】（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设坐标为，利用直线，相交于，且它们的斜率之积为，即可确定出的轨迹方程； （2）设出与坐标，分别代入的轨迹方程，整理由根据为中点，求出直线斜率，即可确定出直线方程． 【详解】（1）设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； （2）由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即. 题型11 双曲线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【例11】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）求出渐近线方程，根据垂直关系得到方程，求出，再根据通径长得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设过的直线方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，并得到，，表达出直线的方程，由对称性分析可知直线过的定点在轴上，又，从而求出，故直线过定点； （ii）在（i）基础上，得到，换元得到，，根据单调性求出最值. 【详解】（1）的两渐近线方程为， 由题意得，故， ，中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； （2）由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线的斜率为，直线方程为， 由对称性分析可知直线过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线过定点； （ii），由于直线过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 【变式11-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线、直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证直线过定点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线所过点坐标和离心率公式得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可； （3）写出直线的方程为，将其与双曲线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，再写出直线方程，最后化简即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设，由题意得， 当直线的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则， 设直线的方程为． 联立，得 因为、在的左支，所以， 所以 解得或， 所以的取值范围为． （3）由题意得直线的方程为， 代入：，得， 设，所以， 即，则， 所以，同理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点. 【变式11-2】（25-26高二上·湖北襄阳·月考）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 【变式11-3】（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【详解】（1）设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． （2）依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点．    题型12 双曲线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【例12】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知焦点在轴上的双曲线，实轴长为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线，当为何值时，直线与双曲线相交？有一个公共点？ (3)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率都存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，求出即可； （2）联立直线与双曲线得方程，分二次项系数是否等于零两种情况讨论，再根据根的判别式求解即可； （3）设，则，利用双曲线方程和直线的斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题意设双曲线的标准方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）联立，消得， 当，即时， 方程化为，此时直线与曲线有一个公共点且相交； 当时，， 令，即，解得，此时直线与曲线有一个公共点； 令，即，解得，此时直线与曲线相交， 综上所述，当或时，直线与曲线相交； 当或时，直线与曲线有一个公共点； （3）设，则， 因为点在曲线上，所以，则 ， 所以直线和直线的斜率之积为定值. 【变式12-1】（河北省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题）在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，. 【分析】（1）用坐标表示已知几何条件，并化简可得； （2）设出两点，再利用点差法即可证明. 【详解】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 【变式12-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      【变式12-3】（25-26高三上·青海·月考）已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，根据题意可得，再根据离心率及的关系可求得，，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 题型13 双曲线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【例13】（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值. 【详解】如下图示，，，， 所以，    由图知：，且可以同时取到， 所以的最大值为. 故选：D 【变式13-1】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 【答案】A 【分析】由已知可得，将点代入双曲线方程得，进而可求，直线的方程为.令，得， .连接，.由可得，所以.又因为点为双曲线左支上一点，且，可知当时，取得最小值，即可求解的最大值. 【详解】由已知可得，将点代入双曲线方程得，解得， 所以，所以，直线的方程为. 令，解得，所以，所以，所以. 连接，.因为，所以， 所以. （另解  也可用极化恒等式来化简，）. 又因为点为双曲线左支上一点，且，所以当时，取得最小值，所以的最大值为40. 故选：A. 【变式13-2】（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象确定与双曲线相切时，最小，再通过求导确定切线方程，即可求解； 【详解】由图知当与双曲线相切时，最大从而最小. 此时两点关于轴对称，， 对方程两边求的导数得，所以， 设点，则， 切线的方程为，即， 而，所以的方程为， 将代入得，从而， ， 故选：D 【变式13-3】（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 题型14 双曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 【例14】（25-26高二上·黑龙江·期中）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线. 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）设，求出直线的方程，然后计算出点到的距离，结合“等线”的定义证明即可. 【详解】（1）由题意知，显然点在直线的下方， 因为直线为的等线，所以，又， 解得，所以的方程为. （2）设，切线，代入， 得， 故， 该式可以看作关于的一元二次方程，方程仅一个根， 所以，即方程为，当的斜率不存在时，也成立. 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故. 所以， 所以， 所以，所以. （3）设，由，所以， 又，所以，即， 故曲线的方程为. 由（*）知切线为，也为，即，即， 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 由得 因为， 所以直线为的等线. 【变式14-1】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于，两点，证明：直线与圆相切的充要条件是. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程； （2）先联立方程得出的表达式，结合充要条件的定义进行证明即可. 【详解】（1）该双曲线的渐近线为，即，设焦点为， 由题意可得方程组解得 则双曲线的方程为. （2）由双曲线的对称性，可设直线的方程为，且. 联立直线与双曲线方程，即可得， 则，. 从而. 必要性：由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，则， 故； 充分性：由，即，解得， 则直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，则直线与圆相切, 所以直线与圆相切的充要条件是.    【变式14-2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． (1)求双曲线的离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线方程得，利用，最后利用离心率公式即可求解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 所以，得． 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，因，则, 得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上． 【变式14-3】（25-26高二上·河北·期中）已知动圆与圆和圆都外切，动圆圆心的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与双曲线恰好有一个公共点，求的值组成的集合； (3)设点在直线上，过的两条直线分别交双曲线于，两点和，两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设动圆的半径为，根据圆与圆的位置关系列式结合双曲线的定义即可求解； （2）直线与双曲线右支恰好有一个公共点有两种情况，与渐近线平行或者与双曲线相切，分别计算即可； （3）将问题转化为，直线分别与双曲线联立，利用弦长公式以及韦达定理分别计算即可证明. 【详解】（1）设动圆的半径为，则由动圆与圆外切得：， 由动圆与圆外切得：， 所以， 由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线右支， 故曲线的方程为. （2）由题意知，直线与双曲线右支恰好有一个公共点， 而直线的方程为， 由得， 当，即时，此时直线与双曲线渐近线平行，恰好与右支有一个公共点，满足题意， 当，即时，，由得，． 此时直线与双曲线的右支相切，恰好有一个公共点，满足题意， 当时，直线的方程为，与曲线：的交点为， 满足“恰好有一个公共点”的题意， 综上所述，的值组成的集合为. （3）要证，只需证． 设点的坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为， 则直线的方程为， 即． 由得， 从而， 故 ， 用替换上式中的可得：， 所以，证毕. 题型15 双曲线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 【例15】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，倾斜角为. 【分析】（1）根据虚轴长得出，再结合渐近线方程计算求解； （2）应用双曲线定义结合是的右支上一点得出结合计算求值； （3）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得. 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式15-1】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知双曲线的焦距为4，且点在上． (1)求的方程； (2)已知过点的直线交双曲线于两点，是否存在以为直径的圆过坐标原点?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用给定的点及焦距列式求出即可. （2）按直线的斜率是否存在分类，并设出的方程与双曲线方程联立，结合向量垂直的坐标表示列式求解并判断. 【详解】（1）由双曲线的焦距为4，得， 由点在上，得，联立解得， 所以双曲线的方程为：. （2）不存在，理由如下： 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，线段的端点为和， 则不存在以为直径的圆过坐标原点； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，，， 则， 若存在以为直径的圆过坐标原点，则，即， 因此，无解， 所以不存在这样的直线，使得以为直径的圆过坐标原点. 【变式15-2】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)动点的轨迹为双曲线． (2)存在点满足题意. 【分析】（1）根据题意，结合距离公式，化简计算，即可得答案. （2）由题意，根据面积公式，分析可得，即，设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据直线方程，代入，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. （2）因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因为，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 【变式15-3】（24-25高二下·浙江温州·月考）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）法1，先求出，设，根据得到，设直线AB：，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，得到直线方程； 法2：定比点差法，变形得到，设，根据得到，故，联立得到相应的方程组的解，分两种情况，得到直线方程； （2）在（1）的基础上，得到，，当，无解，舍去；当，根据求出答案； （3）变形为．T、A、P、B四点共线，则直线，又，故，根据比例关系得到，又由（2）得两根之和，两根之积，代入整理得，解得，与矛盾．故不存在这样的． 【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 因为， 所以，代入，解得， 故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）： 因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得， 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． （2）设，则，，， ，所以，即， 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故， 故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得， 解得或． 综上所述，的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故， 从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得． 所以， 又由（2）得，， ，， 所以，，代入整理得． 而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾． 故不存在这样的． 【题型一】定义应用时忽略“绝对值”致错 【例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出动点的轨迹方程，再求出渐近线方程，由直线与双曲线右支有公共点即可求出的范围. 【详解】由，得在以点为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上， 依题意实半轴长，虚半轴长， 则点的轨迹方程为，其渐近线方程为， 由直线与双曲线右支有公共点，可得. 故答案为：. 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 【变式1-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆：，圆：，动圆与圆、圆都相外切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的概念，以及圆与圆的位置关系，求出线段之间的关系，进而写出动点轨迹方程. （2）根据直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理，根据向量关系，求出坐标间的关系,列出方程，求出结果. 【详解】（1） 设动圆的半径为， 圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 又因为动圆与圆、圆都相外切，所以，，， 所以，即动圆圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 又，所以，，， 所以，的方程为. （2） 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设过点的直线的方程为， 联立，消去得， 可知. 设，，则，， 由题意知点，均在双曲线的右支上，由，得， 可得，解得， ，解得， 可得，解得，即， 所以，直线的方程为，即或. 【题型二】与直线联立求解时漏判特殊情况致错 【例2】（25-26高二上·重庆·月考）已知点，动点 满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见详解. 【分析】（1）设点坐标为，利用斜率公式，结合已知列方程化简可得； （2）设出直线方程，联立曲线的方程消去，利用韦达定理和中点坐标公式求出斜率，通过判别式检验可得结论. 【详解】（1）设点坐标为，则， 又，所以， 整理得轨迹E的方程为. （2）不存在，理由如下： 易知当直线斜率不存在时，直线与曲线无交点，故设直线的斜率为， 则直线的方程为：， 联立消去得， 直线与曲线交于C，D两点，所以. 若成立，则为的中点， 设，则，解得， 当时，，不满足题意， 故不存在直线l使得成立. 【变式2-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据双曲线的渐近线求出，即可得解. （2）①根据双曲线对称性得，进而，设，则，代入双曲线方程即可求解； ②设直线，与双曲线联立方程，韦达定理，根据数量积坐标运算化简得，然后利用及求解即可. 【详解】（1）根据题意得，故，故C的方程为． （2）①根据双曲线对称性知，故， 所以； 故，设，则， 又，解得，即，从而． ②由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②， ， 则，因为在直线上， 则， 即，即， 将①②代入有， 即， 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得，又因为，则， 综上知，，故． 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 【变式2-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用双曲线的定义和之间的关系即可求出轨迹方程； （2）当时，符合题意，时，设是轨迹上关于对称的两点，设直线方程为，中点为，根据该中点在直线上以及在直线上，可得①式，联立直线与双曲线，结合韦达定理以及根的判别式，可得②③式，三个式子联立即得相关的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线及其应用（4知识&15题型&2易错） 【清单01】双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 【清单02】 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 【清单03】 双曲线的简单几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1 (－a,0)， A2 (a,0) 顶点坐标： A1 (0，－a)， A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 【清单04】直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 2.直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 3.双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 【二级结论1】双曲线的焦点三角形的内心 ①若点P在双曲线（，）的右支上且不与右顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为a． ②同理，若点P在双曲线（，）的左支上且不与左顶点重合，则焦点三角形的内心I的横坐标为． 证明 以点P在双曲线（，）的右支上情形为例分析，左支情形也可以依葫芦画瓢． 令的内接圆与，，依次相切于D，E，G三点，连接IP，，，ID，IE，IG，如图所示， 根据内心的性质可得，，． 因为点P在双曲线（，）的右支上，所以， 所以，所以，所以， 又（D在上），所以，，所以点D的坐标为， 所以焦点三角形的内心I的横坐标为a． 【二级结论2】双曲线弦中点问题 若直线与双曲线（，）交于，两点，且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在双曲线（，）上， 所以（点在双曲线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 【二级结论3】双曲线（，）的切线 先将双曲线（，）的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得双曲线（，）在左、右顶点处的切线方程分别为，． ②双曲线（，）在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而双曲线（，）在点处的切线方程为，于是（同乘），于是就有（点在双曲线上），因此双曲线（，）在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，双曲线（，）在点处的切线方程为． 结合①②③可得，双曲线（，）在点处的切线方程为． 注：通过隐函数求导求切线方程只能在小题中使用，在大题中求切线方程时需要联立求解． 题型1 对双曲线定义的理解及应用 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 【例1】（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）与两圆和都外切的圆的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．两支双曲线上 D．一条抛物线上 【变式1-2】【多选】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．（   ） A．若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆 B．若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线 C．若运算*为乘法，则点的轨迹为直线 D．若运算*为除法，则点的轨迹为圆 【变式1-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 题型2 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【例2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【变式2-2】【多选】（2020·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【变式2-3】（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 题型3 双曲线中的距离和差的最值问题 双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【变式3-1】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【变式3-3】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 题型4 双曲线标准方程的求解 待定系数法求双曲线标准方程 【例4】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在直角中，.若以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以为焦点，且过点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型5 双曲线标准方程的参数问题 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【例5】（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式5-1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【变式5-2】【多选】（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【变式5-3】【多选】（24-25高二上·海南·期末）已知方程．则下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆 B．若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C．若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．该方程可以表示两条平行直线 题型6 与双曲线有关的轨迹问题 与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． ． 【例6】（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型7 求双曲线离心率的值或范围 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 【例7】（24-25高二下·甘肃定西·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【变式7-2】【多选】（25-26高二上·云南文山·月考）设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型8 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志． 【例8】（河南省南阳地区十校2025-2026学年高二上学期12月阶段联考数学试题）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 【变式8-1】（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·江苏无锡·月考）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·北京·月考）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9 直线与双曲线相交弦长问题 “先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 弦长公式：或（）． 【例9】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【变式9-1】（25-26高二上·四川绵阳·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过，与双曲线的右支交于两点，且，求． 【变式9-2】（25-26高二上·贵州铜仁·月考）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求： (1)双曲线的焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)求. 【变式9-3】（25-26高二上·河南新乡·月考）已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为 ． 题型10 双曲线的中点弦问题 既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【例10】（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率 . 【变式10-2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【变式10-3】（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 题型11 双曲线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【例11】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【变式11-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线、直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证直线过定点． 【变式11-2】（25-26高二上·湖北襄阳·月考）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【变式11-3】（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 题型12 双曲线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【例12】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知焦点在轴上的双曲线，实轴长为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线，当为何值时，直线与双曲线相交？有一个公共点？ (3)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率都存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值． 【变式12-1】（河北省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题）在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式12-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【变式12-3】（25-26高三上·青海·月考）已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 题型13 双曲线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【例13】（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式13-1】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 【变式13-2】（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（    ）. A． B． C． D． 【变式13-3】（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型14 双曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 【例14】（25-26高二上·黑龙江·期中）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线. 【变式14-1】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于，两点，证明：直线与圆相切的充要条件是. 【变式14-2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． (1)求双曲线的离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【变式14-3】（25-26高二上·河北·期中）已知动圆与圆和圆都外切，动圆圆心的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与双曲线恰好有一个公共点，求的值组成的集合； (3)设点在直线上，过的两条直线分别交双曲线于，两点和，两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：． 题型15 双曲线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 【例15】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知双曲线的焦距为4，且点在上． (1)求的方程； (2)已知过点的直线交双曲线于两点，是否存在以为直径的圆过坐标原点?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 【变式15-2】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-3】（24-25高二下·浙江温州·月考）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【题型一】定义应用时忽略“绝对值”致错 【例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆：，圆：，动圆与圆、圆都相外切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程. 【题型二】与直线联立求解时漏判特殊情况致错 【例2】（25-26高二上·重庆·月考）已知点，动点 满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【变式2-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【变式2-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $