精品解析：辽宁省辽阳市2026届高三上学期质量检测数学数学试题

高三数学质量检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由， 又，则. 故选：D 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将转化为，若，则，利用这个公式求出. 【详解】， . 故选：A. 3. 已知向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程. 【详解】由得， 所以，即所求切线的斜率为4， 由点斜式可得所求切线方程为，即. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即 ， 又由对数函数的性质，可得，，所以， 所以 . 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的5倍，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义列方程，解方程即得答案. 【详解】点在抛物线上， 代入得，即，,所以. 根据抛物线的定义，， 点到轴的距离为， 由题意得，所以， 把代入，得：，即， 又，则 . 故选：C 7. 在四棱锥 中， 平面，四边形是正方形， ，是 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先找到异面直线与 所成的角，通过几何关系求出与该角的余弦值有关的线段长即可. 【详解】如图，连接， 因为 平面，平面， 所以 . 又四边形是正方形， ， 所以 ，， ， 所以异面直线与 所成的角即 与 所成的角，即. 由勾股定理得 ，， 所以，所以. 因为是 的中点，所以， 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知锐角 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和及 是锐角求出，利用二倍角的余弦公式求出，利用二倍角的余弦公式求出，利用公式求出 ，利用两角差的正切公式得到，代入数值求出，从而得到的值. 【详解】，，， ，， 是锐角，，， ， ， ，，， ， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由诱导公式结合的最小值求解判断；对B、C，代入法验证；对D，整体代换结合性质判断. 【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 所以， ．因为的最小值为， 所以，解得，A错误； 对于B、C：因为， 则，，B、C都正确； 对于D：当时，，在上单调递增，D正确． 故选：BCD. 10. 某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（ ） A. 2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B. 2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C. 2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D. 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直方图、扇形图分析、 年各路线对应慢跑人数，结合各项描述、极差的概念判断各项的正误. 【详解】由图及已知， 年一号线参与人数为千人， 所以 年参加10公里慢跑人数为千人，即6万人，A对， 所以 年五号线的参与人数为千人， 且年二号线、三号线的参与人数总和为 千人，显然B错， 年五条路线参与人数的极差为千人，C对， 由图及上述分析，年一号到五号线的人数依次为千人， 而 年一号到五号线的人数依次为千人， 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为： ，，，，， 所以2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D对. 故选：ACD 11. 已知点，，曲线上任意一点满足，则（ ） A. 当 时，曲线经过坐标原点 B. 对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C. 当时，直线 与曲线的所有交点的横坐标之积为 D. 当时，的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：代入检验即可判断；对于B：可得，根据方程判断对称性即可；对于C：令 可得，解方程即可；对于D：可得，根据几何性质可得，换元令，结合对勾函数性质求值域即可. 【详解】因为，且点，， 设点，则. 对于选项A：当 时，则， 若点为坐标原点，则，可得， 所以曲线不经过坐标原点，故A错误； 对于选项B：用 替换，替换， 可得， 即点在曲线上，所以对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称，故B正确； 对于选项C：当时，令 ，可得， 即，显然， 若，则， 整理可得，解得或（舍去）； 若，则，整理可得，解得； 若，则， 整理可得，解得（舍去）或； 所以所有交点的横坐标之积为，故C正确； 对于选项D：当时，则， 可得，且，解得， 因为，即，解得， 又因为， 令，则， 由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，可得， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列，，，则的公差为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质及通项公式即可求解. 【详解】由等差数列的性质得，， 又，，. 故答案为： 13. 已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意确定的值，可求双曲线的离心率. 【详解】圆的半径为. 由题意，对双曲线： ， ， 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故答案为： 14. 已知函数 ，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】至少有两个不同的零点等价于至少有两个根，即与至少有两个交点.画出的图象，分类讨论即可求解. 【详解】至少有两个不同的零点等价于至少有两个根，即与至少有两个交点.的图象如图所示： 当时，存在使得有两根，故满足题意； 当 时，存在使得有一个根，有一个根，故 满足题意； 当时，，，存在使得有两个根，故满足题意； 当 时，在上单调递增，， 在上单调递增， ，而，故不存在使得，同时成立，故 舍去. 所以的取值范围是： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别是 ，，，. （1）求角的大小； （2）若， ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）边角互换化简可得，则得到角大小. （2）直接代入余弦定理计算可得答案. 【小问1详解】 已知边角互换得 ， 因为， 则，即. 又因为是的内角，所以 可得. 【小问2详解】 余弦定理：，将， ，代入得 ( 整理得 解得。 16. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，左顶点为，直线交椭圆于另一点. （1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为6，且，求椭圆的方程和的面积. 【答案】（1） （2）椭圆的方程为；. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质结合直线的斜率为，得到，再结合离心率公式即可； （2）通过，求得，再结合求得，即可求出椭圆的方程，最后用三角形面积公式即可求出. 【小问1详解】 由题意得，， 又，， . 【小问2详解】 椭圆的焦距为6，，即，故，， 又，， 设，则，，解得，， 把和代入标准方程，得，即，， ，故椭圆的方程为. 又，点的横坐标为， 三角形的高为， 故. 17. 如图，在正方体中，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点. （1）证明：； （2）若正方体的棱长为4，求三棱锥 的体积； （3）当 时，求二面角 的余弦值的绝对值. 【答案】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为4，则 ， 设 ， ，则 ， ， 因为 ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为4， ，求，，利用空间向量证明线线垂直； （2）求 的面积，利用转换顶点法求三棱锥 的体积； （3）可得 ，分别求平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若正方体的棱长为4， 则 的面积， 所以三棱锥 的体积. 【小问3详解】 当 时，则 ， 可得 ， ， ， 设平面 的法向量，则， 令 ，则 ，可得 ； 设平面 的法向量，则， 令 ，则 ，可得 ； 因为， 所以二面角 的余弦值的绝对值为. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若在上存在极大值，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据确定 的值，此时不等式可化为，设，分析函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集. （2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围. 【小问1详解】 由. 所以. 由. 设，. 则，. 由 ；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又 ，所以在上恒成立. 即不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，. 所以. 当即 时，在上恒成立， 由 ；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在上只有极小值，无极大值； 当即时， 由或 ；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 当即时， 在上恒成立， 所以函数在上单调递增，无极值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当时，函数在上存在极大值. 19. 在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，. （1）求. （2）设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. （3）若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 【答案】（1）； （2） 0 1 2 （3） .【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案； （2）首先分析出的可能取值为0，1，2，再分别写出其对应的概率； （3）根据题意得到方程组，变形后构造得数列为等比数列，求出其通项公式，再利用分组求和法即可得到期望值. 【小问1详解】 已知每一步沿平行于的方向移动的概率为， 沿平行于的方向移动的概率为，两次移动后回到处有两种情况， 沿着或方向来回，故. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 【小问3详解】注意到掷偶数次时，该点不可能停在处或处，故 ． 由第一问，故掷两次后停在处的概率为， 由题意得， 两式相减得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 又因为 ，所以． 将该点出现在处记为1，出现在处记为0，故随机变量服从两点分布， ， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学质量检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的5倍，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 在四棱锥中， 平面，四边形是正方形， ，是 的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 10. 某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（ ） A. 2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B. 2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C. 2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D. 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 11. 已知点，，曲线上任意一点 满足，则（ ） A. 当 时，曲线经过坐标原点 B. 对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C. 当时，直线与曲线的所有交点的横坐标之积为 D. 当时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列，，，则的公差为___________. 13. 已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 14. 已知函数 ，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别是，，，. （1）求角的大小； （2）若， ，求. 16. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，左顶点为，直线交椭圆于另一点. （1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为6，且，求椭圆的方程和的面积. 17. 如图，在正方体中，，， 为线段上的动点，是点 关于所在直线的对称点. （1）证明：； （2）若正方体的棱长为4，求三棱锥 的体积； （3）当 时，求二面角 的余弦值的绝对值. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若在上存在极大值，求的取值范围. 19. 在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，. （1）求. （2）设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. （3）若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $