精品解析：内蒙古赤峰市翁牛特旗2025-2026学年八年级期末考试数学试题

内蒙古赤峰市翁牛特旗2025-2026学年八年级期末考试数学试题 范围：八年级上册 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若是分式，则不可以是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下面图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（　　） A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 2，2，5 D. 2，3，5 4. 作为中国芯的代表之一，“龙芯”2020年12月24日发布了我国自主研发的新一代通用处理器，它使用了28纳米工艺，在提高性能的同时，还实现了自主可控和安全可靠的统一．28纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．（其中1纳米米） A. B. C. D. 5. 有两个形状如图所示零件，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的，小亮测出另一个零件的，，则（ ） A. 只有小明测量的零件合格 B. 只有小亮测量的零件合格 C. 两个零件均合格 D. 两个零件均不合格 6. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 分解因式：______． 10. 如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：____________． 11. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为____． 12. 如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）． 三、解答题(共6小题，共64分) 13. （1）解方程：； （2）计算：． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫作格点），且它们的坐标分别是、． （1）点关于轴对称点的坐标是_______； （2）若格点在第四象限，为等腰直角三角形，这样的格点有______个； （3）若点的坐标是，将先沿轴向上平移4个单位长度后，再沿轴翻折得到，画出，并直接写出点的坐标． 15. 如图，把两根钢条中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要洲量工件内槽宽，只要测量哪些量？为什么？ 16. 教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求代数式的最小值； （3）当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 17. 【问题情境】如图，在中，，D是中点，点E，F分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）若，，求证：点F在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】 （3）若与全等（点B与点C是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）基础上，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 18. 甲、乙两人同时去同一家加油站加95号汽油，甲花200元所加的油量比乙花280元所加的油量少10升． （1）求95号汽油的单价； （2）甲、乙两人第二次去加95号汽油时，单价比第一次少了1元/升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加95号汽油的平均单价是______元/升，乙两次加95号汽油的平均单价是______元/升； （3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由； 说理过程如下：甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且．两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总是加汽油b元．（请你继续完成上述说理过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古赤峰市翁牛特旗2025-2026学年八年级期末考试数学试题 范围：八年级上册 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若是分式，则不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念即可求解，掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是分式， ∴不可以是， 故选：C． 2. 观察下面图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； D、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（　　） A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 2，2，5 D. 2，3，5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,去检验数据进行求解. 【详解】A选项中,因为1+1=2,不满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, B选项中,因为1+2>2,满足三角形三边关系,因此能构成三角形, C选项中,因为 2+2<5,不满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, D选项中,因为2+3=5,不能满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, 故选B. 【点睛】本题主要考查三角形三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系. 4. 作为中国芯的代表之一，“龙芯”2020年12月24日发布了我国自主研发的新一代通用处理器，它使用了28纳米工艺，在提高性能的同时，还实现了自主可控和安全可靠的统一．28纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．（其中1纳米米） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：28纳米米． 故选A． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键． 5. 有两个形状如图所示的零件，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的，小亮测出另一个零件的，，则（ ） A. 只有小明测量的零件合格 B. 只有小亮测量的零件合格 C. 两个零件均合格 D. 两个零件均不合格 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，延长，相交于点E，是解题的关键； 延长，相交于点E，利用三角形内角和定理求出的大小，根据是否等于可判定结果． 【详解】解：如图，延长，相交于点E， 若，则， 满足所在直线和所在直线的夹角为，零件为合格零件； 若，， 则，， ， 不满足所在直线和所在直线的夹角为，零件为不合格零件； 故选：A． 6. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 7. 如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 8. 如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线是解题的关键．如图所示过点E作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度． 【详解】解：如图所示：过点E作， ∵，， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 10. 如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理，等腰三角形中有两条边相等，根据等边对等角可知等腰三角形中一定有两个相等的角，再根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：， ， 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，； 综上所述，的度数为或或． 故答案为： 或或． 11. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为____． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【详解】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 12. 如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）． 【答案】a 【解析】 【分析】本题考查了关于动点的最小距离问题，三角形三边关系，折叠的性质，等边三角形的性质，先由三角形三边关系得出当点在上时，点C与点之间的距离最小，再根据折叠的性质和等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∴在中，， ∴当点在上时，点C与点之间的距离最小为， 如图，当点在上时， 由折叠的性质得：，，，， ∵在等边三角形中，是角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：a． 三、解答题(共6小题，共64分) 13. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，整式的运算． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项． 【详解】解：（1） 两边都乘以，得 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2） 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫作格点），且它们的坐标分别是、． （1）点关于轴的对称点的坐标是_______； （2）若格点在第四象限，为等腰直角三角形，这样的格点有______个； （3）若点的坐标是，将先沿轴向上平移4个单位长度后，再沿轴翻折得到，画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3）图见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换、等腰三角形的性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案； （2）根据题意当为直角边，为直角顶点时，将绕点逆时针旋转，可找到一个点；当为直角边，为直角顶点时，将绕点顺时针旋转，可找到一个点；再以为对角线时，利用网格，画出正方形，可得到两个点，共4个点； （3）根据题意确定出三点的对应点，再连接可得，进而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形，格点在第四象限， ∴如图，当为直角边，为直角顶点时，点坐标为， 当为直角边，为直角顶点时，点坐标为， 当为斜边时，点坐标为，， ∴满足题意的格点一共有4个， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：如图即为所求作，． 15. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要洲量工件内槽宽，只要测量哪些量？为什么？ 【答案】只要测量，理由见解析 【解析】 【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A’B’上．测量方案的操作性强． 【详解】只要测量A’B’． 理由：连接AB，A’B’，如图， ∵点O分别是A A’、BB’的中点， ∴OA=OA’，OB=OB’． 在△AOB和△COB’中， OA=OA’，∠AOB=∠A’OB’（对顶角相等），OB=OB’， ∴△AOB≅△A’OB’(SAS)． ∴A’ B’=AB． 答：需要测量A’ B’长度，即为工件内槽宽AB． 【点睛】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 16. 教材中这样写道：“我们把及这样式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求代数式最小值； （3）当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）等腰三角形；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的定义，平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （2）将原式配方得，即可解答； （3）原式可化为，进而得到的值，即可判断的形状． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴的最小值是3． 【小问3详解】 解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ∵，，， 是等腰三角形． 17. 【问题情境】如图，在中，，D是的中点，点E，F分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）若，，求证：点F在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】 （3）若与全等（点B与点C是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）详见解析 （3）或 （4）存在，的度数为 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可． （2）证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出点F在线段的垂直平分线上． （3）先求出边长，由线段中点得出，然后分两种情况当时和，然后利用全等三角形的性质求解即可． （4）根据全等三角形的性质得出，根据成轴对称的图形的性质得出，进一步证明是等边三角形，是等边三角形，则可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）证明：连接，． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上； （3）∵的周长为14，，， ∴． 又∵D是的中点， ∴． 当时，，， ∴． 当时，； （4）存在；的度数为． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，轴对称的性质，以及三角形内角和定理等知识，掌握这些知识解题的关键． 18. 甲、乙两人同时去同一家加油站加95号汽油，甲花200元所加的油量比乙花280元所加的油量少10升． （1）求95号汽油的单价； （2）甲、乙两人第二次去加95号汽油时，单价比第一次少了1元/升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加95号汽油的平均单价是______元/升，乙两次加95号汽油的平均单价是______元/升； （3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由； 说理过程如下：甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且．两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总是加汽油b元．（请你继续完成上述说理过程） 【答案】（1）8元/升 （2）7.5， （3）金额，甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高，故建议按相同金额加油更合算 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数的混合运算的应用、整式的加减的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设95号汽油的单价为元/升，根据“甲花200元所加的油量比乙花280元所加的油量少10升”，列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）先求出甲第一次加油的量，从而得出甲第二次加油的钱，再求平均即可；求出乙第一次和第二次加油的量，再求平均即可； （3）求出甲两次加油的平均单价为：（元/升），乙两次加油的平均单价为：（元/升），再作差进行比较即可得出答案． 小问1详解】 解：设95号汽油的单价为元/升， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程解， 95号汽油的单价为元/升； 【小问2详解】 解：甲第一次加油的量为：（升）， 甲第二次加油所花的钱为：（元）， 甲两次加95号汽油的平均单价是：（元/升）； 乙第一次加油的量为：（升）， 乙第二次加油的量为：（升）， 乙两次加95号汽油的平均单价是：（元/升）； 故答案为：7.5，； 【小问3详解】 解：由题意得： 甲两次加油的平均单价为：（元/升）， 乙两次加油的平均单价为：（元/升）， ， ，且，， ，， ， ， 甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高， 故建议按相同金额加油更合算， 故答案为：金额． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $