精品解析：河北省邯郸市临漳县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学阶段评估 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 2. 在，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 已知点与点关于x轴对称，则的值为（ ） A. 8 B. C. 2 D. 4. 关于如图所示的箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据最大值是163 B. 这组数据平均数是150 C. 到数据较到的数据集中 D. 此箱线图不能反映这组数据的分布情况 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 的算术平方根是7 C. 是平方根 D. 0没有平方根 6. 甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，下列条件中能判断的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 8. 对于函数y＝－3x＋1，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（－1，3） B. y的值随x值的增大而增大 C. 当x＞0时，y＜1 D. 它的图象经过第一、二、三象限 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A. 25° B. 20° C. 15° D. 10° 11. 将两块完全相同长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示.则桌子的高度 A. B. C. D. 12. 如图，动点 Q按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，．．．，按这样的运动规律，则第2026次运动到点（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差______． 15. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___． 16. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ____________________． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 甲、乙两名射击选手在10次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示： 根据以上信息，请解答下面的问题； 选手 A平均数 中位数 众数 方差 甲 a 8 8 c 乙 7.5 b 6和9 2.65 （1）补全甲选手10次成绩频数分布图． （2）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （3）教练根据两名选手的10次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？（至少从两个不同角度说明理由）． 19. 如图：，平分，平分，，求证：．请完成下面的解题过程． 解：平分，平分（已知）  ，  （角平分线的定义） 又（已知）    ．（等量代换） 又    （已知）  （等量代换） （  ）． 20. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 22. 如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C． （1）求直线的解析表达式； （2）求的面积； （3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 23. 为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元． （1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元． （2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间的函数关系式； ②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？ 24. 小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，，，求证：． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】一种路灯示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段评估 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解 【详解】解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，则4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，，则是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 2. 在，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，无理数是无限不循环小数；根据定义逐个判断各数即可． 【详解】解：∵， ∴在，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）；共4个； 故选：C． 3. 已知点与点关于x轴对称，则的值为（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标变化规律，解题关键是熟练运用对称点坐标变化规律，求出a、b的值．根据横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再代入即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 4. 关于如图所示的箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据最大值是163 B. 这组数据的平均数是150 C. 到的数据较到的数据集中 D. 此箱线图不能反映这组数据的分布情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，求四分位数，画箱线图等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据箱线图的构成，识别图中的关键数据，逐项分析选项，再作出判断． 【详解】解：从图中看，163是上四分位数​（即），不是最大值．最大值在虚线右端，标注为200． 故A错误； 150是中位数，中位数≠平均数，除非数据对称分布，故B错误； ∵，， ∴区间长度：， ∵，， ∴区间长度： 区间越短，说明数据在该四分位区间内越集中（离散程度越小）． ∴​区间长度更短，数据更集中． 故C正确； ​此箱线图能反映这组数据的分布情况 故D错误， 故选：C． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 的算术平方根是7 C. 是的平方根 D. 0没有平方根 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴的立方根是，故A正确，符合题意； B、∵，∴的算术平方根是，故B不正确，不符合题意； C、没有平方根，故C不正确，不符合题意； D、0的平方根是0，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，以及求出立方根，算术平方根，平方根的方法和步骤． 6. 甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，根据题意找到等量关系即可列出方程组. 【详解】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元， 根据题意可列方程为 故选C. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系. 7. 如图，下列条件中能判断的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故①能判断； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故②能判断； ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故③不能判断； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④能判断； 判断的是①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 8. 对于函数y＝－3x＋1，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（－1，3） B. y的值随x值的增大而增大 C. 当x＞0时，y＜1 D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞0时，函数图象在y轴的左侧，y＜1，则可对C进行判断． 【详解】A. 当x=-1时,y=−3x+1=4,则点(-1,3)不在函数y=−3x+1的图象上，所以A选项错误； B. y随x的增大而减小，所以B选项错误； C. 当x>0时，y<1，所以C选项正确； D. k=−3<0，b=1>0，函数图象经过第一、二、四象限，所以D选项错误. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质 ，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点的横坐标代入，求出其纵坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， 把代入，得：， 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 10. 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A. 25° B. 20° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，CD∥AB， ∴∠ABD=∠1＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°， 由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°， ∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°， 故选D． 【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数． 11. 将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示.则桌子的高度 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小长方形长为x，宽为y，根据题意可列出方程组，即可求解h. 【详解】设小长方形的长为x，宽为y，由图可得 解得h=40cm， 故选C. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形列出方程组进行求解. 12. 如图，动点 Q按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，．．．，按这样的运动规律，则第2026次运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题关键是发现Q点的横坐标、纵坐标的规律．观察可知点Q的横坐标即为运动的次数，纵坐标每4次一轮，分别为2，0，3，0，据此规律求解即可． 【详解】解：根据题意，可知动点Q按图中箭头所示方向运动， 第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， ......， 可以得出规律，点Q的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为2，0，3，0， ∵， ∴第2026次运动后，Q点的横坐标是运动次数即2026，纵坐标与第2次运动到达的点的纵坐标相同，即0， ∴第2026次运动到点． 故选：A． 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 14. 一组数据3，4，x，6，7平均数为5，则这组数据的方差______． 【答案】2 【解析】 【分析】先由平均数的公式求出x的值，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：数据3，4，x，6，7平均数为5， ， 解得：， 这组数据为3，4，5，6，7， 这组数据的方差为：． 故答案2． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___． 【答案】12 【解析】 【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长度解答． 【详解】根据题意观察图象可得BC=5，点P在AC上运动时，BPAC时，BP有最小值， 观察图象可得，BP的最小值为4，即：BPAC时，BP=4， 又∵CP=， 因点P从点C运动到点A， 根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以的面积==12. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型． 16. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ____________________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可，掌握平行线的性质是解答此题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，则：， ∴； 当时，则， ∴． 故答案为：或或或． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解二元一次方程组： （1）先化简，再合并即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为． 18. 甲、乙两名射击选手在10次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示： 根据以上信息，请解答下面的问题； 选手 A平均数 中位数 众数 方差 甲 a 8 8 c 乙 7.5 b 6和9 2.65 （1）补全甲选手10次成绩频数分布图． （2）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （3）教练根据两名选手的10次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？（至少从两个不同角度说明理由）． 【答案】（1）4；（2）8、1.2、7.5；（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定． 【解析】 【分析】（1）根据甲的成绩频数分布图及题意列出10﹣（1+2+2+1），计算即可得到答案； （2）根据平均数公式、中位数求法和方差公式计算得到答案； （3）从平均数和方差进行分析即可得到答案. 【详解】解：（1）甲选手命中8环的次数为10﹣（1+2+2+1）＝4， 补全图形如下： （2）a＝＝8（环）， c＝×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2， b＝＝7.5， 故答案为8、1.2、7.5； （3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定． 【点睛】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数和方差，解题的关键是读懂频数分布直方图，掌握平均数、中位数和方差的求法. 19. 如图：，平分，平分，，求证：．请完成下面的解题过程． 解：平分，平分（已知）  ，  （角平分线的定义） 又（已知）    ．（等量代换） 又    （已知）  （等量代换） （  ）． 【答案】；；；；；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，根据已知推论过程结合平行线的判定条件求解即可． 【详解】解：平分，平分（已知） ，（角平分线的定义） 又（已知） ．（等量代换） 又已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；同位角相等，两直线平行． 20. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； 【小问1详解】 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴． 21. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】（1） （2）梯子的底端B在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 22. 如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C． （1）求直线的解析表达式； （2）求的面积； （3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】（1）直线的解析表达式为 （2） （3）点P的坐标为（6，3）． 【解析】 【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析表达式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点D的坐标，联立直线AB、CD的表达式求出交点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积； （3）由同底等高的三角形面积相等即可找出点P的纵坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析表达式为y=kx+b（k≠0）， 把A（4，0）、B（3，−）代入表达式y=kx+b， ，解得：， ∴直线的解析表达式为y=x-6； 【小问2详解】 解：当y=-3x+3=0时，x=1， ∴D（1，0）． 联立y=-3x+3和y=x-6， 解得：x=2，y=-3， ∴C（2，-3）， ∴； 【小问3详解】 解：∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP与△ADC的面积相等， ∴两三角形高相等． ∵C（2，-3）， ∴点P的纵坐标为3． 当y=x-6=3时，x=6， ∴点P的坐标为（6，3）． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线的解析表达式；（2）联立两直线表达式求出交点C的坐标；（3）根据同底等高的三角形面积相等找出点P的纵坐标． 23. 为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元． （1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元． （2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间的函数关系式； ②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；（2）①；②买16个A型垃圾箱时总费用最少，最少费用是3280元 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可解决（2）先根据题意得出买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间是一次函数的关系，写出解析式．再根据一次函数图像的增减性和自变量的取值范围，得出函数的最小值即可． 【详解】解：（1）设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元． 根据题意，得 解得 答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元． （2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30－x)个B型垃圾箱，x≤16，且x为整数． 根据题意，得w＝100x＋120(30－x)＝－20x＋3600. ②w＝－20x＋3600，其中k＝－20＜0， ∴w随x值增大而减小， ∴当x＝16时，w取最小值，w最小＝－20×16＋3600＝3280. 答：买16个A型垃圾箱时总费用最少，最少费用是3280元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．一次函数的解析式、一次函数的增减性及一次函数最小值问题．抓住自变量取值范围是关键．是中考常考题型． 24. 小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，，，求证：． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $