精品解析：广西壮族自治区防城港市上思县2025-2026学年九年级上学期学习成果监测试卷（二）数学试题

2025年秋季学期九年级学习成果监测（二） 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，当一个图形绕着某点旋转180度后能与原图重合，那么它是中心对称图形．根据中心对称图形的概念一一判断即可． 【详解】解：A、绕着某点旋转180度轴能与原图重合，是中心对称图形，故符合题意； B、C、D绕着某点旋转180度轴不能与原图重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数定义，反比例函数的一般形式为（为常数且）． 根据反比例函数定义判断即可． 【详解】解：A：不符合反比例定义； B：符合反比例函数定义； C：不符合反比例定义； D：不符合反比例定义； 故选：B． 3. 在下列对抛物线的描述中，正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点在轴上 C. 对称轴是直线 D. 与轴的交点是 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数y=a（x-h）2的性质逐项排查即可． 【详解】解：∵ ∴该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0），顶点在x轴上，对称轴为直线x=1，与y轴交点为（0，-1）， 所以A、C、D选项错误，B选项正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数y=a（x-h）2的性质，掌握根据函数解析式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法成为解答本题的关键． 4. 在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用字母“a”出现的个数除以字母总数即可得到答案． 【详解】解：∵单词中，一共有11个字母，其中字母“a”有2个， ∴在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为， 故选：B． 5. 如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数（为常数，）中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．设点的坐标为，因为点在反比例函数上，所以，由图可知，阴影部分矩形的面积为，又因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以，则，所以反比例函数的解析式为． 【详解】解：设点坐标为，因为点在第二象限， ，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为， 又由， ， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 故选：B． 6. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 7. 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 【答案】B 【解析】 【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故A不符合题意； B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，故B符合题意； C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件；故C不符合题意； D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提． 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 10. 方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】首先把2x移到左边，然后利用提公因式法解一元二次方程求解即可． 【详解】解： 或 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了原点的对称，熟练掌握原点对称的坐标特点是两个坐标分别互为相反数，列式计算即可． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， 故选A． 12. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 设、是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和. 【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 16. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________． 【答案】（，0） 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点P和点Q关于直线对称， 又∵点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的坐标为（-2，0）． 故答案为（-2，0）． 三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算与解一元二次方程，掌握好相关的知识是关键． （1）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）使用直接开方法解方程． 【详解】解：（1） ； （2） 两边开方，得 解得． 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把函数解析式设为顶点式，然后代入点进行求解即可； （2）根据当时，二次函数图象在x轴下方进行求解即可． 【小问1详解】 解：设这个二次函数解析式为， 把点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的解析式为 【小问2详解】 解；由题意得，当或时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 19. 在如图所示的正方形网格中，按要求画出图形． （1）画出绕点O逆时针旋转后得到的； （2）画出与关于点O对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作关于某点旋转图形，关于某点中心对称的图形，掌握其方法是解题的关键． （1）利用网格，分别找到各点绕点逆时针旋转的对称点，然后顺次连接起来即可； （2）利用网格，分别找到各点绕点逆时针旋转的对称点，然后顺次连接起来即可； 【小问1详解】 解：如图即为所求作； 【小问2详解】 解：如图即为所求作： 20. 随着人民生活水平的提高，汽车的需求量日益增长．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，2022年盈利2160万元，且从2020年到2022年，每年盈利的年增长率相同，求平均每年的增长率． 【答案】平均每年的增长率为 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，设平均每年的增长率为，根据2020年盈利1500万元，2022年盈利2160万元，建立方程求解即可得到答案． 【详解】解：设平均每年的增长率为，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每年的增长率为． 21. 如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，且，． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）先根据直角三角形的性质和勾股定理求得和的长度，利用的面积扇形的面积求得阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度； （2）请补全条形统计图； （3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率． 【答案】（1）200，72；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可； （2）求出C组的人数即可补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率． 【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名， 扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是， 故答案为：200；72； （2）选项的人数为（名， 补全条形图如下： （3）画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个， 甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图． 23. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：． 求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算： ______； （2）若，则______． （3）函数的图象大致是______． 【答案】（1） （2） （3）D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识． （1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义分两种情况进行解答即可； （3分和两种情况进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，； 故答案为： 【小问2详解】 当时， ， 解得：， 当时，， 解得：， ； 故答案为： 【小问3详解】 当时，， 此时是双曲线的第一象限部分； 当时，， 此时是双曲线的第二象限部分； 故函数的图象大致是D． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级学习成果监测（二） 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 下列函数是反比例函数是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列对抛物线的描述中，正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点在轴上 C. 对称轴是直线 D. 与轴的交点是 4. 在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 12. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 设、是方程的两个根，则________． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 15. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 16. 如图，抛物线对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________． 三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 19. 在如图所示的正方形网格中，按要求画出图形． （1）画出绕点O逆时针旋转后得到； （2）画出与关于点O对称的． 20. 随着人民生活水平的提高，汽车的需求量日益增长．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，2022年盈利2160万元，且从2020年到2022年，每年盈利的年增长率相同，求平均每年的增长率． 21. 如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，且，． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 22. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度； （2）请补全条形统计图； （3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率． 23. 阅读下面材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：． 求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算： ______； （2）若，则______． （3）函数的图象大致是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $