精品解析：广西壮族自治区柳州市第十五中学2025-2026学年上学期九年级数学10月考试卷

2025-2026学年上学期学业水平质量检测（10月份）九年级数学学科 （考试时间共120分钟，全卷满分120分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意． C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意； D．方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程是一元二次方程． 2. 2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转180度后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A选项文字上方的图案是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 4. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 通过二次函数顶点式分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，逐一判断选项． 【详解】解：选项A，关于抛物线，，即开口向下，故A不符合题意； 选项B，关于抛物线，对称轴为，故B不符合题意； 选项C，关于抛物线，，开口向下，在对称轴左侧随增大而增大，在对称轴的左边，所以当时随增大而增大，故C不符合题意； 选项D，关于抛物线，顶点坐标为，故D符合题意． 故选：D． 6. 已知圆锥的母线长是8cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求法．先求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥侧面展开图的扇形弧长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是， ∴圆锥的侧面积为． 故选：B． 7. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题．根据旋转的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 8. 抛物线先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键； 根据左加右减，上加下减的平移原则计算即可． 【详解】解：抛物线 先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线， 故选：D． 9. 若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 10. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 11. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断①；根据抛物线与x轴交点个数可判断②；根据x=1时，y＜0，且对称轴为x=-1可判断③；根据对称轴为对称轴是直线x=-=-1可判断④． 【详解】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0； 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0； 对称轴是直线x=-=-1＜0，即b=2a＜0， ∴abc＞0，故结论①错误； ②∵抛物线图象与x轴有两个交点， ∴△=b2-4ac＞0，故结论②正确； ③∵当x=1时，y=a+b+c＜0，故结论③正确； ④∵x=-=-1，∴b=2a， ∴b-2a=0，故结论④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（   ）． A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和圆的对称性．圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，根据正六边形的周长等于圆的周长进行求解即可． 【详解】解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1， 则正六边形的周长为， 由于圆的周长为，当半径为1时，， 解得． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，年小题3分，满分12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键；因此此题可直接根据弧长公式及题意进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：连接，，， 可得：，， ∵，拱高米， ∴， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：， 即圆弧形桥拱所在圆的半径是米． 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 16. 已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解 【详解】解：如图，连接． 由题意得， ， 当值最大时，的值最大， ， , , 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为， 的最大值为．　 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． （1）移项后根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）作出绕原点逆时针旋转后，并写出的坐标； （2）在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】（1）作图见解析，的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质和扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转确定点和点的坐标，连接旋转后新的三个顶点得到即可； 观察发现线段所扫过的面积为以原点为圆心，弧所形成的扇形，根据扇形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：点旋转后得到，点的坐标为， 点旋转后得到，点的坐标为， 如图所示： 【小问2详解】 根据题意可知，从到，线段到，所扫过的图形为扇形，已知， 则， 因此线段所扫过的扇形面积为：． 答：线段所扫过的扇形面积为． 19. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，3是三角点阵中前2行的点数和；6是三角点阵中前3行的点数和；是三角点阵中前4行的点数和．根据以上信息，解答下列问题： （1）三角点阵中前5行的点数和为______． （2）三角点阵中前行的点数和为______．（用含的式子表示） （3）是前多少行的点数之和？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含n的代数式表示出前n行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和； （2）根据发现的规律即可解决问题； （3）由（1）的发现即可解决问题 【小问1详解】 解∶依题意得， 第一行点的个数为∶； 前两行点数和是∶； 前三行点数和是∶； 前四行点数和是∶； 前五行点数和是∶． 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意得∶ 前n行的点数和是∶ 故答案为∶ 【小问3详解】 解：依题意得 即 整理，得 解得或． 为正整数， ． 答∶是前行的点数之和． 20. 如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为C，交于点B，连接，并延长交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质，可得，再由垂径定理可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可； （2）根据勾股定理可得的长，再由三角形的面积可得的长，然后由垂径定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21. 在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： （1）求出水柱最高点P到地面的距离． （2）若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 【答案】（1）米 （2）雕塑的高度应小于米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，二次函数的性质，正确得出函数解析式是解题关键． （1）依据题意，可得，，又水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米，则可设，再将，代入解析式求出，后，得出顶点，然后可以判断得解； （2）依据题意，当时，，进而得解． 【小问1详解】 解：由题意，，． 水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米， 可设． 将，代入上面的解析式可得， ， ． 水流所在抛物线为． 顶点为． 水柱最高点到地面的距离为米． 【小问2详解】 解：雕塑的高度应小于1.25米．理由如下： 当时，． 答：雕塑高度应小于米． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）函数表达式为 （2）①“三倍点”坐标为；②的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）把代入即可求得抛物线解析式； （2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入，即可确定“三倍点”坐标； ②由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：①设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得 解得， “三倍点”坐标为； ②由（1）可知函数为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 第一种情况：当， ∴， 当时，取得最小值，即 解得或， ， ； 第二种情况：当， ∴， 当时，取得最小值，即 解得或， ， ； 综上所述，的值为或． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）通过旋转易得等腰直角和直角，继而得解； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，求出，即的长，再求出是等边三角形，根据等边三角形性质可得，求出，然后求出点C、O、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到． 【小问1详解】 解：由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴； 【小问3详解】 解：如下图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针方向旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点C、O、、四点共线， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期学业水平质量检测（10月份）九年级数学学科 （考试时间共120分钟，全卷满分120分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 6. 已知圆锥的母线长是8cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 抛物线先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线（ ） A. B. C. D. 9. 若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 8 10. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（   ）． A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共4小题，年小题3分，满分12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是___________________． 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了__________．（结果保留） 15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米． 16. 已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； （2）在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 19. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，3是三角点阵中前2行点数和；6是三角点阵中前3行的点数和；是三角点阵中前4行的点数和．根据以上信息，解答下列问题： （1）三角点阵中前5行的点数和为______． （2）三角点阵中前行点数和为______．（用含的式子表示） （3）是前多少行的点数之和？ 20. 如图，为切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为C，交于点B，连接，并延长交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： （1）求出水柱最高点P到地面的距离． （2）若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $