精品解析： 广西防城港市上思县2025-2026学年九年级上学期学习成果监测（一）数学试题

2025年秋季学期九年级学习成果监测（一） 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 1 B. 5 C. 2 D. －2 3. 已知是一元二次方程的根，则k的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（　　） A. 5 B. ﹣5 C. ﹣3 D. 3 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 解方程，较为简便的方法是（ ）． A. 公式法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 直接开平方法 7. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 8. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A B. C. D. 11. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A B. C. D. 12. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位）与旋钮的旋转角度（单位：度，）近似满足函数关系如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开同一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是______． 14. 把一元二次方程化为一般形式为______． 15. 写出一个对称轴是y轴的抛物线解析式______． 16. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________ 三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． （1）圆的面积与它的周长之间的关系式； （2）菱形两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 19. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 20. 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标． 21. 某商店把进价为4元/件的文具按10元/件出售，每天能售出200件．在销售过程中发现：单价每降低1元，每天可多售出80件．如果降价后按单价为元销售，每天获得的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当单价为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 已知抛物线的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积； （3）试判断的形状并说明理由． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级学习成果监测（一） 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B. 是一元二次方程，故符合题意； C. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 1 B. 5 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式中，叫做方程的一次项，其中b是一次项系数，进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是5，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中是二次项系数，叫做方程的一次项，其中是一次项系数，叫做方程的常数项是解题关键． 3. 已知是一元二次方程的根，则k的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，然后解关于k的方程即可． 【详解】把代入，得 ， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解决此题的关键是计算的正确性． 4. 已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（　　） A. 5 B. ﹣5 C. ﹣3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接求解即可． 【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根， ∴x1x2=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么，”是解题的关键． 5. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，由此可解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故选D． 6. 解方程，较为简便的方法是（ ）． A. 公式法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 直接开平方法 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，把作为整体，利用因式分解法求解较为简单． 【详解】解：， ， 解得或， 此方程较为简单的方法为因式分解法， 故选：B． 7. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】 故选：A 8. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可． 【详解】解：解方程x2−6x＋8＝0得：x＝4或2， 即AC＝4，BD＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1， 由勾股定理得：AD＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键． 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 10. 将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移方法即可进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线表达式为； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 11. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 12. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位）与旋钮的旋转角度（单位：度，）近似满足函数关系如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开同一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在36和54之间，且54时的函数值大于36的函数值 所以对称轴应为小于， ∴旋钮的旋转角度x在36°和45°之间，约为42°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义二次项系数不0解题即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，能够熟记定义并列式是解题关键． 14. 把一元二次方程化为一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先展开完全平方式、再移项，变成一般形式即可． 【详解】解：， 即 即 故答案为： 【点睛】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0） 15. 写出一个对称轴是y轴的抛物线解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 根据二次函数的性质写出一个符合题意的函数解析式即可． 【详解】解：抛物线的解析式为． 故答案为：．（答案不唯一） 16. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________ 【答案】(1)(3)(2) 【解析】 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】①y=3x2，②y=x2，③y=x2中，二次项系数a分别为3、、1， ∵3＞1＞， ∴抛物线②y=x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄． 故依次填：①③②． 【考点】二次函数的图象． 三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 两边直接开平方得：， 则，； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根 ∴． 即，． 18. 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． （1）圆的面积与它的周长之间的关系式； （2）菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 【答案】（1），二次函数 （2），二次函数 【解析】 【分析】此题考查列二次函数解析式．根据题意列出函数解析式，并进行判断即可． （1）根据圆面积和周长之间的关系列出函数解析式并判断即可； （2）根据菱形的面积和对角线长之间的关系列出函数解析式并判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴圆的面积与它的周长之间的函数关系 ， 所以，是的二次函数． 【小问2详解】 解：菱形的另一条对角线的长是， ， 所以，是的二次函数． 19. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】（1）p=-3，q=1；（2）不在 【解析】 【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值； （2）把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案． 【详解】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q， 得， 解得：， ∴p，q的值分别为-3，1； （2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5， ∴点P（-1，2）不在此函数的图象上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 20. 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）1，（4，0）． 【解析】 【详解】（1）有顶点就用顶点式求二次函数的解析式； （2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可. 解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4）， ∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4， 把点B（3，0）代入二次函数解析式，得： 0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3； （2）令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1. ∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0）， ∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后结果坐标原点. 故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标所得（4，0）. 21. 某商店把进价为4元/件的文具按10元/件出售，每天能售出200件．在销售过程中发现：单价每降低1元，每天可多售出80件．如果降价后按单价为元销售，每天获得的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当单价为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当单价为8.25元时，能获最大利润，最大利润为1445元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式和熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）根据每天获得的利润等于单价乘以件数列出二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， 所以，与之间的函数关系为： 小问2详解】 由（1）可知时，， 所以二次函数开口向下，有最大值． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为： ． 所以，当单价为8.25元时，能获最大利润，最大利润为1445元． 22. 已知抛物线的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积； （3）试判断的形状并说明理由． 【答案】（1），，； （2）25； （3）等腰直角三角形；见解析． 【解析】 【分析】（1）根据顶点式直接可得顶点A坐标，由可得抛物线与y轴交于点B，由点B与点C是关于抛物线对称轴对称可得点C坐标； （2）由轴可得点A到的距离为，据此即可求出的面积； （3）求出由坐标系中两点距离公式求出，，结合勾股定理逆定理即可知为等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：如图， 抛物线的顶点为， 由，则，即抛物线与y轴交点B为， 因为对称轴为直线，点B与点C是关于抛物线对称轴对称，所以点C的坐标为（10，5）； 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵，，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式以及勾股定理的逆定理，掌握求二次函数与坐标轴的交点以及基本的公式定理是解题关键． 23 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． 【小问2详解】 ∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ 【小问3详解】 ∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $