精品解析：重庆市万州第一中学　2025-2026学年上学期九年级第三次月考数学试卷

九年级数学试题 一、选择题： 1. 下列二次根式不为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，是最简二次根式，不符合题意； B. ，是最简二次根式，不符合题意； C. ，是最简二次根式，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币落地后正面朝上 B. 打开电视机正在播放新闻节目 C. 买一张福利彩票开奖后会中奖 D. 在标准大气压下把水加热到并持续吸热会沸腾 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断， 根据必然事件，随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】因为投掷一枚硬币落地后正面朝上是随机事件，所以A不符合题意； 因为打开电视机正在播放新闻类节目是随机事件，所以B不符合题意； 因为买一张福利彩票开奖后会中奖是随机事件，所以C不符合题意； 因为在标准大气压下把水加热到并持续吸热会沸腾是必然事件，所以D符合题意． 故选：D． 3. 下列函数中，为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键，一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，的指数是，故是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意； B、中，自变量在分母上，故不是二次函数，此选项不符合题意； C、中，的指数是，是整式，故是二次函数，此选项符合题意； D、中，不是整式，故不是二次函数，此选项不符合题意； 故选：C ． 4. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，根据， 设，则，根据，计算即可． 【详解】∵， ∴设， 则， ∴． 故选：A． 5. 如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，已知，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由得出，再由位似图形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，且相似比为， ∴与的周长之比为， 故选：B． 6. 估计 的值应在 （ ） A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法法则进行计算．先根据乘法分配律计算的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从而确定其所在的取值范围． 【详解】∵ 且 ，， 介于和之间， ∴ ∴ ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∴ ∴ 值在和之间， 故选 C． 7. 小西用大小相同的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有7个正方形，第④个图案中有13个正方形…… 按此规律，则第10个图案中正方形的个数是（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，由图形得出规律第个图案中有个正方形，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得： 第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， …… 故第个图案中有个正方形， ∴第10个图案中正方形的个数是， 故选：D． 8. 如图，在中，，的两边分别与函数，的图象交于两点，则之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积，相似三角形的性质，掌握几何图形面积与反比例系数，相似三角形的性质是解题的关键．如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得，，根据题意可证，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9. 如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，得到，设，则，，，由等腰直角三角形的性质可得，又由得，即得，得到，，即得到，，得，再由可得，最后代入计算即可求解， 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 10. 已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为； 第二次操作：将与的和记为，差记为； 第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推． 下列说法：①当时，；②； ③（为自然数）． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，规律探索，解题的关键是根据题意得出一般规律，熟练掌握二次根式混合运算法则． ①根据题意得出，，，，然后相加即可； ②根据题意得出一般规律：，，，，求出即可； ③根据二次根式混合运算法则，求出即可． 【详解】解：①当时，，， ，， ，， ，， … 按照此规律：，，，， ∴，故①正确； ②，， ，， ，， ，， … 按照此规律可得：，，，， ∴，故②正确； ③根据以上规律可知，，， ∴ ，故③正确． 综上分析可知，正确的有3个，故D正确． 故选：D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：记2 块巧克力味饼干为、，2 块牛奶味饼干为、， 列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都拿到牛奶味饼干的情况有种， ∴两次都拿到牛奶味饼干的概率为， 故答案为：． 13. 将抛物线向上平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式是． 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，利用根与系数的关系求解是解题的关键．根据题意，把代入计算得到的值，再运用根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， 解得，，则方程为， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理；掌握相关知识和作出适当的辅助线是解题的关键．根据题意设，再由勾股定理列方程，可求出，作，垂足为，可得为等腰直角三角形，再根据翻折设，，，可得，求出，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ， 将沿着翻折，使A点落在边上的处， ，设，， ， ， 即， 解得， ， 如图，作，垂足为， ，，， ，， ， ， 即， ，， 设，，， ， 解得， ， ，，， ， ， 根据折叠可得， ． 故答案为：，． 16. 若一个四位正整数（各数位数字均不为0），满足，，则称其为“特异数”．去掉M任意一个数位的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和除以3的结果记．例如：对于四位数，，，所以是“特异数”．将其中一个数位上的数字去掉，得到四个新三位数：，则．求最大的“特异数”的_____________ ；若，满足：被13除余2，且是自然数的平方，求符合条件的M的最小值________. 【答案】 ①. 1291 ②. 1232 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，实数的新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 对于最大的“特异数”，千位数字应尽可能大，且满足千位与百位不等、十位与个位不等，因此千位和十位取9，百位和个位取8，得到，计算，对于M的最小值，根据条件是自然数的平方，解得为或，再结合被13除余2这个条件，当时得到，为最小值，即可作答． 【详解】解：∵一个四位正整数（各数位数字均不为 0），满足，，则称其为“特异数”． ∴最大的“特异数”为9898， 去掉千位数字得898，去掉百位数字得998，去掉十位数字得988，去掉个位数字得989， 四个三位数的和为， ∴， 设，， 则， ∵是自然数的平方， ∴为自然数的平方， 设（k为自然数） 即， 当，时，的值最大， 且为， 则， ∴最大的， ∵k为自然数， 故或或或或或， 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴（舍去） 故不符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴，此时（舍去） 故不符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴， 故符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴， 故符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴找不出满足题意的值， 故不符合题意； 当时，则， ∵为互不相同的正整数，且， ∴找不出满足题意的值， 故不符合题意； 综上：或； 依题意得，， 因此 ， ∵被13除余2， ∴（为整数）， 当时，则 ∵求符合条件的M的最小值， ∴，则， ∵， ∴此时最小的， 则，符合题意； 则； 当时，则 ∵求符合条件的M的最小值， ∴，则， ∵， ∴此时最小的， 则，不符合题意； 依次类推，找不出比更小的数， 即符合条件的M最小值为， 故答案为：1291，． 三、解答题：本大题2个小题，共16分． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解一元二次方程， 对于（1），先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可； 对于（2），根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 因式分解，得， 即或， ∴． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究，他发现：在平行四边形中，通过尺规作图，作角和边相等，可以得到新的特殊的四边形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成基本作图：在平行四边形的边的左边，作交边于点E，在边上取一点F，使得，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）利用相关知识，证明小明的发现． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ∵ ∴③ ，即． ∵， ∴四边形是④ ． 【答案】（1） 如图，点、点即为所作， （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴，                                                     ∴． ∵， ∴ ∵ ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，再以点为圆心，线段长为半径画弧交于点，连接； （2）先证明． 再结合，即可得出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 由作图可得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 四、解答题：本大题7个小题，共70分． 19. 重庆蜜雪冰城旗舰店推出川渝限定新品“火锅味脆筒”（结合冰淇淋与火锅风味），招募体验员，分为本地组和游客组，并为该新品打分．从两组各随机抽取20名体验员进行百分制打分，并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A．；B．； C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的本地组打分：68，71，75，78，78，82，83，85，85，85，85，88，91，93，93，96 ， 98，100，100，100． 抽取的游客组打分在B 组中的数据：81，84，85，86，86，86，86，89； 抽取的对“火锅味脆筒”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 本地组 86.7 85 b 游客组 86.7 a 86 抽取的游客组打分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； ； （2）根据以上数据，你认为“火锅味脆筒”会更受本地组还是游客组喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若本地组与游客组共有2500人对“火锅味脆筒”进行打分，请估计本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数共是多少? 【答案】（1），， （2） 解：“火锅味脆筒”会更受游客组喜爱，理由 由表格可得，游客组和本地组打分的平均分相同，但游客组打分的中位数和众数都高于本地组，“火锅味脆筒”会更受游客组喜爱 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数的定义即可得出，求出游客组等级的人数即可得出的值，再由中位数的定义即可得出的值； （2）根据中位数和众数分析即可得解； （3）用乘以本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：由本地组得分情况可得，分出现的次数最多，故众数； 游客组等级的人数为人， 游客组等级的人数为人， 游客组等级的人数为人， 故游客组等级的人数为人， 故，即； 将游客组打分情况按照从小到大排列，处在第10、11位的为85，86，故中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 故估计本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数共是人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的运算，利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂的法则求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． （1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ （2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 【答案】（1）甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制 （2）需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设甲生产商计划用天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设需将该批卤鹅储藏天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅，根据甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制； 【小问2详解】 解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出． 22. 如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 画出函数图象如图所示： 由图象可得：当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，作于，由等面积法得出，分两种情况：当点在线段上时，即时，当点在线段上时，即时，分别利用三角形的面积公式计算即可得出的表达式，证明，由相似三角形的性质可得，再求出，即可得出的表达式； （2）根据（1）所求解析式画出函数图象即可，结合函数图象写出性质； （3）令，解得，再结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵点O为矩形的对角线的中点，，， ∴，， ∴， 如图，作于， ， ∵， ∴， ∵点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），以x表示线段的长度， ∴当点在线段上时，即时，，则，此时的面积为； 当点在线段上时，即时，，则， ， 此时的面积为； 综上所述，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴的面积与线段的长之比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故由函数图象可得：当时x的取值范围． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数的应用、反比例函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 23. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 【答案】（1）米 （2）小希先到达处 【解析】 【分析】（1）过E作于F，延长交于H，根据题意得到是等腰直角三角形，，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质求得，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，由求解即可； （2）先由题意求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后分别求得两人的路程，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：过E作于F，延长交于H，如图，则， 由题意，得，，，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， 由得， 解得， 即景点到的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， 由得， ∴， ∴小希走的路程为（米）， 小福走的路程为（米）， ∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，， ∴小希先到达处． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即， 取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 25. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解． （2）由可证，可得，，由可得，可得，可得结论． （3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图： ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点，点，点三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题： 1. 下列二次根式不为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币落地后正面朝上 B. 打开电视机正在播放新闻节目 C. 买一张福利彩票开奖后会中奖 D. 在标准大气压下把水加热到并持续吸热会沸腾 3. 下列函数中，为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，已知，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 估计 的值应在 （ ） A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 7. 小西用大小相同的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有7个正方形，第④个图案中有13个正方形…… 按此规律，则第10个图案中正方形的个数是（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 8. 如图，在中，，的两边分别与函数，的图象交于两点，则之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为； 第二次操作：将与的和记为，差记为； 第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推． 下列说法：①当时，；②； ③（为自然数）． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. __________． 12. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 13. 将抛物线向上平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式是____________． 14. 关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根__________． 15. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 16. 若一个四位正整数（各数位数字均不为0），满足，，则称其为“特异数”．去掉M任意一个数位的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和除以3的结果记．例如：对于四位数，，，所以是“特异数”．将其中一个数位上的数字去掉，得到四个新三位数：，则．求最大的“特异数”的_____________ ；若，满足：被13除余2，且是自然数的平方，求符合条件的M的最小值________. 三、解答题：本大题2个小题，共16分． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究，他发现：在平行四边形中，通过尺规作图，作角和边相等，可以得到新的特殊的四边形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成基本作图：在平行四边形的边的左边，作交边于点E，在边上取一点F，使得，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）利用相关知识，证明小明的发现． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ∵ ∴③ ，即． ∵， ∴四边形是④ ． 四、解答题：本大题7个小题，共70分． 19. 重庆蜜雪冰城旗舰店推出川渝限定新品“火锅味脆筒”（结合冰淇淋与火锅风味），招募体验员，分为本地组和游客组，并为该新品打分．从两组各随机抽取20名体验员进行百分制打分，并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A．；B．； C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的本地组打分：68，71，75，78，78，82，83，85，85，85，85，88，91，93，93，96 ， 98，100，100，100． 抽取的游客组打分在B 组中的数据：81，84，85，86，86，86，86，89； 抽取的对“火锅味脆筒”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 本地组 86.7 85 b 游客组 86.7 a 86 抽取的游客组打分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； ； （2）根据以上数据，你认为“火锅味脆筒”会更受本地组还是游客组喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若本地组与游客组共有2500人对“火锅味脆筒”进行打分，请估计本地组与游客组本次对“火锅味脆筒”打分在C等级的人数共是多少? 20. 先化简，再求值：，其中 21. 列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． （1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ （2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 22. 如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $