精品解析：江苏省淮安市2025-2026学年九年级上学期第二次学习过程调研九年级数学试卷

2025年秋学期第二次学习过程调研 九年级数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 友情提醒： 考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列式子中，表示是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如这样的式子，叫做是的二次函数，其中，、、是常数）解决此题． 【详解】解：A．，是的二次函数，故A选项符合题意； B．，是关于的一元二次方程，故B选项不符合题意； C．，不是二次函数，，故C选项不符合题意； D．，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根 故选：B． 3. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，即可求解． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 4. 已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解；直接计算各点纵坐标值并比较大小即可． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对于，， 对于 ，， 对于，， ∴ ，，， ∴ ， 故答案为：C． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 6. 某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，且，，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都行 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键；根据方差越小，其稳定性也就越好进行求解即可． 【详解】解：由，可知：，所以选择甲会更好； 故选A． 7. 若，则中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据设，，代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，，代入得， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 8. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=x2+2x的顶点坐标为（-1，-1），它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数y=x2+2x=（x+1）2-1， ∴开口向上，顶点为（-1，-1），且经过原点． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，则_____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以， 解得：（线段是正数，负值舍去）． 则cm． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念是关键，这里注意线段不能是负数． 10. 已知点C为线段的黄金分割点且，（）则____（精确到0.01）． 【答案】6.18 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义，为较长线段，利用黄金比例计算． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故答案为：． 11. 在比例尺是的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为，它的实际长度约为_______． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查比例尺及比例的应用，根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比等于比例尺，通过计算可得实际长度． 【详解】解：设实际长度为 ，则根据比例尺有， 解得 ， ∴实际长度为， 故答案为：1000． 12. 把函数的图象向下平移2个单位长度得到的新函数的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：把函数的图象向下平移2个单位长度得到的新函数的表达式是， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____． 【答案】-1 【解析】 【详解】试题分析：对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得：，即方程的另一个根为-1． 14. 若函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得． 【详解】解：函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点， 令x2－x＋m=0，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 15. 若圆锥的侧面积为，底面半径为2，则该圆锥的母线长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 根据圆锥的侧面积公式，其中为底面半径，为母线长，代入已知值求解即可． 【详解】解：由圆锥侧面积公式， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③若点为函数图象上的两点，则；④；其中，正确结论序号为______ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； ∵对称轴直线， ∴, ∴, ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 故抛物线与x轴的另一个交点为， 故， 故④正确； ∵点为函数图象上的两点，对称轴直线， ∴点的对称点为， ∵二次函数开口向下， ∴点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵ ∴ 故③错误； 故答案为：①②④． 三．解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： 或 解得，． 【小问2详解】 解： ∴， 解得，． 18. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 19. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积 （3）当时，则的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将、代入，即可求出抛物线的解析式； （2）根据求解即可； （3）观察图象，可知当时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：将、代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ． 、， ． ． 【小问3详解】 解：， ∴当时，取最小值，为． 由图象得，当时，取最大值，为0． 的取值范围为． 故答案为：． 20. 如图，点为的边上的一点，连接，若 （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的想知道的，代入数据即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2），， ， ， ， 即：， ． 故答案为． 21. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）的长为_____________（用含的代数式表示） （2）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1） （2）； （3）要围成面积为的花圃，的长为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）根据题意可用篱笆的长表示出的长； （2）根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （3）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 【小问1详解】 解：依题意得，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 22. 在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元，这组数据的中位数为________元． （2）求这组数据的平均数． （3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 【答案】（1）30，10，10 （2）12 （3）估计该校学生的捐款总数为7200元 【解析】 【分析】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想． （1）由题意得出本次调查的样本容量是，由众数的定义即可得出结果； （2）由加权平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是，这组数据的众数为10，中位数为10， 故答案为30，10，10； 【小问2详解】 解：（元）； 【小问3详解】 解：由题意得：（元）， 答：估计该校学生的捐款总数为7200元． 23. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的符号，即可得证． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得； 【小问2详解】 略 25. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表： 售价（元/件） 55 65 销售量（件/天） 90 70 （1）求出关于售价的函数关系式； （2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】（1） （2），当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）设，待定系数法求函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设，由题意，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴当时，有最大值为， ∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大． 26. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 【答案】（1）是 （2） 解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【小问1详解】 解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图： ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，10构成直角三角形，10是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期第二次学习过程调研 九年级数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 友情提醒： 考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列式子中，表示是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，且，，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都行 D. 不确定 7. 若，则中的值为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，则_____cm． 10. 已知点C为线段的黄金分割点且，（）则____（精确到0.01）． 11. 在比例尺是的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为，它的实际长度约为_______． 12. 把函数的图象向下平移2个单位长度得到的新函数的表达式是________． 13. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____． 14. 若函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是__________． 15. 若圆锥的侧面积为，底面半径为2，则该圆锥的母线长为_____． 16. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③若点为函数图象上的两点，则；④；其中，正确结论序号为______ 三．解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）； 18. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 19. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积 （3）当时，则的取值范围______． 20. 如图，点为的边上的一点，连接，若 （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）的长为_____________（用含的代数式表示） （2）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 22. 在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元，这组数据的中位数为________元． （2）求这组数据的平均数． （3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 23. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 24. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 25. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表： 售价（元/件） 55 65 销售量（件/天） 90 70 （1）求出关于售价的函数关系式； （2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 26. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $