寒假作业 06 一元二次方程的判别式及根与系数的关系 专项练习 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册（甘肃专用）

cmh 日P00 0日gD 月日天气用时 寒假作业 作业06一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 分层式学习 积累运用 一、根的判别式(A=b2-4ac) 核心概念 对于一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac决定方程实数根的个数，是判 断根的情况的核心依据。 核心结论（根的情况判断） △的符号 实数根的情况 补充说明 △>0 两个不相等的实数根 根为x=bv 2a ，两根符号可通过根与系数关系进一步判断 △=0 两个相等的实数根 根为为=x2=一去本质是一个实数根（重根） 方程的根为一对共轭虚数，初中阶段仅研究实数根，故判定为“无 △<0 无实数根 实根” 适用场景 1.直接判断方程实数根的个数； 2.结合己知根的情况求参数取值（或取值范围）； 3.验证方程根的性质（如是否为相等实根、存在实根等）。 例题与运用 1.判断根的情况 ·例：判断方程2x2-5x+3=0的根的情况 解：a=2,b=-5,c=3,△=(-5)2-4×2×3=25-24=1>0，故方程有两个不相等 的实数根。 2.求参数取值（范围） ·例1：若方程x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 k≠0 解：需满足“一元二次方程”+“a>0,即{(-2)2-4×k×1>0解得k<1且k≠0。 。例2：若方程x2-2mx+m2=0有实数根，求m的取值范围 解：△=(-2m)2-4×1×m2=0,无论m取何实数，△=0恒成立，故m为任意实数。 + 日P00 0日gD 月 日天气用时 寒假作业 3.验证根的性质 ·例：已知方程x2+4x+4=0,验证其根是否相等 解：△=42-4×1×4=0，故方程有两个相等的实数根（实际根为1=x2=-2)。 注意事项 1.必须先确认方程是一元二次方程(a≠0)，再计算判别式；若未明确方程类型，需分“a=0（一 元一次方程)”和“a≠0（一元二次方程)”讨论： 2.△=0时是“两个相等的实数根”，不能表述为“一个实数根”，符合一元二次方程根的定义 (二次方程有两个根，重根视为两个相等的根)； 3.计算判别式时注意b的符号，避免因符号错误导致结果出错（如b=一3时，b2=9,而非-9）。 二、根与系数的关系（韦达定理） 核心概念 对于一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0(a≠0)，若其两个实数根为x1、x2,则根与系数的关 系为： x1+x2=-台x1x2=(前提：4之0，即方程有实数根)。 特殊形式（简化记忆) 当二次项系数a=1时，方程为x2+px+q=0,根与系数的关系简化为： x1+2=-p,2=q（更易记忆和计算)。 适用场景 1.已知一根求另一根： 2.已知根与系数的关系求参数值； 3.求与根相关的代数式的值（如x好+好、子+号等）： 4.构造以己知两数为根的一元二次方程： 5.判断两根的符号（正根、负根、异号根等）。 例题与运用 1.己知一根求另一根 ·例：己知方程3x2-7x+2=0的一个根为为1=2，求另一个根2 解：由韦达定理，x1+x2=子代入为=2，得2+2=子解得x2=也可通过为2=子验 证)。 2.求参数值 ·例：若方程x2-(m+2)x+2m=0的两根之和为5，求m的值及方程的两根 cmh 日P0a 0日gD 月 一日天气一用时一一一寒假作业 解：由韦达定理，x1+x2=m+2=5,解得m=3: 代入方程得x2-5x+6=0,因式分解得(x-2)(x-3)=0,两根为1=2,2=3。 3.求与根相关的代数式的值 ·常用代数式变形公式： ①x好+x3=(&1+2)2-2x12 ②1+1=+2 X1X2为X2 ③(&1-x2)2=(X1+x2)2-4x12: ④k一x=将（结合判别式）。 ·例：已知方程2x2-4x-1=0的两根为为、2，求x+3的值 解：X+x2=2,x1x,=子=- x好+x号=（凶1+x2)2-2x12=22-2×(-2)=4+1=5。 4.构造一元二次方程 ·例：构造以3和一2为根的一元二次方程 解：方法-（用a=1的简化形式）：x2-(3+(-2)x+3×(-2)=0,即x2-x-6=0: 方法二（一般形式）：设方程为ax2+bx+c=0,则X1十x2=-台=1，x1x2==-6,取a=2, 得2x2-2x-12=0（答案不唯一，各项系数成比例即可)。 5.判断两根符号 ·例：判断方程x2-3x+2=0两根的符号 解：为+x2=3>0,1=2>0,故两根均为正根； 补充：若x1+x2<0且x1x2>0,则两根均为负根；若x12<0,则两根异号（一正一负）。 注意事项 1.运用韦达定理的前提是方程有实数根（△≥0），若已知参数求根或代数式的值，需先验证△≥0， 避免出现“无实根却求根的相关量”的错误； 2.计算时注意符号：x1+x2=-中-”易遗漏，需重点记忆（如a=2,b=3时，1+=-2 3 a 而非》； ch 日P0a 月 日天气 用时 寒假作业 3.构造方程时，若未指定二次项系数，可取a=1简化计算，结果更简洁： 4.求代数式的值时，需先将代数式转化为含1+2和12的形式，再代入计算，避免直接求 根（尤其当根为无理数时，此方法更简便）。 三、判别式与根与系数关系的综合运用 核心场景 己知方程根的性质（如“有两个正根”“有两个异号根且正根绝对值大”等），求参数的取值范围。 例题 例：若方程x2-(2k+1)x+k+1=0有两个不相等的实数根，且两根均为正根，求k的取值范围 解：需同时满足3个条件： 1.一元二次方程：k≠0： 2.有两个不相等实根：△>0，即(2k+1)2-4k+1)=1>0(恒成立)： 3.丙两根均为正根：X+x2=22>0且x1x2-号>0： k 解得k>0或k<-1,结合k≠0，最终k>0或k<-1。 关键思路 综合题需“先定方程类型（a≠0)→判根的个数（△符号）→用韦达定理定根的性质（符号、和差 关系等)”，分步列条件，联立求解参数范围。 培优训练 一、选择题 1.若x1,2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1x2的值是() A.-10 B.10 C.-16 D.16 2.若x1,x2是方程x2-3x+2=0的两个根，则x1+x2的值是() A.-2 B.2 C.3 D.1 3.若m,n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是() A.-7 B.7 C.3 D.3 4.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则xx2+x1x的值为（) A.-3 B.3 C.-6 D.6 5.(2025·平凉期中)一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是() A.3 B.-1 C.-3 D.-2 24< ch 日P00 0日gD 月 一日天气一用时 寒假作业 6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1=2,x2=1,那么P,q的值分别是 () A.-3,2 B.3,-2 C.2,-3 D.2,3 7.已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是() A.-2 B.0 c.1 D.2 8.(2024·日照月考改编)★关于x的一元二次方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的 实数根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是（) A.1 B.-1 C.1或-1 D.2 二、填空题 9.已知方程x2-3x-7=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2= ’1X2= 10.（2024·白银期末改编)一元二次方程2x2-2x-3=0两个根的和为 两个根的积为 11.若x1,2是方程2x2+x-1=0的两个根，则x+x2=」 12.（2024·酒泉月考)若正数a是一个一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程 x2+5x-m=0的一个根，则a的值是 13.若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1x2, 则k的值为一 14.★关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两个实数根为x1,x2,且x+x=3,则 m= 三、解答题 15.(2024·武威模拟改编)若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是-5，求另一个根及m的 值 16.（2023·湛江一模)★★阅读材料： 2☒ cmh 日P00 oo 0 o 月 一日天气用时 一寒假作业 如果x,x2是一元二次方程x2+bx十c=0(a≠0)的两个根，那么名+x2=-告名x2=这就是著 名的韦达定理 现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m与n是方程2x2-6x+3=0的两个根 (1)填空：m+n=一-，mn=一 (2)计算+的值， m n' 17.已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0。 (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围： (2)若方程的两个实数根分别为x1,2,且满足(1-2)2=16-12，求实数m的值。 18.（2025·清水三模)★已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实 数根。 (1)若(&1-1)&2-1)=28，求m的值： (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若X1,x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长。 素养提升 19(2025陇南月考)★★★【新中考·定义新题型】定义：若关于x的一元二次方程2x(420) 的两个实数根为，)，以，心为横坐标和纵坐标得到点()，则称点M为该一元二次方 +++++ 日P00 0日gD 月 日天气 用时 寒假作业 程的衍生点. 【初步思考】 (1)一元二次方程-了一60的衍生点M的坐标为一：【尝试应用】 （2)己知一元二次方程2-2(-21r-2+4?-0 ①求出该方程的衍生点M的坐标： ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为一： (3)是否存在bc,使得不论<)为何值，一元二次方程-+(-的衍生点M始终在直线 ”=人x+)-)的图象上，若有，请求出b,c的值：若没有，请说明理由。 建议用时：60分钟 2,☒ 作业06 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 答案解析 分层式学习 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】方程中，，，，由韦达定理。 1. 【答案】C 【解析】方程中，，，由韦达定理。 1. 【答案】B 【解析】由韦达定理，，，则。 1. 【答案】A 【解析】，由韦达定理，，代入得。 1. 【答案】C 【解析】设另一根为，由韦达定理，解得。 1. 【答案】A 【解析】由韦达定理，，，故，。 1. 【答案】A 【解析】设另一根为，由韦达定理，解得。 1. 【答案】B 【解析】，得；由韦达定理，，代入，解得。 二、填空题 1. 【答案】3；-7 【解析】由韦达定理，，。 1. 【答案】1； 【解析】，，，故，。 1. 【答案】 【解析】，，。 1. 【答案】5 【解析】由题意，，两式相加得，解得（舍去）。 1. 【答案】或-1 【解析】，，由，解得或，均满足。 1. 【答案】1 【解析】，，，解得（舍去，因）。 三、解答题 1. 【答案】另一个根为， 【解析】设另一根为，由韦达定理，，解得，。 1. 【答案】（1）3； （2）2 【解析】（1），；（2）。 1. 【答案】（1） （2）1 【解析】（1），解得；（2），代入韦达定理，解得（舍去）。 1. 【答案】（1）4 （2）17 【解析】（1），代入韦达定理解得；（2）分7为腰或底，解得方程根为3和7，周长为。 1. 【答案】（1）(1,6) （2）①(2, m + 2) ② （3）， 【解析】 解：（1）， ， ，， ，， ∴一元二次方程的衍生点的坐标为． 故答案为：． （2）①因式分解，得． 解得或， ∵， ∴，． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ②当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线上， 将代入直线，得． ∴直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $___________月___________日 天气________ 用时________ 寒假作业 作业06 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 分层式学习 一、根的判别式（） 核心概念 对于一元二次方程标准形式 （）， 决定方程实数根的个数，是判断根的情况的核心依据。 核心结论（根的情况判断） 的符号 实数根的情况 补充说明 两个不相等的实数根 根为 ，两根符号可通过根与系数关系进一步判断 两个相等的实数根 根为 ，本质是一个实数根（重根） 无实数根 方程的根为一对共轭虚数，初中阶段仅研究实数根，故判定为“无实根” 适用场景 1. 直接判断方程实数根的个数； 1. 结合已知根的情况求参数取值（或取值范围）； 1. 验证方程根的性质（如是否为相等实根、存在实根等）。 例题与运用 1. 判断根的情况 · 例：判断方程 的根的情况 · 解：，，，，故方程有两个不相等的实数根。 2. 求参数取值（范围） · 例1：若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围 · 解：需满足“一元二次方程”+“”，即 ，解得 且 。 · 例2：若方程 有实数根，求 的取值范围 · 解：，无论 取何实数， 恒成立，故 为任意实数。 3. 验证根的性质 · 例：已知方程 ，验证其根是否相等 · 解：，故方程有两个相等的实数根（实际根为 ）。 注意事项 1. 必须先确认方程是一元二次方程（），再计算判别式；若未明确方程类型，需分“（一元一次方程）”和“（一元二次方程）”讨论； 1. 时是“两个相等的实数根”，不能表述为“一个实数根”，符合一元二次方程根的定义（二次方程有两个根，重根视为两个相等的根）； 1. 计算判别式时注意 的符号，避免因符号错误导致结果出错（如 时，，而非 ）。 二、根与系数的关系（韦达定理） 核心概念 对于一元二次方程标准形式 （），若其两个实数根为 、，则根与系数的关系为： ，（前提：，即方程有实数根）。 特殊形式（简化记忆） 当二次项系数 时，方程为 ，根与系数的关系简化为： ，（更易记忆和计算）。 适用场景 1. 已知一根求另一根； 1. 已知根与系数的关系求参数值； 1. 求与根相关的代数式的值（如 、 等）； 1. 构造以已知两数为根的一元二次方程； 1. 判断两根的符号（正根、负根、异号根等）。 例题与运用 1. 已知一根求另一根 · 例：已知方程 的一个根为 ，求另一个根 · 解：由韦达定理，，代入 ，得 ，解得 （也可通过 验证）。 2. 求参数值 · 例：若方程 的两根之和为 5，求 的值及方程的两根 · 解：由韦达定理，，解得 ； · 代入方程得 ，因式分解得 ，两根为 ，。 3. 求与根相关的代数式的值 · 常用代数式变形公式： · ① ； · ② ； · ③ ； · ④ （结合判别式）。 · 例：已知方程 的两根为 、，求 的值 · 解：，； · 。 4. 构造一元二次方程 · 例：构造以 3 和 为根的一元二次方程 · 解：方法一（用 的简化形式）：，即 ； · 方法二（一般形式）：设方程为 ，则 ，，取 ，得 （答案不唯一，各项系数成比例即可）。 5. 判断两根符号 · 例：判断方程 两根的符号 · 解：，，故两根均为正根； · 补充：若 且 ，则两根均为负根；若 ，则两根异号（一正一负）。 注意事项 1. 运用韦达定理的前提是方程有实数根（），若已知参数求根或代数式的值，需先验证 ，避免出现“无实根却求根的相关量”的错误； 1. 计算时注意符号： 中“”易遗漏，需重点记忆（如 ， 时，，而非 ）； 1. 构造方程时，若未指定二次项系数，可取 简化计算，结果更简洁； 1. 求代数式的值时，需先将代数式转化为含 和 的形式，再代入计算，避免直接求根（尤其当根为无理数时，此方法更简便）。 三、判别式与根与系数关系的综合运用 核心场景 已知方程根的性质（如“有两个正根” “有两个异号根且正根绝对值大”等），求参数的取值范围。 例题 例：若方程 有两个不相等的实数根，且两根均为正根，求 的取值范围 解：需同时满足 3 个条件： 1. 一元二次方程：； 1. 有两个不相等实根：，即 （恒成立）； 1. 两根均为正根： 且 ； 解得 或 ，结合 ，最终 或 。 关键思路 综合题需“先定方程类型（）→ 判根的个数（ 符号）→ 用韦达定理定根的性质（符号、和差关系等）”，分步列条件，联立求解参数范围。 一、选择题 1. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A. -10 B.10 C. -16 D.16 2. 若，是方程的两个根，则的值是（     ） A. -2 B.2 C.3 D.1 3. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A. -7 B.7 C.3 D. -3 4. 已知一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（     ） A. -3 B.3 C. -6 D.6 5. （2025·平凉期中）一元二次方程的一个根是，则另一个根是（     ） A.3 B. -1 C. -3 D. -2 6. 如果关于的一元二次方程的两个根分别为，，那么，的值分别是（     ） A. -3，2 B.3， -2 C.2， -3 D.2，3 7. 已知关于的一元二次方程的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（     ） A. -2 B.0 C.1 D.2 8. （2024·日照月考改编）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（     ） A.1 B. -1 C.1或-1 D.2 二、填空题 9. 已知方程的两个根分别为，则_______，________. 10. （2024·白银期末改编）一元二次方程两个根的和为_________，两个根的积为_________. 11. 若，是方程的两个根，则________. 12. （2024·酒泉月考）若正数是一个一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，则的值是________. 13. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为______. 14. 关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则______. 三、解答题 15.（2024·武威模拟改编） 若关于的方程的一个根是，求另一个根及的值. 16. （2023·湛江一模）阅读材料： 如果，是一元二次方程的两个根，那么，.这就是著名的韦达定理. 现在我们利用韦达定理解决问题： 已知与是方程的两个根. （1）填空：____，____； （2）计算的值. 17. 已知关于的一元二次方程。 （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数的值。 18. （2025·清水三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根。 （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长。 19.（2025·陇南月考）【新中考·定义新题型】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为         ；【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为         ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 建议用时：60分钟 学科网（北京）股份有限公司 $