精品解析：陕西省渭南市澄城县2025-2026学年高一上学期期末文化课测试数学试题

澄城县2025-2026学年度第一学期高一年级期末文化课测试 数学试题 注意事项： 1．本试题共6页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．命题：孙悦 李江涛 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 下列函数中，图像关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 设命题：，命题：.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于概率与频率，下列说法正确的是（ ） A. 频率是随机的，概率是确定的 B. 随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C. 某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D. 在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 对任意，都有 D. 方程有且仅有两个实数解 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某次考试成绩第75百分位数为85分，表示至少有________%的学生成绩不低于85分. 13. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 14. 已知函数，若，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. （1）计算 （2）化简：. 16. 已知函数． （1）定义域 （2）判断的奇偶性；并且证明 （3）解不等式 17. 澄城县统计局对两所高中高一学生月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 （1）分别计算两校样本的平均数、极差和方差； （2）若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 18. 已知函数区间内单调递减，. （1）求实数b的取值范围； （2）若不等式对所有实数都成立；求的解析式； （3）设，判断的奇偶性. 19. 澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时， （1）的值为多少 （2）证明：在上是增函数 （3）设；解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 澄城县2025-2026学年度第一学期高一年级期末文化课测试 数学试题 注意事项： 1．本试题共6页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．命题：孙悦 李江涛 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】即：， 故集合 集合， 故， 则的元素个数为3. 故选：C 2. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B . 3. 若，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】. 故选：C 4. 下列函数中，图像关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义来判断图像是否关于原点对称， 【详解】的定义域关于原点对称，， 是偶函数，关于轴对称，故A错误， 的定义域关于原点对称，， 是偶函数，关于轴对称，故B错误， 的定义域关于原点对称，因为，， 是奇函数，关于原点对称，故C正确， 的定义域关于原点对称，，， ，，， 是非奇非偶函数，故D错误， 故选：C 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】逆向使用基本不等式，解不等式即可. 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以，所以. 所以当时，取最大值， 故选：B. 6. 设命题：，命题：.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求出命题的范围，再根据是的必要不充分条件确定实数的取值范围. 【详解】解不等式可得或，即命题：或. 若是的必要不充分条件，则能推出，不能推出， 即是的真子集，所以. 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，先确定的取值范围，最后比较大小. 【详解】因为在单调递减，且，所以，即 因为在单调递增，所以，即. 因为在单调递减，由，可知，又，所以 所以 故选：A 8. 从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出百位数字为奇数（事件）的基本事件数及百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数，代入条件概率的计算公式计算即可. 【详解】. 百位数字为奇数即从1，3，5中选1个数放在百位，有种选法， 十位和个位从剩下的4个数中选2个排列，有种排法， 则事件包含的基本事件数为种. 百位数字为奇数且该数能被5整除，即个位固定为5，百位从1，3中选1个，有种选法， 十位从剩下的3个数字中选1个，有种选法， 则百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数为种. 因此，. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于概率与频率，下列说法正确的是（ ） A. 频率是随机，概率是确定的 B. 随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C. 某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D. 在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例检验选项A；结合对数函数单调性检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合基本不等式检验选项D. 【详解】当，时，，A显然错误； 因为，所以，B正确； 因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，C错误； 若，则， 当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确． 故选：BD . 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 对任意，都有 D. 方程有且仅有两个实数解 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的恒等式即可判断奇函数，利用已知函数单调性结合复合函数思想即可判断单调性，利用构造熟悉函数，通过数形结合来判断方程解的个数. 【详解】因为，且定义域为， 所以奇函数，故A正确； 由， 由是在上的增函数，在是增函数， 可得是在上单调递增，故B正确； 因为， 所以对任意，都有，故C正确； 由方程可得：方程，令，则， 则原方程又可化为：， 构造两个函数，作图： 由图可得，两函数图象仅有一个交点，故方程只有一个解， 即原方程仅有一个解为，故D错误； 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某次考试成绩第75百分位数为85分，表示至少有________%的学生成绩不低于85分. 【答案】25 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解即可. 【详解】根据百分位数的定义，第百分位数是这样一个值，它使得至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 因此，第75百分位数为85分，意味着至少有  的学生成绩不低于85分. 故答案为：25 13. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式在上恒成立，则需区间都落在解集内，这等价于要求与开区间没有交集，从而得出的取值范围. 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 14. 已知函数，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数运算法则，以及函数的性质，解方程求解即可. 【详解】因为对数函数的真数大于0，所以：；， 综上可得函数的定义域为：. 根据对数加法法则：， 已知，即，转化成指数形式：， 解得：或（舍去）. 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15 （1）计算 （2）化简：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值. 【详解】（1） ； （2）原式. 【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题. 16. 已知函数． （1）定义域 （2）判断的奇偶性；并且证明 （3）解不等式 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数有意义列不等式求解即可； （2）根据奇偶性的定义判断即可； （3）根据题意得到关于的不等式，从而得到解集. 【小问1详解】 要使函数有意义，则， 解得， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 函数是奇函数，证明如下： 由（1）可知，函数定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数； 【小问3详解】 不等式，则，即， 有，解得， 所以不等式的解集为. 17. 澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 （1）分别计算两校样本的平均数、极差和方差； （2）若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 【答案】（1）甲：均值90，极差10，方差；乙：均值90，极差20，方差50； （2）甲校方差小，成绩更稳定，表现更好. 【解析】 【分析】（1）根据两个学校的数据，分别代入平均数，极差，方差公式，即可求解； （2）根据平均数和方差的大小，判断哪所学校表现更好. 【小问1详解】 甲校的平均数，极差为， 方差为， 乙校的平均数，极差为， 方差为. 【小问2详解】 两个学校的平均水平一样，但甲校的方差小，所以甲校的成绩更稳定，表现更好. 18. 已知函数在区间内单调递减，. （1）求实数b的取值范围； （2）若不等式对所有实数都成立；求的解析式； （3）设，判断的奇偶性. 【答案】（1）； （2）； （3）奇函数. 【解析】 分析】（1）根据二次函数对称性结合单调性列式求解即可； （2）根据题意可得，结合二次函数恒成立问题可得，即可得函数解析式； （3）整理可得，，结合奇函数的定义分析判断. 【小问1详解】 因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数在区间内单调递减，则，解得， 所以实数b的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 若不等式对所有实数都成立，则，解得， 由（1）可知：，则， 所以的解析式. 【小问3详解】 由上可知：，，则， 可得，， 可知为正比例函数，且的定义域为， 因为，所以为奇函数. 19. 澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时， （1）的值为多少 （2）证明：在上是增函数 （3）设；解不等式． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）赋值，代入求值； （2）根据函数单调性的定义，，再计算的正负，即可证明； （3）根据函数的定义域求的取值范围，再讨论，，和三种情况，结合函数的单调性，即可求解不等式. 【小问1详解】 令，得，解得：； 【小问2详解】 任取，，而且． 由①得．，； 又因为，，所以，则．因此． 由②得． 在递增 小问3详解】 ，得， 当，，左边，不满足 当（且）则； 所以 当，则，不满足 综上：不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $