重庆市九龙坡区2025-2026学年九年级上学期期末自编模拟数学试题（三）

（模拟三）数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 20． 21． （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） (2) ． 18． ① ② ③ ④ ⑤ 19． （1） ______，______，______ （2） （3） 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 2、 填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解下列方程 (1) 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23． 22． 24． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $2025 2026学年教育质量全面监测（中学）九年级（上） 数学试题（模拟三） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面。 都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1,下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是() B D 2.用配方法解方程x2+4x-2=0,下列配方结果正确的是( A.(x+2)2=2B.(x+2)2=6 C.(x-2)2=2 D.(x-2)2=6 3.如果反比例函数y=口的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是() A.-3 B.2 C.0 D.-2 4.“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6'这个事件是() A.随机事件 B.确定事件 C.不可能事件 D.必然事件 5.如图，C,D是OO上直径AB两侧的两点，设∠ABC=32°，则∠BDC=() B D A.64 B.62 C.60° D.589 九年级数学试题第1页共8页 6.将一个容积为600cm的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于 x的方程为() 30 A.15(1-x)=136.7 B.30(30-2x)x=600 C.15(15-x)x=600 D.x(15-x)x=600 7.如图，△0AB为等腰三角形，AB=OB,反比例函数y=(k≠0)过点B,若S=4, 则k为() A.-4 B.4 C.-2 D.-8 8.如图，己知扇形OAB,在其内部作一个菱形ODCE,其中点D、E分别在OA、OB上， 点C在AB上.若OA=2,∠AOB=60°，则图中阴影部分的面积为() D D O B E 第8题图 第9题图 子9 B.π2V5 C.2n_23 D. 2元V5 33 33 33 9.如图，菱形ABCD的对角线交于点O,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连 接OE,若OB=3,OE=33,则菱形ABCD的面积为() A.9W5 B.183 C.365 D.9 九年级数学试题第2页共8页 10.己知两个多项式A=x2+x+1,B=x2-x+1,其中x为任意实数.有下列结论： ①若A-B>0,则x一定为正数： ②若A·B=0,则满足条件的x的值有4个： ③若m=A-B,则当x=3时，式子(m-1)2+(m-2)2+(m-3)2++(m-10)2+(m-11)2取得 最小值。 其中正确的结论个数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接 填在答题卡中对应的横线上。 11.抛物线y=-(x-10)+1(a≠0)的顶点坐标是」 12.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值 为 13.现有四张正面分别标有数字-2,1,2,3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它 们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记 下数字，前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为· 14.如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y=-二X+10,为了 25 给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则 这两个救生圈间的水平距离EF为米. 八F B B CE 第14题图 第15题图 15.如图，△ABD是OO的内接三角形，半径OC⊥AB,垂足为点H,点E是圆上一点且 AE=DE,过点E作EF⊥AB于点F.若OH=1,AB=4,∠BAD=30°，则HC的长度 为，BF的长度为 九年级数学试题第3页共8页 16.一个四位自然数M,记作M=abcd,若a+c=b+d=11,则称M为“双11数”.例如： 四位数4279，，4+7=2+9=11，∴.4279是“双11数”.若一个“双11数”为ab2a且能被5 整除，则这个数是 一：若M是一个双11数，设)兰，且)+是整数， 7 则满足条件的M的最小值是 三、解答题：（本大题共9小题，17一一18题8分，19-25题各10分，共86 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包 括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17.解方程： (1)x2-2x+5=20: (2)2(x+4)2=x(x+4). 18.已知：如图，直线1是⊙O的切线，A为切点，OA为OO的半径，B为⊙O上一点. (I)实践与操作：用尺规作图过点O作直线AB的垂线，分别交直线AB、直线1于点C、P, 并连结OB、PB:(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与证明：在(1)的条件下，求证：PB是⊙O的切线。 证明：，直线1是⊙O的切线，A为切点，OA为⊙O的半径， ①， :.∠OAP=90°（其依据是②一)， :OA=OB,OP⊥AB, ③， 在AOAP和AOBP中，有OA=OB,∠AOP=∠BOP,OP=OP, ∴.△OAP≌AOBP（其依据是④)， ∴.∠OAP=∠OBP=90°， 又，OB为⑤， ,PB是OO的切线. 九年级数学试题第4页共8页 19.百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机 器人（以下简称B款）·有关人员开展了A,B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验， 并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等 级：不满意x<70,比较满意70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x≥90)，下面给出了部 分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84,86,86,87,88,89: 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98,98,98,98,99,100: 抽取的对A,B款AI聊天机器人的评分统计表 设 平均 中位 众 “非常满意”所占百分 抽取的对A款设备 的评分扇形统计图 备 数 数 数 比 ,比较满意 a% 满意 ,不满意 A 88 b 96 45% 10% 非常满意 B 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= ,b= ,C= (2)根据以上数据，你认为哪款A虹聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即 可)： (3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进 行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 20先化商，再求：2x0x-22x列+(5242小24，英中 x=6-5-1°-2 九年级数学试题第5页共8页 21.某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品.当商品售价为每件80元时，一月 份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季 度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变. (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率： (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，该商品每降价 0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利 2160元？ 22.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=11,点E为AD上一定点，满足AE=3,连接BE, CE,动点M从A点出发，沿着折线A-E-B运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N 从C点出发，沿若CB向B运动，速度为每秒5个单位长度，当点M停止运动时，点N 3 也同时停止.过点N作P⊥BC于点F.设运动时间为x秒(0<x<8),记△ABM的面积为y1, △CWF的面积为y2· V 10 9 8 6 ME 5 3 2 12345678910x (1)请直接写出y,y,分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，y2的图象，并写出y的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出函数y≤y2的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不 超过0.2)· 九年级数学试题第6页共8页 23.今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A,B,C,D在同一平面内，已 知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校 D的北偏西75°方向；博物馆C位于小福家B的北偏东60°方向.（参考数据：√2≈1.41， V3≈1.73，√6≈2.45) (1)求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）： (2)小希从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C:同时小福也从自己家出发， 沿B→C方向匀速前往博物馆C,已知小希和小福的速度之比为3：4.小福到达博物馆C 后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的 超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路E与CD的夹角 ∠BED=60°（∠BDC<90°），且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小希 在E处等待小福.求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 北 西个东 南 90 45 759 D 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+3(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于 A(-1,O),B两点(A在B的左侧)，抛物线的对称轴是直线x=1,连接AC,BC. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥AC交BC于点D,点E,F 为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且EF=1,连接PE,PF,当线段PD的长度取得 最大值时，求出点P的坐标及线段PD的最大值，并求出PE+PF的最小值： 九年级数学试题第？页共8页 (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得y,新抛物线y 交线段BC于点N,点M是新抛物线y上的一个动点，当∠MNB=∠ACB时，请写出所有符 合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程. 25.在等腰三角形ABC中，∠A=30°，点D是线段BC的中点，点E是BC中垂线上的一点， 连接BE、CE. B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在AC边上时，若AC=3,求DE的长度： (2)如图2，当点E在△ABC内部时，延长BE至点F,连接AF、CF,若CA平分∠ECF, 点G为AF的中点，求证：2BG=BF+CF; (3)如图3，当点E在△ABC外(AC下方)时，DE与AC交点H,若△BDE为等腰直角三 角形，AB=2V6,K为平面内一点，将△DCH沿EK翻折得到△D'C"H',射线DC交AB于 点M,当D'M最短时，请直接写出DM的值. 九年级数学试题第8页共8页(模拟三)数学答题卡 注意事项 姓名： 班级： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填 准考 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 证号 准考证号、座位号及科类名称。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综 合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 贴条形码区 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 6cm×3cm 4.保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 (正面朝上，切勿贴出方框) 破。 填涂 正确填涂 错误填涂 √×O 0● 样例 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 ▣ 一、选择题 1aB□回D 5A▣B□CD 9A□B□CD] 2A□B□C□D 6A□B□CD□ 10A▣B□C回D 3AB□C□D 7AB□C回D 4ABC四D 8A□B□C回D 二、填空题 11. 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解下列方程 (1)x2-2x+5=20 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (2)2(x+4)=x(x+4) 18. ① B ② ③ ④ ⑤ 19. (1)a=,b=,c= (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.(2x-1)(x-2)-x(2x-5)+ x2-6x+9 2x+4 21. 0987 A ME 65 D 4 3 2 0 12345678910x (2)函数的性质为： (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. 北 C 西↑东 E 60° - 458 75叫 A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. D 图1 B 图2 A B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. 图1 B D G 图2 H 图3《模拟三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ A 0 C B 1.C 【分析】本题考查中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念， 进行判断即可. 【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意： B.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意： C.该图形是中心对称图形，故此选项符合题意： D.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意. 故选：C. 2.B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的 形式即可. 【详解】解：移项得x2+4x=2, 配方得x2+4x+4=2+4,即(x+2)2=6, 故选：B. 【点睛】本题考查了解一元二次方程一配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决 问题的关键. 3.B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解。 【详解】解：：反比例函数y=二的图象分布在第一、三象限， .a>0, ∴a的值可以是2. 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y=仁(k≠O),当k>0 X 时，图象位于第一、三象限内；当k<0时，图象位于第二、四象限内是解题的关键， 4.A 第1页共26页 【分析】根据随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即 可解答。 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷一次骰子，骰子向上一面的点数为6的事件是随机事件， 故选：A. 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的 关键， 5.D 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，由AB是 直径求出∠ACB=90°是解题的关键.由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=32°可知 ∠CAB=58°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC的度数，即可得出答案， 【详解】解：，AB是OO的直径， .∠ACB=90°， ,∠ABC=32°， .∴.∠CAB=90°-∠ABC=58°， ∴.∠BDC=∠CAB=58°， 故选：D 6.C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解 题的关键.根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可. 【详解】解：由图可知：长方体的长为15，宽为(30-2x)÷2=15-x, 由题意得：15(15-x)x=600: 故选C. 7.A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数 k的几何意义是解题的关键， 1 作BC1x轴于点C,利用三线合一性质得到AC=0C=2A0,进而得出 1 ×4=2，再利用反比例函数系数k的几何意义得到S8 ,解出 第2页共26页 k=±4，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定k的值. 【详解】解：如图，作BC⊥x轴于点C, 1 ,AB=OB,BC⊥x轴， :4C=0C=140,∠BC0=90, 1 ·.SAc0m=5S408=7×4=2, 2 :反比例函数y=(≠0)过点B, 2 =2 2 解得k=±4， :反比例函数y=(k≠0)经过第二、四象限， .k<0, .k=-4 故选：A. 8.C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结 合三角函数求高，通过“阴影面积=扇形面积-菱形面积”计算 连接OC,由菱形性质得∠BOC=30°；过C作CH⊥OB,用含30°角的直角边等于斜边的一 半求CH;计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积. 【详解】解：连接OC,过C作CH L OB于H. E H 第3页共26页 ,'四边形ODCE是菱形，∠AOB=60°， :OD=DC=c8=OB,∠B0C=1∠A0B=30, 又OC=OA=2, &cH=0cx-1, 2 由OD∥CE得∠CEH=∠AOB=60°，则∠ECIH=30°， ∴-CR,cBm-CH, 即cg-cz'=P,解得cg=25,即oB=25 2 3 3 ·菱形ODCE的面积=OEXCH=2 3 扇形0AB的面积=60m×2_2π 3603 ·阴影面积=2π2W5 33 故选：C 9.B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题 的关键.首先根据菱形的性质得到BD=2OB=6,然后利用直角三角形斜边中线的性质得到 AC=20E=6√5，然后利用菱形面积公式求解即可 【详解】解：四边形ABCD是菱形，OB=3, .BD=20B=6,AO=CO, CE⊥AB,OE=3V3, ∴.∠AEC=90°， AC=20E=6V5, :菱形ABCD的面积=4CBD=}x6Nx6=185, 故选B. 10.C 【分析】可求A-B=2x,①即可求解；由AB=0可求(x2+x+1)(x2-x+1)=0,②即可求 解；设y=(m-1)2+(m-2)2++(m-10)2+(0m-11)2,可得y=11m2-132m+506,从而可得 第4页共26页 y=442-264x+506,③即可求解. 【详解】解：A=x2+x+1,B=x2-x+1, :.A-B=2x, .A-B>0,即2x>0, .x>0, ①正确： A.B=0即(x2+x+1)(x2-x+1)=0, .x2+x+1=0或x2-x+1=0都无实解， .AB=0无实数根， ②错： 设y=(m-1)2+(m-2)2++(-10)2+(0m-11)2, 整理得：y=11m2+(-2-4-.-20-22)+(1+4+…+100+121) =11m2-132+506, =A-B=2x, .y=44m2-264x+506, 44>0, .当x= -264=3,y取得最小值， 2×44 即：式子(m-1)2+m-2)2+m-3)2+…+(m-10)2+(m-11)2取得最小值. ③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，判断一元二次方程根的个数，二次函数的最值， 掌握判断方法及最值求法是解题的关键。 11.(10,1) 【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，二次函数y=a(x-)+k(a≠0)的顶点坐标 为(h,k),据此可得答案. 【详解】解：抛物线y=-(x-10)+1(a≠0)的顶点坐标是(10,1)， 第5页共26页 故答案为：(10,1). 12.-1 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项 系数a-1≠0，然后根据方程的一个根为0，将x=0代入方程可求出a的值. 【详解】解：，一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0， ∴.a-1≠0且a2-1=0, ∴.a=-1, 故答案为：-1. 13. 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之积 为奇数的概率。 【详解】解：树状图如下， 开始 m 个 n 23-2123-2123-2123 mn 4-2-4-6-2123-4246-6369 由上可得，一共有16种可能性，其中数字之积为奇数的可能性有4种， 41 故数字之积为奇数的概率为 164 故答案为：4 1 14.10 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解 析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长， 【详解】解：由题意得E、F两点纵坐标为8， 把y=8代入=-210得：8=2r+10 25 25 解得x=+5, ,xg=5,xg=-5 第6页共26页 .EF=xp-xg=10米 故答案为：10 15. 5-1 2、6 【分析】过点B作BK⊥AD于点K,连接OB,OD,OE,延长EO交AD于点L,由垂径定 理和勾股定理可求出OB,OC的长，进而可得HC的长；可证明△BOD是等边三角形，则可 得到BD的长，求出AK,DK的长，进而可得AD的长；由垂径定理可得EL⊥AD,则可利 用勾股定理求出OL的长，进而得到EL的长，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性 质求出M的长，进而求出EM的长，导角得到∠MEF=30°，则可求出F的长，据此可 得答案。 【详解】解：如图，过点B作BK⊥AD于点K,连接OB,OD,OE,延长EO交AD于点L, :半径OC⊥AB,垂足为点H, B .BH=1 B=2, 在Rt△BOH中，OB=VOH'+BHP=V1?+22=√5， .0C=0B=5, .HC=OC-OH=√5-1； :∠BAD=30°， BK=AB=2,∠BOD=2∠BAD=60°， AK=VAB2-B=V42-22=23, OB=OD, ∴△BOD是等边三角形， :BD=OB=OD=√5 :DK=BD-BK=(5)-2:=1, 第7页共26页 .AD=AK+DK=23+1, .AE DE, AE=DE,即点E是ABD的中点， 直线B01AD,且AL=DL=5AD-3+ 在a0,o-0oD-E-5-5+-29 BZ=0L+0B=2-5+5, 2 设OE与AB交于点M, :∠MAL=30,∠ALM=90°， :.IM=AM, 2 .AL+LM2=AM2, ÷AL=Vaw-n-5AM-V5+ 2 2 AM-243 ,M=1+ 6 M=BZ-ZM=25+5-1+3-52 2 ”6 3 :∠EM=∠AML=90°-30°=60°，∠EFM=90°， ∴∠MEF=90°-60°=30°， .FM=LEM-5 2 23 :.BF=AB-AM-FM=4- 故答案为：V5-12-5 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，含 30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关 键. 16. 9625 2893 【分析】本题考查了用字母表示四位数的自然数，整式的化简.关键是整式的化简. 双11数”为ab2a且能被5整除，根据定义可求这个数.表示出 M=990a+9%+121.f(M)=90a+9b+11,a的最小值为2，f(M)+3能被7整除，求出b的最 第8页共26页 小值即可. 【详解】解：a+c=b+d=11, c=2, .a=9, M能被5整除， .d=0或5， .b+d=11, .d≠0，d=5, .b=6. .M=9625. 设M=1000a+100b+1011-a)+11-b) ∴.M=990a+99b+121 =11(90a+9b+11). f(M)=90a+9b+11, 有题意可知，a的最小值是2，当a取最小值2时，f(M)=191+9b, f(M)+3=191+9b+3=194+9b, f0+3194+9b-94+2)+96-228b-2. > 7 > 7 当9b-2=7,即b=1时，d=11-b=10,不合题意，舍去. 当6-2=14，即b=16不合题意，舍去 9 当9b-2=21,即b=名不合题意，舍去 9 10 当9b-2=28,即b=不合题意，舍去 3 当9b-2=35,即b= 3门不合题意，舍去 当9b-2=42,即b= 4不合题意，舍去， 17 当b-2=49,即b=不合题意，合去 当地-？=56，即0=9不合题面，合去： 当功-2=6，即6号不合题直合去， 当9b-2=70,即b=8时，d=11-b=3,f(M)+3能被7整除. 第9页共26页 ∴a=2,b=8,c=9,d=3,符合题意， M的最小值为2893. 故答案为：9625,2893. 17.(1)x=-3,x2=5 (2)x1=-8,x2=-4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： (1)先移项和合并同类项，然后把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可： (2)先移项，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可. 【详解】（1)解：，x2-2x+5=20, .x2-2x-15=0, .(x+3)(x-5)=0, .x+3=0或x-5=0, 解得x1=-3,x2=5: (2)解：2(x+4)2=x(x+4), .2(x+4)-x(x+4)=0, ∴.「2(x+4)-x(x+4)=0, .2x+8-x=0或x+4=0, 解得x1=-8,x2=-4. 18.(1)见解析 (2)OA⊥AP,垂直的定义，∠AOP=∠BOP,SAS,⊙O的半径 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，切线的判定和性质，全等三角形的判定 和性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键 (1)以4，B为圆心，大于4B为半径作弧交于一点，过这一点和点0作直线交直线AB、 直线1于点C、P两点： (2)根据切线的性质得到∠OAP=90°，然后证明AOAP2aOBP,即可得到 ∠OAP=∠OBP=90°，然后根据切线的判定得到结论. 【详解】(1)解：如图： 第10页共26页 《模拟三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D C A C B C 1．C 【分析】本题考查中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3．B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴a的值可以是2． 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内；当时，图象位于第二、四象限内是解题的关键． 4．A 【分析】根据随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即可解答． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷一次骰子，骰子向上一面的点数为6的事件是随机事件， 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，由是直径求出是解题的关键．由是直径可得，由可知，再根据同弧所对的圆周角相等可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【详解】解：由图可知：长方体的长为15，宽为， 由题意得：； 故选C． 7．A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 9．B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 10．C 【分析】可求，①即可求解；由可求，②即可求解；设，可得，从而可得，③即可求解． 【详解】解：，， ， ，即， ， ①正确； 即， 或都无实解， 无实数根， ②错； 设， 整理得： ， ， ， ， 当，取得最小值， 即：式子取得最小值． ③正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，判断一元二次方程根的个数，二次函数的最值，掌握判断方法及最值求法是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴且，    ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之积为奇数的概率． 【详解】解：树状图如下，    由上可得，一共有16种可能性，其中数字之积为奇数的可能性有4种， 故数字之积为奇数的概率为， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长． 【详解】解：由题意得、两点纵坐标为8， 把代入得：， 解得， ∴ ∴米． 故答案为：． 15． 【分析】过点B作于点K，连接，延长交于点L，由垂径定理和勾股定理可求出的长，进而可得的长；可证明是等边三角形，则可得到的长，求出的长，进而可得的长；由垂径定理可得，则可利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，导角得到，则可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点B作于点K，连接，延长交于点L， 半径，垂足为点H， ， 在中，， ， ； ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即点E是的中点， 直线，且， 在中，， ， 设与交于点M， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了用字母表示四位数的自然数，整式的化简．关键是整式的化简． 双11数”为且能被5整除，根据定义可求这个数．表示出．，的最小值为2，能被7整除，求出的最小值即可． 【详解】解：， ， ， 能被5整除， 或5， ， ，， ． ． 设 ． ， 有题意可知，的最小值是2，当取最小值2时，， ， ． 当，即时，，不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即时，，能被7整除． ，，，，符合题意， 的最小值为． 故答案为：，． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项和合并同类项，然后把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18．(1)见解析 (2)，垂直的定义，，，的半径 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键． （1）以A，B为圆心，大于为半径作弧交于一点，过这一点和点O作直线交直线、直线l于点C、P两点； （2）根据切线的性质得到，然后证明，即可得到，然后根据切线的判定得到结论． 【详解】（1）解：如图； （2）证明：∵直线l是的切线，A为切点，为的半径, ∴， ∴（垂直的定义）, ∵，， ∴， 在和中，有，，， ∴（）， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． 故答案为：，垂直的定义，，，的半径． 19．(1)15，，98 (2)款，理由见解析 (3)69人 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；． （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案． 【详解】（1）A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”“比较满意”共有（人）， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88，89， 中位数为，故， B款数据中，98出现4次，次数最多， B款众数为98，故， 故答案为：15，，98； （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）， 答：估计此次测验中，对聊天机器人不满意的人有69人． 20．， 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的运算，利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂的法则求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21．(1) 二、三这两个月的销售量月平均增长率为； (2) 该商品售价定为元时，商场当月获利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 22．(1)， (2)图象见详解；当时，函数有最大值为6 (3) 【分析】（1）求出，， 当时，即可求出，当时，，即可得到；证明，得到，从而求出； （2）根据函数解析式，列表，描点，连线即可求解，根据函数图象即可得到的一条性质当时，函数有最大值为6； （3）求出与交点横坐标约为，结合图象可得当时，﹒ 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，， ∴， ∴， 如图1，当时，， ∴， 即， 如图2，当时，， ， 即﹒ 综上所述：； ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：平面直角坐标系中，函数，的图象如图： 函数的性质，当时，函数有最大值为6； （3）解：由函数图象得与交点横坐标约为， ∴当时，﹒ 【点睛】本题为函数与几何综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性强，难度较大﹒ 23．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，取交于点，不妨设，根据题意，可知，先求得，那么，接着利用等腰三角形的性质，得到，，然后利用外角求得，那么，然后在中应用勾股定理求得答案； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明，那么， ，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）解： 过点作于点，取交于点，不妨设，如图所示： 根据题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴； 答：小福家B与学校D的距离为千米． （2）解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处， ∴不妨设，那么， ∴，， ∵的距离比的距离还少2千米， ∴， 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴． 答：博物馆C与小福家B的距离为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24．(1) (2)，， (3)，过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，作，且，作，且，连接，推出，进而得到点在射线上，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由题意，平移后的抛物线的解析式为：， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 作轴，作，且，作，且，连接， 则：轴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴点在射线上， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 作过点作平行于，交轴于点，则， 由图可知，射线与新抛物线没有交点，故在轴下方不存在点使； 故 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，二次函数求最值，二次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，利用线段垂直平分线的性质推出，即可得，，则，结合，可求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）延长至点M使，连接、，得出是的中位线，即，延长至点N使，连接，通过导角得出，则为等边三角形，易得是等边三角形，则可证明，； （3）由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，，为定值，所以只需最小时，取得最小值，由垂线段最短知垂直于时最小，延长和交于点T，证明，再求．则，利用即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰三角形中，， ∴， ∴， ∵点E是中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至点M，使，连接、， ∵点G为的中点， ∴， ∴是的中位线，即， 延长至点N，使，连接， ∵平分， ∴， ∵点E是中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，， ∵点E是中垂线上的一点， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为定值， 所以只需最小时，取得最小值， 由垂线段最短知垂直于时最小， 延长和交于点T， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，中位线的性质，二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质，并能准确作出辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年教育质量全面监测(中学)九年级(上) 数学试题（模拟三） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（    ） A． B．2 C．0 D． 4．“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（    ） A．随机事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．必然事件 5．如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（　　） A． B． C． D． 6．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 8．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） 第9题图 第8题图 A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 10．已知两个多项式，，其中为任意实数．有下列结论： ①若，则一定为正数； ②若，则满足条件的的值有4个； ③若，则当时，式子取得最小值． 其中正确的结论个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 ． 13．现有四张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为 ． 14．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 第14题图 第15题图 15．如图，是的内接三角形，半径，垂足为点H，点E是圆上一点且，过点E作于点若，则的长度为 ，的长度为 ． 16．一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是 ；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是 三、解答题：（本大题共9小题，17——18题8分，19－25题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知：如图，直线l是的切线，A为切点，为的半径，B为上一点． (1)实践与操作：用尺规作图过点O作直线的垂线，分别交直线、直线l于点C、P，并连结、；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：是的切线． 证明：∵直线l是的切线，A为切点，为的半径, ∴① ， ∴（其依据是② ）, ∵，， ∴③ ， 在和中，有，，， ∴（其依据是④ ）， ∴， 又∵为⑤ ， ∴是的切线． 19．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20． 先化简，再求值：，其中 21．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 22．如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； (2)小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求出点P的坐标及线段的最大值，并求出的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物线交线段于点N，点M是新抛物线上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 25．在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、． (1)如图1，当点E在边上时，若，求的长度； (2)如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：； (3)如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值． 九年级数学试题第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $