第13章三角形--13.3三角形的内角与外角寒假作业2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版2026年寒假作业八年级数学第13章三角形 13.3三角形的内角与外角 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 2．一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 3．如图，在中，，则的外角度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 5．三角形的三个内角之比为，则这个三角形最大内角的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 8．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 第9题图 第10题图 第11题图 10．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 11．如图，是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力F的方向，支持力N的方向，重力G的方向．若，则的度数是 ． 12．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面，将镜面绕点B逆时针转动（），在光源P处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度 三、解答题 13．如图，是的角平分线，是的高线，且． (1)是直角三角形吗？为什么； (2)若，求的度数． 14．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 15．如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2026年寒假作业八年级数学第13章三角形 13.3三角形的内角与外角答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和恒为是解题的关键． 直接利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． 故选C． 2．一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了三角形内角和定理，互余的定义，利用三角形内角和定理，结合两个锐角互余的条件，求出第三个角的度数，进而即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵两个锐角互余，即它们的和为， 又∵三角形内角和为， ∴第三个角的度数为， ∴该三角形是直角三角形， 故选：． 3．如图，在中，，则的外角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即为三角形的外角性质，据此即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外角度数为， 故选：B． 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先理解题意，得出，结合两直线平行，同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， 依题意，， ∴， 故选：A 5．三角形的三个内角之比为，则这个三角形最大内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理，设三个内角为、、，通过求和方程解出的值，再计算最大角即可． 【详解】解：设三个角分别为、、， 则， 即， 解得， 因此最大角为， 故选：A． 6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 7．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的综合运用，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线定义推导角度． 先根据角平分线定义表示出、，再由的内角和求出，进而得到外角和的一半，最后结合三角形外角和求出． 【详解】解：平分，平分， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， 解得． 故选：B． 8．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，三角形的内角和定理，理解方向角的定义，掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．根据方向角的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 9．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 10．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线性质，三角尺角度，角度计算等．根据题意可知，再利用平行线性质可得，继而求得本题答案． 【详解】解：∵一副直角三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力F的方向，支持力N的方向，重力G的方向．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余可得 ，由平行线的性质可得，再由垂线的定义和周角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于E， ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面，将镜面绕点B逆时针转动（），在光源P处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度 【答案】46或106或136 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键． 根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线的交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角求解即可． 【详解】解：①如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，或或； 故答案为：46或106或136． 三、解答题 13．如图，是的角平分线，是的高线，且． (1)是直角三角形吗？为什么； (2)若，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线和高线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由高线得到，推出，然后等量代换得到，即可证明是直角三角形； （2）首先由角平分线得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵是的高线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴． 14．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积为28 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $