第13章 三角形 章节小测 2025--2026学年人教版八年级数学上册寒假作业

人教版2026年寒假作业+预习八年级数学第13章三角形 第13章章节小测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以下长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 5．已知等腰三角形一个内角是，则这个等腰三角形的顶角是（    ） A．或 B． C． D．或 6．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 7．随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，一束光线从点C发出，经过平面镜反射后，其反射光线与平行，且与相等．若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，，、分别平分的内角、外角、外角以下结论：①；②；③ ；④；其中正确的结论有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．为纪念抗战胜利八十周年，某校举办红歌合唱比赛，合唱台的底部支架设计成三角形（如图），其中应用的几何原理是 ． 第11题图 第13题图 第14题图 12．已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 13．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为 ． 14．如图，中，P为边上一点，且，则 ． 三、解答题 15．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 16．如图，已知，按下列要求画图： (1)画出的平分线，并指出相等的角； (2)画出BC边上的中线，并指出相等的线段； (3)画出BC边上的高，并指出图中所有的直角三角形． 17．如图，在中，，是它的高线，E为边上一点，连接． (1)若是的角平分线，，求的度数； (2)若是的中线，，，求的面积． 18．如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 19．【阅读】如图1，是的一个外角，我们知道：，又因为，所以．于是我们得到一个结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 提问：若，，则 ； 【理解】 如图2，在五角星形中，是的一个外角，是的一个外角，求：的度数； 【应用】 如图3，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线与点D．试问：随着点A、B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． 20．如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边、与分别交于点D，E，． (1)若，则的度数为_____； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转一周，当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2026年寒假作业+预习八年级数学第13章三角形 第13章章节小测答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以下长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题关键．根据三角形三边关系，逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】A．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C．，符合三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； D．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 2．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 3．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形中的高线，根据三角形的高的定义，依次对选项中的图形进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意； 选项B：线段是的高，选项不符合题意； 选项C：线段是的高，选项不符合题意； 选项D：线段是的高，选项符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 5．已知等腰三角形一个内角是，则这个等腰三角形的顶角是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】根据等腰三角形的性质，已知内角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论的思想是解题关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形内角和为，两个底角相等， 若为顶角，则底角为，顶角为 若为底角，则另一个底角为，顶角为． ∴ 顶角为或． 故选：Ａ． 6．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 7．随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角度，三角形内角和定理．根据，得出，根据三角形内角和定理，得出，再利用，可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵． ∴， 故选：C． 8．如图，一束光线从点C发出，经过平面镜反射后，其反射光线与平行，且与相等．若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．由平行线的性质可得，再由外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 10．如图，，、分别平分的内角、外角、外角以下结论：①；②；③ ；④；其中正确的结论有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确的有4个， 故选：C． 二、填空题 11．为纪念抗战胜利八十周年，某校举办红歌合唱比赛，合唱台的底部支架设计成三角形（如图），其中应用的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比，具有不容易扭转或变形的特点．根据三角形的稳定性即可得出答案． 【详解】解：支架设计成三角形的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12．已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【答案】5 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 13．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质，掌握好三角形的中线平分面积是解题关键． 根据三角形的中线平分面积的性质，，，，计算出答案即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 同理可得，，． 故答案为：8． 14．如图，中，P为边上一点，且，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】过C作的垂线，垂足为点D．连接，根据三角形内角和定理求出，求证；再根据三角形外角性质求证，再利用是等腰三角形，然后可得，得到，从而求出的度数． 【详解】解：过C作的垂线，垂足为点D．连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形等知识点，添加适当的辅助线构造特殊三角形是解决此题的关键． 三、解答题 15．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 16．如图，已知，按下列要求画图： (1)画出的平分线，并指出相等的角； (2)画出BC边上的中线，并指出相等的线段； (3)画出BC边上的高，并指出图中所有的直角三角形． 【答案】(1)， (2)， (3)，图中的直角三角形有，和 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、画三角形的高 【详解】（1）BD是的平分线．． （2）AE是BC边上的中线．． （3）AF是BC边上的高．∵，∴，∴图中的直角三角形有，和． 17．如图，在中，，是它的高线，E为边上一点，连接． (1)若是的角平分线，，求的度数； (2)若是的中线，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的中线与高，掌握这些知识是解题的关键； （1）由角平分线可得的度数，由是的高，即可求得； （2）利用三角形面积公式求得，再利用三角形中线求解即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中线， ∴． 18．如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数为 (2)的长为6 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质.熟练掌握等腰三角形的性质，三角形中线的性质是解题的关键． （1）已知，是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，即可计算出的度数； （2）由中线的性质可得，通过周长差转化为与的长度差来计算即可． 【详解】（1）解： ，， 是等腰三角形， ； （2）解： 为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 19．【阅读】如图1，是的一个外角，我们知道：，又因为，所以．于是我们得到一个结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 提问：若，，则 ； 【理解】 如图2，在五角星形中，是的一个外角，是的一个外角，求：的度数； 【应用】 如图3，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线与点D．试问：随着点A、B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． 【答案】[阅读]；[理解]；[应用]的度数不会发生改变，为 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． [阅读]利用三角形外角的性质求解； [理解]通过两次运用三角形外角的性质，分别得出，，再利用三角形内角和定理求解即可； [应用]先利用三角形外角的性质得出，再利用角平分线的意义结合求解． 【详解】[阅读] 解：∵，， ∴， 故答案为：； [理解] ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 在中，， ∴； [应用] 的度数不会发生改变，为，理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， 在中，． 20．如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边、与分别交于点D，E，． (1)若，则的度数为_____； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转一周，当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，，， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角． （1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解； （2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解； （3）分四种情况求解即可：①过点C作，则，有，求得，利用即可；②过点A作，与交于点，同理有，利用即可；③根据几何关系即可求解；④根据几何关系即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）解：如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）解：①如图3，过点C作， ， ， ， ，， ， 则； ②如图，过点A作，直线与交于点， ∵与交于， ∴， ， ， ， ， ， ③如图： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图： ， ∵， ∴， ∴； 综上所述，可能的度数有，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $