精品解析：河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期第四次质量检测数学试题

河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期第四次质量检测数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 3. 函数单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知且，函数在同一坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是其定义域上的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 解集为 D. ，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 终边落在四个象限角平分线上的角的集合是 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边关于轴对称的两个角的正弦值相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点 ，则__________． 13. 已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________. 14. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求和； （2）若，且，求实数a的取值范围． 16. 化简求值： （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）设，计算的值． 17. 已知函数. （1）若对任意实数，都有，求的值； （2）若在上单调递增，求取值范围； （3）当时，求的最小值. 18. 设函数，且. （1）求的值； （2）若令，求实数的取值范围； （3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的的值. 19. 函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 20. 已知幂函数在上单调递减，函数. （1）求的解析式. （2）已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期第四次质量检测数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】， ，则． 故选：B． 2. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以角的终边相同的最小正角是， 故选：A 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理得解. 【详解】解：由题得，解得. 因为在定义域内单调递减，所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增. 函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：D 4. 已知，则实数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】由函数单调递增， 则， 由单调递增， 则， 由单调递减， 则，即， 所以. 故选：B. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的代换即可解出． 【详解】， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故选：B． 6. 已知且，函数在同一坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：对每一个选项逐一判断分析，看三个函数的a的范围是否一致，如果一致的就是正确答案. 详解：在选项B中，先看直线的图像，得，所以过点（1,0）且单调递减. 因为.所以指数函数过点（0,1）且单调递增.故答案为B. 点睛：（1）本题主要考查一次函数、指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)根据多个函数的解析式找图像，一般是逐一研究每一个选项，看相同字母的取值范围是否一致，一致的就是正确答案. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，即有，可求得u的范围，进而求外层函数值域 【详解】 令，有，可知： ∴ 故选：D 【点睛】本题考查函数的值域的求解，利用在复合函数中，内层函数的值域为外层函数的定义域求外层函数的值域是解题关键，属于基础题 8. 若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，由题意可得，解之即可得解. 【详解】令， 因为二次方程在上有两个不相等的实根， 所以函数在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是其定义域上的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义即可判断. 【详解】对于A，中，，即定义域为关于原点对称，又，则是奇函数，故A正确； 对于B，中，定义域关于原点对称，，则是奇函数，故B正确； 对于C，中，定义域关于原点对称，，则是偶函数，故C错误； 对于D，中，定义域关于原点对称，，则是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再计算，化简整理后和比较，若，则函数是偶函数；若，则函数是奇函数. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A B. 若，则 C. 的解集为 D. ，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断. 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 终边落在四个象限角平分线上的角的集合是 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边关于轴对称的两个角的正弦值相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断角2，3终边所在的象限及的正负，即可判断A；分别写出终边落在直线和上的角的集合及，即可得到终边落在四个象限角平分线上的角的集合，即可判断B；根据扇形面积公式求出半径，再利用扇形的弧长求出弧长，即可判断C；根据正弦函数的定义，分别求出终边关于轴对称的两个角的正弦值，即可判断D. 【详解】对于A，因为，可知2，3都是钝角，终边落在第二象限， 所以，所以，故A错误； 对于B，终边落在射线上的角的集合是， 终边落在射线上的角的集合是 ， 所以终边落在直线上的角的集合是， 同理可得，终边落在直线上的角的集合是， 所以终边落在四个象限角平分线上的角的集合是，故B正确； 对于C，设扇形的半径为，将代入扇形面积公式， 可得，解得，即， 所以扇形的弧长为，故C正确； 对于D，设角的终边与单位圆交于点， 则其关于轴对称的角的终边与单位圆交于点. 由正弦函数的定义可知，， 所以终边关于轴对称的两个角的正弦值相等，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点 ，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再求的值. 【详解】因为角的终边经过点，则 所以； 所以； 故答案为： 13. 已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________. 【答案】5 【解析】 【详解】∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5. 14. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求和； （2）若，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，又或， 故或， 或或； 【小问2详解】 ，故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 16. 化简求值： （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）设，计算的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）-1 【解析】 【分析】（1）根据指数运算、对数运算、特殊角三角函数值进行计算即可. （2）根据同角三角函数的关系式计算即可. （3）根据的关系式代入原式化简即可计算出结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以为第二象限角或第三象限角， 当第二象限角时，，. 当为第三象限角时，，. 【小问3详解】 因，所以，即. 所以 . 17. 已知函数. （1）若对任意实数，都有，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称性列式求解即可； （2）利用二次函数的单调性列不等式求解即可； （3）按照和分类讨论，利用二次函数的单调性求解最小值即可. 【小问1详解】 因为，所以的图象关于直线对称. 因为的图象的对称轴为直线，所以，解得. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以， 则，故的取值范围是. 【小问3详解】 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， . 故. 18. 设函数，且. （1）求的值； （2）若令，求实数的取值范围； （3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的的值. 【答案】（1）6 （2） （3）；，此时；，此时. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入计算可得； （2）因为，利用对数函数的单调性求出实数的取值范围； （3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取得最大值、最小值，再得出对应的的值. 【小问1详解】 由可得； 【小问2详解】 因为在定义域内为单调递增函数， 又，所以，解得； 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由 ； 令， 当时，，此时，解得； 所以，此时； 当时，，此时，解得； 所以，此时. 19. 函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，利用函数奇偶性的定义验证即可； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （3）由（2）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解. 【小问1详解】 由题意，得，结合且不等于1，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，合题意，故. 【小问2详解】 函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为上的增函数. 【小问3详解】 由（2）得在上单调递增， ， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以， 即，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 20. 已知幂函数在上单调递减，函数. （1）求解析式. （2）已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）①减区间为，增区间为；② 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于的等式与不等式，可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）①写出函数的解析式，利用对勾函数的单调性可写出函数的增区间和减区间； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【小问1详解】 因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 当时，， 由题中结论可知，函数在上的减区间为，增区间为； ②当时，函数、在上均为减函数，此时函数在上为减函数， 则，解得，舍去； 当时，函数在上为减函数，此时，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，舍去， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得，舍去. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $