精品解析：海南海口农垦中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷

海南省海口农垦中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据补集的定义求出. 【详解】已知集合，解不等式， 得到，即， 所以集合， 则. 故选：A. 2. 若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：D. 3. 运动员小李在连续10场比赛的得分数据为：9，12，17，10，17，20，17，12，18，14，则比赛得分的第85百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义分析即可. 【详解】将运动员小李在连续10场比赛的得分数据从小到大排列为：， 又，所以比赛得分的第85百分位数为. 故选：D 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行判定定理、线面平行的性质定理及线线、线面、面面关系逐一分析即可. 【详解】对于A：根据面面平行判定定理，直线应为相交直线，故A错误； 对于B：直线可能在平面α内，故B错误； 对于C：若，，， 则与β垂直、平行，相交不垂直或，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确． 故选：D． 5. 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 6. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上， ，，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 ，， 所以，故为等边三角形，为正三棱锥， 取的中点O，连接，则， 又面，所以面， 又面，所以， 又，分别为、中点， ，， 又，平面，平面， 又面，所以， ，， 在中由勾股定理得， 为正方体一部分，，即， ， 故选：D． 【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 7. 设数列的前项和为，且，（），则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的通项与前项和的关系,将转换为的递推公式,继而构造数列求出,再得到关于的表达式,进而根据函数的性质可得的增减性求解即可. 【详解】由题,当时, ,整理得,即数列是以1为首 项,2为公差的等差数列.所以,故. 所以,令函数,则. 故数列是一个递增数列,当时,有最小值. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前项和的关系，构造函数求解递推公式与通项公式,并根据函数性质解决数列的最值问题.属于中档题. 8. 已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式变形为，画出图像，找到两函数交点位置，求出结果即可. 【详解】，最小正周期为， 作出的图像， 可知当时，有三个根， 所以， 即或， 解得根分别为， 又因为， 所以， 故选：B. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（ ） A. 点D的纵坐标为 B. C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间、对称中心即可求解. 【详解】最小正周期，，即，故选项A错误； 因为，即，因为，所以，故选项B正确； 由， 令， 解得当时，单调递增， 令，得到，故选项C错误； 令，解得， 取， 即为对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 11. 单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）. A. 若，则的最大值为3 B. 若，当取最大值时， C. 当，n为偶数时， D. 若 ，，则n的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由二项分布的方差公式直接验算即可判断；对于B，由题意列出不等式组即可验算；对于C，由二项分布概率的可加性即可验算；对于D，由题意得，将它转换为关于的不等式即可求解. 【详解】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即，可知. 对于 A，， 当且仅当时，取得最大值3，故A正确. 对于 B，，当取最大值时，， 即，解得，即或9，故B错误. 对于 C，，故C正确. 对于 D，，因为，所以， 所以，化简得， 令， 因为，所以单调递减， 又，，所以n的最小值为5，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，以为基底表示，根据得出值即可求出. 【详解】设， 因为E为线段CD的中点，所以， 则，， 因为AF⊥BE，所以 ， 得或（舍）， 则， 故. 13. 小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【解析】 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 14. 已知函数的两个极值点为，记，．点在的图象上，满足均垂直于轴，设点的横坐标为． （1）______； （2）若四边形为菱形，则______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】因为函数有两个极值点，所以先对求导，利用导数与极值点的关系，得到是导数为0的方程的两根，再结合韦达定理得到的值,因为垂直于y轴，所以A和B、C和D的纵坐标相等，由此建立关于m、n的方程，继而推导出与的关系，即可求得第一空答案；若四边形为菱形，则，建立关于a的方程求解，可求得第二空答案. 【详解】由，得， 由题意可知为的两实数根，则判别式，即， 则，且， 均垂直于轴，则，即， 整理得，而，故， 结合，得，解得或（此时重合，舍）， 同理可得，故； 由上面分析可知， 此时的中点为，即， 的中点为，即， 即，的中点重合，四边形为平行四边形； 若四边形为菱形，则垂直，则； ， 由于，则， 则， ， 由，得，结合，解得. 四、解答题 15. 在锐角 中，角 所对边分别为 且满足 . （1）求 ； （2）若的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角变换可得，从而可求； （2）根据面积关系可得，结合基本不等式可求 的最小值. 【小问1详解】 因为， 故， 整理得，而为锐角三角形， 故，故，故. 【小问2详解】 因为， 所以， 而，故， 故，即， 故，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用的导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出其极大值，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 当时，，则，，故． 曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，，则在单调递减，无极值； ②当时，由可得，由可得. 函数的增区间为，减区间为 所以取极大值， 所以， 设，则，则在单调递增， 又，由可得， 故实数的取值范围是. 17. 某市举办了党史知识竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响． （1）若该单位获得决赛资格的小组个数为，求的分布列与数学期望； （2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为1 （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式结合题意算出概率，列出分布列，求出期望； （2）由条件概率和全概率公式结合题意计算可得. 【小问1详解】 设甲，乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，的取值可能为0，1，2， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 所以； 【小问2详解】 设表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，表示事件“甲小组抢到最后一道题”，表示事件“乙小组抢到最后一道题”， 则， 根据全概率公式，可得， 从而， 从而该题如果被答对，恰好是甲小组答对的概率为． 18. 如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求长； （3）设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）相交，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证平面，即可得证线线垂直； （2）由所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量法求线面角求得参数值； （3）用反证法证明判断与平面相交． 【小问1详解】 ，平面， 平面， 平面 【小问2详解】 是等腰直角三角形且，则到的距离为2， ，所以，可由所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图），设，结合图（1）得 ， 设面的法向量， 令， 直线与平面所成角为， ， 解得：，或（舍），所以，的长为； 【小问3详解】 相交 反证法，因为点平面，且点交线，所以交线平面. 假设平面，且平面，平面平面，故.同理，因此，由图1知，与BC相交，矛盾. 因此与平面相交. 19. 已知椭圆C：的左右焦点和上顶点构成边长为2的等边三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）关于圆的切线有这样的结论：“圆上点处的切线方程为”，类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆上点处的切线方程为”.已知点M在直线上，过M作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线过定点； （3）对（2）中的A，B，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出此定值及点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质，得到，，求出即可； （2）因点在两条切线上，把坐标代入切线方程，得到含、坐标的式子，发现、都在某条直线上，确定直线AB方程.将方程变形，找出直线经过的固定点. （3）设直线AB方程，与椭圆方程联立，得到一些坐标和、积的值.设点坐标，算出的表达式.要让它是固定值，使表达式中含特定变量的系数成比例，解出点坐标和定值. 【小问1详解】 （1）由已知，，，所以，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，， 则切线的方程为 切线的方程为 ∵， ∴，即A，B都在直线上. ∴直线的方程为，即所以直线过定点 【小问3详解】 由（2）知直线的斜率不为0，设的方程为 联立，得 ∴，， ， 设，则 要使为定值，则需， 解得，此时， 所以存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口农垦中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. 运动员小李在连续10场比赛的得分数据为：9，12，17，10，17，20，17，12，18，14，则比赛得分的第85百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 17 D. 18 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上， ，，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ） A. 8 B. C. D. 7. 设数列的前项和为，且，（），则的最小值为 A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（ ） A. 点D的纵坐标为 B. C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 11. 单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）. A. 若，则的最大值为3 B. 若，当取最大值时， C. 当，n为偶数时， D. 若 ，，则n的最小值为6 三、填空题 12. 已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 13. 小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 14. 已知函数的两个极值点为，记，．点在的图象上，满足均垂直于轴，设点的横坐标为． （1）______； （2）若四边形为菱形，则______． 四、解答题 15. 在锐角 中，角 所对边分别为 且满足 . （1）求 ； （2）若的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 17. 某市举办了党史知识竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响． （1）若该单位获得决赛资格的小组个数为，求的分布列与数学期望； （2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率． 18. 如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求长； （3）设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由. 19. 已知椭圆C：的左右焦点和上顶点构成边长为2的等边三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）关于圆的切线有这样的结论：“圆上点处的切线方程为”，类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆上点处的切线方程为”.已知点M在直线上，过M作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线过定点； （3）对（2）中的A，B，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出此定值及点N的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $