精品解析：四川省巴中市2026届高三一诊模拟考试数学试题

巴中市普通高中2023级“一诊”模拟考试 数学试题 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置. 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0．5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3.考试结束后，考生将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（其中i为虚数单位），则（ ）． A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的模的公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 2. 已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）． A. 7 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 3. 下列命题中为真命题的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对四个选项进行一一分析，即可求得答案. 【详解】对于A：,都有，所以，故不存在使得成立，所以是假命题，故A错误. 对于B：当时，，所以是假命题，故B错误. 对于C：，为非负整数，且自然数集包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C正确. 对于D：，，故不存在，所以是假命题，故D错误. 故选：C 4. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 5. 水稻是世界最重要的农作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 880 860 950 830 990 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ）． A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项. 详解】由表中数据可得， ， 所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，A说法错误； 甲种水稻产量的中位数为，乙种水稻产量的中位数为， 所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，B说法错误； 甲种水稻产量的极差为，乙种水稻产量的极差为， 所以甲种水稻产量的极差比乙种水稻产量的极差小，C说法错误， 甲种水稻产量的方差为 ， 乙种水稻产量的方差为 ， 甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，甲种水稻产量的方差小于乙种水稻的产量的方差， 所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，D说法正确； 故选：D 6. 在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作，，作点在平面投影为，连接，，设，由直线与平面所成角的定义可得为与平面所成角,由线面垂直的性质定理可得，进而可得，，并求得，，即可得答案. 【详解】如图，过作，，作点在平面的投影为，连接，， 设， 因， 则，． 因为平面，，平面， 所以，，且为与平面所成角． 又，，， ，平面，，平面， 所以平面，平面． 又平面，平面， 则，． 又，，， 则， 故， 结合，得． 又， 则, 故与平面所成角的正弦值等于． 故选：A． 7. 设函数，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，根据函数为偶函数可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为，且， 即函数为偶函数，所以，可得， 又因为，故， 故选：B. 8. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造新函数判断其单调性，再利用奇函数性质及单调性比较函数值大小. 【详解】设，因为， 所以在上是增函数， 又因为函数是奇函数，，所以，， 所以，当时，，所以； 当时，，， 又因为，所以在上是增函数， 所以， 因为，所以， 所以. 故选A． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）． A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的零点 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】AB 【解析】 【分析】对于和的最小正周期、最大值、零点和对称轴进行分析即可. 【详解】对于：因为，可得最小正周期，， 令，得零点为：， 令，解得，故对称轴为； 对于：因为，可得最小正周期,， 令，得零点为：, 令，解得，故对称轴为； 综上可得，和的最小正周期和最大值相同. 故选：AB 10. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）． A. 该三棱台的体积为 B. 该三棱台的表面积为 C. 若点在棱上，则的最小值为 D. 该三棱台内半径最大球的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】取上、下底面的中心，，连接，，，再结合几何可得高，再利用台体体积公式即可对A求解判断；利用几何知识求出每个侧面的面积，即可对B判断求解；把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，从而可得的最小值为，即可C求解判断；体积为的球的半径为，该球的直径即可对D判断求解. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，则，，高． 三棱台的体积，所以A正确； 对B，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为， 在中，， 所以等腰梯形的面积为， 上下底面面积分别为：，， 所以，所以B正确； 对C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 由B知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，的最小值为，所以C正确； 对D，设体积为的球的半径为，则，解得，该球的直径，则此球不可能在正三棱台内，所以D错误． 故选:ABC． 11. 中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（ ）． A. 双纽线方程： B. C. 双纽线上满足的点有两个 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双纽线的定义，结合两点间距离公式写出等式，判断选项A；利用三角形面积公式，结合双纽线定义判断选项B；先转化几何条件，结合双纽线方程求出点坐标，判断选项C；利用两点间距离公式，结合双纽线方程计算判断选项D． 【详解】选项A：设动点，由双纽线定义可知， 动点到定点，距离之积等于， 双纽线轨迹方程为， 化简得，故A正确； 选项B：点在双纽线上， ， 又，， 即，，故B正确； 选项C：若，则在的中垂线即轴上，即， 代入，可得，解得，即， 满足条件的点仅有一个点，故C错误； 选项D：，， 双纽线方程为，代入， 得，， ，， ，，解得，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为等差数列的前项和，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列公差，由题意求得，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因，， 所以，解得， 则. 故答案为：. 13. 若圆关于直线对称的圆的方程是，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆圆心的坐标，利用两圆圆心关于直线对称可得出关于实数的等式组，解之即可. 【详解】由于圆的圆心为， 圆的圆心为，且直线的斜率为， 由题意可知，点、关于直线对称， 所以，解得， 此时圆的方程为， 其标准方程为，圆心为，半径为，符合题意. 故答案为：. 14. 某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高二获胜的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】采用列举法列举出一局比赛中所有基本事件及高一取得胜利的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果；列举出一场比赛中高一获胜的基本事件个数，结合基本事件总数和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位， 第一局比赛中，有，，，，，，，，，共个基本事件， 其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共个， 第一局比赛高一获胜的概率为． 在一场三局比赛中，共有不同的种安排方法， 其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共种， 在一场比赛中高二获胜的概率为． 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解； （2）由（1）求出，再根据正弦定理可得出的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得解. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理得，， 化简得，因为，，且，不同时为钝角， 则， 所以，又，所以， 因此； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 由正弦定理得，， 令（），则，， 则， 解得， 故. 16. 已知在处取得极小值． （1）求在处的切线方程； （2）若，讨论零点的个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【小问1详解】 由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； 【小问2详解】 令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 17. 如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点． （1）请写出的一个值使得平面，并给予证明； （2）若二面角大小为，且，求点到平面的距离． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质可得时，，结合线面平行判定定理可得结论； （2）方法一：利用作，根据线面垂直判定可知平面，由可知所求距离，由长度关系可求得结果； 方法二：根据二面角平面角定义可作出平面角，由此可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 当时，平面，证明如下： ，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 方法一：过作于， 平面，平面，， 又，平面，平面， ，点到平面的距离， ，点到平面的距离 方法二：，，，； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 是二面角的平面角，即， 以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离. 18. 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． （1）计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）先派出乙． 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【小问1详解】 设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； 【小问3详解】 若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 19. 若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． （1）设为坐标原点，若，求的面积． （2）对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （3）设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）是定值， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线方程，再利用斜率转化条件求出坐标，最后进行面积计算； （2）利用斜率转化条件结合抛物线方程得出斜率表达式，进而得出坐标递推关系，进而得出； （3）先求出数列的通项公式，进而得出的通项公式，再通过裂项相消求和，最后进行不等式恒等分析求出实数的取值范围． 【小问1详解】 点在抛物线上，则，解得， 抛物线的方程为， ，是斜率相关的，点，， 的方程为， 由，解得或， 设，， 又在上，，解得，则， ， 点到的距离为， 面积为． 【小问2详解】 根据斜率相关的定义可知，的斜率为， 把，代入得， ，则， ①， 同理可得，，即②， ③， ， 对任意的正整数是定值． 【小问3详解】 由（2）中①②消去得，， 是以为首项，为公差的等差数列， ， 由（2）知， ， ， ， 对单调递增，且对任意的正整数，都有， ， 又， 原式化简为，解得， 实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市普通高中2023级“一诊”模拟考试 数学试题 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置. 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0．5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3.考试结束后，考生将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（其中i为虚数单位），则（ ）． A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 2. 已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）． A. 7 B. 1 C. D. 3. 下列命题中为真命题是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知中心在原点椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 水稻是世界最重要的农作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 880 860 950 830 990 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ）． A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 6. 在四面体中，，则直线与平面所成角正弦值等于（ ）． A. B. C. D. 7. 设函数，且，则（ ）． A. B. C. D. 8. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）． A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的零点 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）． A. 该三棱台的体积为 B. 该三棱台的表面积为 C. 若点在棱上，则的最小值为 D. 该三棱台内半径最大球的体积为 11. 中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（ ）． A. 双纽线方程： B. C. 双纽线上满足的点有两个 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为等差数列的前项和，若，，则______． 13. 若圆关于直线对称的圆的方程是，则的值等于______． 14. 某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高二获胜的概率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求的长． 16. 已知处取得极小值． （1）求在处的切线方程； （2）若，讨论零点的个数． 17. 如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点． （1）请写出的一个值使得平面，并给予证明； （2）若二面角大小为，且，求点到平面的距离． 18. 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． （1）计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 19. 若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． （1）设为坐标原点，若，求的面积． （2）对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （3）设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $