专题02等腰三角形寒假预习题型突破讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年新教材北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形寒假预习题型突破讲义 【12常考题型共计66题】 1.考查地位 等腰三角形是初中几何的核心知识点，是三角形全等、轴对称等内容的延伸与应用，也是中考几何板块的高频考点。在八年级下册期中、期末考中，该知识点常以中档题为主；在中考中，既会单独考查基础概念和性质，也会与四边形、圆、函数图像等结合，出现在综合大题中。 2.考查题型与分值占比 选择题:考查频率高，分值范围 3~4 分，考查重点是等腰三角形的性质、判定，角度计算，边长取值范围。 填空题:考查频率高，分值范围 3~4 分，考查重点是三线合一的应用，等边三角形的性质，折叠问题中的边长或角度计算。 解答题:考查频率中高，分值范围 6~12 分，考查重点是性质与判定的证明，与全等三角形、轴对称的综合应用，动点问题。 预习必备 知识点梳理 1..等腰三角形的概念 2.等腰三角形的性质 3.等腰三角形的判定 4.等边三角形 5.等腰三角形的相关计算与证明要点 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.等腰三角形“等边对等角”性质 2.等腰三角形“三线合一”性质 3.等边三角形的性质梳理 4.利用等角对等边证明等腰三角形 5.利用等角对等边证明边相等 6.利用等角对等边求边长 7.等腰三角形的性质与判定 8.格点图中画等腰三角形的方法 9.反证法证明中的假设 10.等边三角形的判定方法 11.等边三角形的判定与性质 12.含30角的直角三角形的性质 【知识点01.等腰三角形的基本概念】 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.相关元素 相等的两条边叫做腰； 第三条边叫做底边； 两腰的夹角叫做顶角； 腰和底边的夹角叫做底角； 等腰三角形中，底边是唯一的，顶角也是唯一的，两个底角位置对称。 【知识点02.等腰三角形的性质】 性质 1：等边对等角 内容：等腰三角形的两个底角相等。 拓展：该性质适用于所有等腰三角形，无论等腰三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 性质 2：三线合一 内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 注意：“三线合一” 的前提是针对等腰三角形的顶角和底边，对底角和腰不适用。 性质 3：对称性 内容：等腰三角形是轴对称图形。 对称轴：底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。 结论：对称轴两侧的部分能够完全重合，对应角、对应边相等。 【知识点03.等腰三角形的判定】 判定定理 1：等角对等边 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）。 拓展：该定理是证明两条线段相等的重要方法之一。 判定定理 2：定义判定 内容：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 适用场景：已知三角形的边长关系时，直接判定。 【知识点04.等边三角形】 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 2. 性质 等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60∘； 等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴（每条边上的高、中线或顶角平分线所在直线）； 3. 判定 定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形； 角度判定 1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 角度判定 2：有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形。 【知识点05.等腰三角形的相关计算与证明要点】 1. 角度计算 核心依据：三角形内角和为180∘ + 等腰三角形 “等边对等角”； 常见题型：已知顶角求底角（底角顶角）；已知底角求顶角（顶角底角）； 注意：等腰三角形的底角一定是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角。 2. 边长计算 核心依据：等腰三角形两腰相等 + 三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）； 常见题型：已知等腰三角形两边长，求周长（需先判断这两边能否构成三角形，再计算周长）。 3. 证明思路 证明边相等：优先考虑 “等角对等边”，或利用全等三角形、“三线合一” 性质； 证明角相等：优先考虑 “等边对等角”，或利用全等三角形、角平分线性质； 证明垂直或线段中点：利用等腰三角形 “三线合一” 性质。 【知识点06.易错点总结】 1.混淆等腰三角形的 “三线合一” 适用条件，误将底角平分线当作对称轴相关线段； 2.已知等腰三角形两边长求周长时，忽略三角形三边关系，未分类讨论或验证； 3.判定等边三角形时，遗漏 “有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形” 这一判定方法； 4.角度计算时，忽略 “等腰三角形底角必为锐角” 的隐含条件，出现底角大于等于90∘的错误。 【题型1.等腰三角形“等边对等角”性质】 1．如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 3．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 5．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【题型2.等腰三角形“三线合一”性质】 6．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 7．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 8．如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 10．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 解答题 11．如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型3.等边三角形的性质梳理】 12．如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 14．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为，，．其中，，则（   ） A．86 B．64 C．54 D．48 15．如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 16．如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ． 17．如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是 ． 【题型4.利用等角对等边证明等腰三角形】 18．如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 19．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 20．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 21．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 22．已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为 ． 解答题 23．如图，在中，，过点B作于点平分交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【题型5.利用等角对等边证明边相等】 24．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在中，，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，则等于（   ） A．24 B．12 C． D．6 26．如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 27．如图，在中，，的平分线与交于点F，，垂足分别为F，G，，则的长为（　） A． B．5 C．6 D．8 28．如图，在中，，，，把向右平移4个单位至，则图中阴影部分的面积为 ． 解答题 29．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【题型6.利用等角对等边求边长】 30．在平行四边形中，，，平分，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 31．如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，高，交于点H．若，，则 ． 33．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 解答题 34．如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． (1)求证：； (2)若，， 求和的面积之比． 【题型7.等腰三角形的性质和判定】 35．若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 36．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 37．如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 38．某学校体育器材室侧面示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为 ． 39．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 解答题 40．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【题型8.格点图中画等腰三角形的方法】 41．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 42．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 43．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 44．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 45．如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个． 【题型9.反证法证明中的假设】 46．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 47．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 48．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ． 【题型10.等边三角形的判定方法】 49．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 50．如图所示，在中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．为等边三角形 B． C． D．， 51．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 52．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 53．如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 解答题 54．如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【题型11.等边三角形的判定与性质】 55．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 56．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为 ． 57．如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形． 58．如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．如图，，均是等边三角形，点，，在同一条直线上，且，分别与，交于点，，连结则下列结论： ①； ②为等边三角形； ③平分； ④； ⑤平分． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②③④ 解答题 60．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型12.含30角的直角三角形的性质】 61．如图，是的高，，，则(    ) A． B． C． D． 62．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 63．已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 64．如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为 ． 65．如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 解答题 66．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形寒假预习题型突破讲义 【12常考题型共计66题】 1.考查地位 等腰三角形是初中几何的核心知识点，是三角形全等、轴对称等内容的延伸与应用，也是中考几何板块的高频考点。在八年级下册期中、期末考中，该知识点常以中档题为主；在中考中，既会单独考查基础概念和性质，也会与四边形、圆、函数图像等结合，出现在综合大题中。 2.考查题型与分值占比 选择题:考查频率高，分值范围 3~4 分，考查重点是等腰三角形的性质、判定，角度计算，边长取值范围。 填空题:考查频率高，分值范围 3~4 分，考查重点是三线合一的应用，等边三角形的性质，折叠问题中的边长或角度计算。 解答题:考查频率中高，分值范围 6~12 分，考查重点是性质与判定的证明，与全等三角形、轴对称的综合应用，动点问题。 预习必备 知识点梳理 1..等腰三角形的概念 2.等腰三角形的性质 3.等腰三角形的判定 4.等边三角形 5.等腰三角形的相关计算与证明要点 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.等腰三角形“等边对等角”性质 2.等腰三角形“三线合一”性质 3.等边三角形的性质梳理 4.利用等角对等边证明等腰三角形 5.利用等角对等边证明边相等 6.利用等角对等边求边长 7.等腰三角形的性质与判定 8.格点图中画等腰三角形的方法 9.反证法证明中的假设 10.等边三角形的判定方法 11.等边三角形的判定与性质 12.含30角的直角三角形的性质 【知识点01.等腰三角形的基本概念】 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.相关元素 相等的两条边叫做腰； 第三条边叫做底边； 两腰的夹角叫做顶角； 腰和底边的夹角叫做底角； 等腰三角形中，底边是唯一的，顶角也是唯一的，两个底角位置对称。 【知识点02.等腰三角形的性质】 性质 1：等边对等角 内容：等腰三角形的两个底角相等。 拓展：该性质适用于所有等腰三角形，无论等腰三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 性质 2：三线合一 内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 注意：“三线合一” 的前提是针对等腰三角形的顶角和底边，对底角和腰不适用。 性质 3：对称性 内容：等腰三角形是轴对称图形。 对称轴：底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。 结论：对称轴两侧的部分能够完全重合，对应角、对应边相等。 【知识点03.等腰三角形的判定】 判定定理 1：等角对等边 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）。 拓展：该定理是证明两条线段相等的重要方法之一。 判定定理 2：定义判定 内容：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 适用场景：已知三角形的边长关系时，直接判定。 【知识点04.等边三角形】 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 2. 性质 等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60∘； 等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴（每条边上的高、中线或顶角平分线所在直线）； 等边三角形具备等腰三角形的所有性质，且 “三线合一” 性质在三条边上都适用。 3. 判定 定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形； 角度判定 1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 角度判定 2：有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形。 【知识点05.等腰三角形的相关计算与证明要点】 1. 角度计算 核心依据：三角形内角和为180∘ + 等腰三角形 “等边对等角”； 常见题型：已知顶角求底角（底角顶角）；已知底角求顶角（顶角底角）； 注意：等腰三角形的底角一定是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角。 2. 边长计算 核心依据：等腰三角形两腰相等 + 三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）； 常见题型：已知等腰三角形两边长，求周长（需先判断这两边能否构成三角形，再计算周长）。 3. 证明思路 证明边相等：优先考虑 “等角对等边”，或利用全等三角形、“三线合一” 性质； 证明角相等：优先考虑 “等边对等角”，或利用全等三角形、角平分线性质； 证明垂直或线段中点：利用等腰三角形 “三线合一” 性质。 【知识点06.易错点总结】 1.混淆等腰三角形的 “三线合一” 适用条件，误将底角平分线当作对称轴相关线段； 2.已知等腰三角形两边长求周长时，忽略三角形三边关系，未分类讨论或验证； 3.判定等边三角形时，遗漏 “有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形” 这一判定方法； 4.角度计算时，忽略 “等腰三角形底角必为锐角” 的隐含条件，出现底角大于等于90∘的错误。 【题型1.等腰三角形“等边对等角”性质】 1．如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出，根据，得，，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 3．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 5．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【答案】/3厘米 【分析】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2.等腰三角形“三线合一”性质】 6．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质。根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形， ． 故答案为：． 7．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 8．如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 10．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 解答题 11．如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在与中 ， . （2）解：， ，   ， ， ， . 【题型3.等边三角形的性质梳理】 12．如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 13．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，根据性质得到边长与的关系是解题的关键．由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的性质可知，进一步可证，同理可证，，，归纳可得，最后代入即可得解． 【详解】解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， 的边长为． 故选：C． 14．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为，，．其中，，则（   ） A．86 B．64 C．54 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解． 先算出，再结合面积公式得，即，，再根据勾股定理得，故，同理得，，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图1所示：过点作， ∵是等边三角形，， ∴ 则， ∴ 同理得， 依题意，得， ∴ 即 即 ∴； 如图2： ， ， ， ∵， ∴， 则， 即， ∵， 上两式子相加，得， 故选：C． 15．如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 16．如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．连接，与交于点，过点作，推出，则就是的最小值，再通过勾股定理运算求解即可． 【详解】解：连接，与交于点，过点作，如图所示， ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴为的中垂线，， ∴，则就是的最小值， ∵等边的边长为，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中， ∴的最小值为． 故答案为：． 17．如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 【题型4.利用等角对等边证明等腰三角形】 18．如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 19．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图中的作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，等边对等角，根据作图步骤得到，，据此求解即可． 【详解】解：由作图步骤得到，， ∴，为等腰三角形， ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 20．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 21．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的判定得到，，根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 22．已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据为直角三角形分情况讨论是解题的关键．根据题意可分解析中图1，图2，图3，图4共四种情况，据此根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，此时不符合题意； 如图2所示，当时， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴； 如图3所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 如图4所示，当，则， 由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 解答题 23．如图，在中，，过点B作于点平分交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“等角的余角相等”可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由（1）可得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5.利用等角对等边证明边相等】 .24．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 25．如图，在中，，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，则等于（   ） A．24 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边，勾股定理． 先得到，可知，即，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、， ∴， ∵， ∴， 即 故选：D 26．如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半，过点作于，由可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ∴点到的距离是 2 ， 故答案为：2． 27．如图，在中，，的平分线与交于点F，，垂足分别为F，G，，则的长为（　） A． B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，证明是解题的关键． 根据平行四边形的性质及角平分线的定义，先证，，再结合，得出，，得出，，进而可得，再利用勾股定理解和 即可． 【详解】解：中，，， ， 即， ， ， ， 平分， ， ， 中，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选C． 28．如图，在中，，，，把向右平移4个单位至，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等角对等边． 根据等角对等边求出，根据平移的性质得到，，同理可得，根据图中阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵把向右平移4个单位至， ∴，， ∴， 同理可得， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 解答题 29．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的判定定理证明即可；   （）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；   （）分，，三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【题型6.利用等角对等边求边长】 30．在平行四边形中，，，平分，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，从而得出，可证，进而求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 31．如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．先判定是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ． 故选：C． 32．如图，在中，，高，交于点H．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 33．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 解答题 34．如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． (1)求证：； (2)若，， 求和的面积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）由，可得 ，结合，可得和的面积之比. 【详解】（1）证明：∵．， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴和的面积之比为：. 【题型7.等腰三角形的性质和判定】 35．若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 36．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质. 在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 37．如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 38．某学校体育器材室侧面示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、等腰三角形的判定和性质和勾股定理的应用，作出辅助线是解决本题的关键． 过点作于，根据轴对称图形的性质即可得，从而利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由图可得，， 过点作于，如下图， ∵学校体育器材室侧面示意图是一个轴对称图形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴房顶离地面的高度为， 故答案为：． 39．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 解答题 40．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型8.格点图中画等腰三角形的方法】 41．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 42．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 43．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 44．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 45．如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、格点图中画等腰三角形，分情况讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别作出符合条件的图即可解答． 【详解】解：如图： 分情况讨论： 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，． 综上所述：若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有8个． 故答案为：8． 【题型9.反证法证明中的假设】 46．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 47．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提出与命题的结论相反的假设，再通过推理证明假设不成立，从而肯定原结论．这里要证，就假设其反面．本题主要考查了反证法的概念，熟练掌握反证法中假设结论的反面成立是解题的关键． 【详解】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设． 故选： ． 48．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ． 【答案】三角形三个内角都大于60 °． 【分析】写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °． 故答案为：三角形三个内角都大于60 °． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键． 【题型10.等边三角形的判定方法】 49．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定条件，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法． 根据各选项结合等边三角形的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 有两个角是的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项不符合题意； C. 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该选项符合题意； D. 三边都相等的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 50．如图所示，在中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．为等边三角形 B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的判定，根据平移的性质可得，，再根据平行线的性质和垂线的定义以及等边三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明为等边三角形， ∴四个选项中，只有A选项的结论不一定成立， 故选：A． 51．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 52．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 53．如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 解答题 54．如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，可得，由“”可证，即可证明； （2）证明，，由等边三角形的判定定理，即可判断的形状． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型11.等边三角形的判定与性质】 55．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 56．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 57．如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 58．如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 59．如图，，均是等边三角形，点，，在同一条直线上，且，分别与，交于点，，连结则下列结论： ①； ②为等边三角形； ③平分； ④； ⑤平分． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 根据，均是等边三角形可得，进而可得，即可判定是等边三角形，进而得出，过点分别作，的垂线，证明三角形全等即可判断． 【详解】解：，均是等边三角形， ，，， ， ，正确，符合题意； ， ， ， ， ， 为等边三角形，正确，符合题意； ， ，故正确，符合题意； 过点分别作，的垂线，，连接， ， ，， ， 平分，故正确，符合题意； 在和中， ， ， ， ∵不一定等于， 不一定等于． 不一定平分故错误，不符合题意； 故选：D． 解答题 60．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【题型12.含30角的直角三角形的性质】 61．如图，是的高，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理可得，在中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在中， 在中，， 故选：D． 62．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 大树的高为米． 故答案为：． 63．已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 证明，可判断，可判断①；根据题意可得，可判断③；由，可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意无法确定的度数， ∴无法确定的度数， ∴无法得到的大小关系，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 64．如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形性质，在上截取，连接，，证明是等边三角形，则，，由是等边三角形，故有，，证明，根据性质可得，，通过角度和差可得，所以，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 65．如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质． 先由是等边三角形，推出，由此可以证明是等边三角形．接着在中，由“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再用证明，得到，最后即可求出的周长． 【详解】解：， ， 是等边三角形， ，， ， ∵， ， 同理：， 是等边三角形． ． 在中，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B． 解答题 66．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，. ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $