吉林省东北师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

n·k4 2025-2026学年上学期 东北师大附中 (数学)科试卷 高一年级期末考试 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴 形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，诮使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一 是符合题目要求的， 1.已知集合A=L,2,3),B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z,则AUB= A.(1 B.1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 2.函数f(x)=e+x-2的零点所在的一个区间为 A.（-1,0) B.(0,1) c.(1,2) D.（-2,-1) 3.设2°=3,1og45=b,则2-2办= B C.15 D.-2 则sin2a= A B.25 7 9 25 C.25 D.-19 5 5.某电视新产品投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销偕400台， 第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场后第x个月之间关系 的是 A,y=100x B.y=50x-50x+100C.y=502 D.y=1001og2x+160 数学试卷第1页（共4页） 6.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M,N两点，则MW的最 大值为 A.1 B.√2 c.5 D.2 7.已知数/-m+@>0在0引}上单减。 则®的取值范围为 1 c吲 D. [713 22」 8.设函数f(x)=(x2+ax+b)nx,若f(x)≥0，则a2-4b的最小值为 A.0 B. c.1 D.I 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知函数(=22x+骨 ,则 A.f八闪的图象关于点怎0对称 B。心的婴象关于直线x=合对称 c在[ 上的最小值为√5 D.f()在 Sr 上单调递减 1212 10. 已知函数f)=X一si如（红-），则 x-1 A.f(x+I少为奇函数 B.f(x)在区间(L,2)上单调递减 C:f(x)在区间(-2元，)内有3个零点 D.f3)t3+f5)t+05 )=1013 2026 2026 2026 、202 11.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+fx-y)=x)Uy,四)=1，则 A.f(0)=2 B.j为偶函数C.f6-对=-网D.觉/)=2 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12.已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y=2xtx之0)上， 则sin28= 3.若casa=号a为第三象限角，则4m2。 1+tan- 】-tan。 2 [x2+4x+5,x≤0 14. 已知函数f()=x+,x>0 ,若存在四个不相等的实数X,X2,六，x4使得 ∫(x)=(:)=f(3)=f(x),则x2x的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共58分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分10分) 设合4y=哥 B={xlx2-(3a-1)x+2at-2a≤0，a∈R}. (1)若a=2,求A∩B: (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分10分) 已知函数∫(x)=log4(3x)-362+). (1)求函数f(x)的零点： (2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最获值. 17.(本小题满分12分) 如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形POQ区域（含边界）是一个生态文化创业园区， 其中点P,2分别在射线OA,OB上.经测量得，扇形P00的圆心角（∠P0Q)为2，半径为1千 3 米.根据发展规划，要在扇形区域外修建一条笔直的公路MN,分别与射线OA,OB交于M,N 数学试卷第3页（共4页） 两点，并与扇形弧PQ相切于点S(S不与P,Q重合)，设POS=α，假设所有公路的宽度均忽 略不计 (I)试将公路MN的长度表示成a的函数： (2)已知公路每千米的造价为1于万元， 建造这样一条公路MN,至少要投入多少千万元？ A 18.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=-2sin2x+2cosx+t,其中t为常数. )当x∈L乐，时，f&≤0恒成立，求实数的取值范围： (2) 设函数fx)在（←元，-上有两个零点m,n, ①求t的取值范围： ②证明：m+n>- 3π 2 19、(本小题满分13分) 设n次多项式T(x)=ax+ax+…+a,x+a,x+a。（a.≠0)，若其满足 T,(os)=cosn8,则称这些多项式T,(x)为切比雪夫多项式.例如：由cos0=cos日可得切比 四夫多项式{)=x,由c0s20=2cos20-1可得切比雪夫多项式T,(x)=2X2-1. (1)由cos30的表达式求T(x): (2)由第(1)问结论求sin18°的值： (3)证明x=0s仕+2，keZ是方程8X-6r-1=0的根，并求 93 cosS5+cos5L+cog7匹 的值， 9 数学试卷第4页（共4页）2025一2026高一年级上学期期末考试数学参考答案 一、 单项选择题 二、多项选择题 2 3 6 7 8 9 10 11 C B A B C B A D ACD BC ABD 三、填空题 13. 13. 14.[0,3) 四、解答题 15.（本小题满分10分) 解：(1) 由2-≥0，解：1<r≤2，故A=(x1<x≤2头. r-1 当u=2时，ix2-5x+4≤0得，B={l≤x≤4， A∩B={x1<x≤2}. (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的其集. 不等式x2-(3a-1)x+2a2-2a≤0可化为，(x-2)[x-(a-10]≤0， 当2a=a-1时，即a=-1,B={-2；不合题意， 当2a>a-1时，即a>-1,B={xa-1≤x≤2a}, a-1≤1 则有{2a221≤a≤2. 当2a<a-1时，即a<-l,B={x|2ar≤xsa-l}, 2a≤1 则有 a-1≥2 →无解. 综上，1≤a≤2. 16.（本小题满分10分) 解：(1)令f(x)=0，则log(3x+1)-1og2(x+1)=0, ..log,(3x+1)=log,(x+1)=2l0g (x+1)=log(x+1)2. ∴.3x+1=(x+),解得x=0或x=1,经检验都满足原方程. 所以数f(x)的零点为0和1. 数学答案第1页（共4页） (2)f=log,3x+10-2log.《x+0=8:+i' 3.r+1 令t=3x+1e,41,则3x+l=,t=97 9 (x+ = ,1+2 °(t+2)2 4 +4 3 1+ 由于1+4+4≥8，当l议当t=4时，即1=2，x=取答4. 4 所以3x+1=1=99 一≤兰，所以1og x+10+2)+2)1+4+48 3x+151o8:g (x卡10 0 即当x=时，函数f(x)的敏人值为1og 3. 17.(本小题满分12分) 解：(1)依题意可知MN⊥S0,S0=1,所以MS=SOtan a=tana, NS-SOtan 2π-a）=ta 元 匹-），故MN=tana+tan 3 3 6 【另解】S.on=M IMN-LOM.ON sin 2元 2 2 3 5 MN=- 2cosa cos( (T a)cos(2a) 3 (2)要使得投入最少， 则MN长度要最小， 2元 MN tan a +tan(- -a) 3 2π 2 2π 2π sint sina -a）sin a cos --a)+cosa sin-a)sin(a+--a) 3一 3 3 3 cosa 2π 2π 2π coSt -a) cos a cos--g) cosa cos(--a) 3 3 3 2π 5 sin 3 2 3 1。,V3 3 cosa(-。cosc+1 sina)） 2 2 -eos a+ 2 -sinva cos a 2 sin(2a-1' 62 因为2<a<5,所以g<2a-<C,所以0≤i如2a-马-s5, 6 2 6 66 622 所以MN≥2W3,义因为公路每千米的造价为1千万元， 所以建造这掸-一条公路，至少儒要投入25干万7心 数学竹柴第2页（共4页) 18.(本小题满分13分) (1)f(x)=-2(1-cosx)+2cosx+/=2cos'x+2cos.x+t-2, 内xel受原，时a=o. 从iif(x)≤0台2ar2+2aht-2≤0.2-t2(2a2+2a)mx 又g@)=2a+2a=2a+分-ue-2上单调道增， ∴g(9m=g(10=4;∴.2-t24.即f≤-2. (2)①令k=cosx,因为x∈（←元-），所以k=cosx∈（←1,0， f(x)=-2sin2x+2cosx+t=2c0sx+2cosx+t-2=2k2+2k+t-2, 出y=cosx在x∈（←元-.上单调递增， 故关于k的方程2k+2k+t-2=0在(-1,0)上有两个不相等实数根， t-2>-0 即有2×(-1)2+2×(-1)+t-2>0, △=4-4×2t-2)>0 解得2<1<交，即f的取值范园为2，多. 5 ②证明：令k,+cosm<.0,k3=cosn<0, 则k,k2为关于k的方程2K2+2k+t-2=0的两根， 则有%+名=-1，居儿=‘二2 2 所以c0sm+co8n=-1,c08m·00sn=-2 2 (cosm+cosn)=1:cos2 m+cos2n=1-2.coscosn=3-t, 即有cosm-8n'n=2-t,@符2-1e(-号，0). 放o5加<，义mE(-月，放om>血m=a5-川。 由于-r<m长-分r期we 3元， 2 山y=cosxfe(←元，)h单调递增， 放m>- -，即m七2+受 2 【另解1co8m-cos(-经-m=cosn-sn方台-fco-sia效言--囹a+孕。 数学答案第3页（北+页） x+经e(-尊万mn+7e5-.1-a+学>0， 4 4 枚cosm>cos(- 3元 -n）, 2 山y=cosx在xE(-K一孕，上前调滋增， 故m>-3红-，即m+n>-3江 2 2 19.(本小题满分13分) 解：(1)因为cos38=cos(28+8)=cos28cos日-sin29sin0, 所以cos30=(2cos0-1)os8-2sin0cos0=2cos20-cos日-21-cos20)os日， 所以cos30=4cos0-3cos0, 所以G(x)=4x-3x. (2)因为cos54°=sin36°，所以4cos318°-3cos18°=2sin18°cos18°， 又cos18°>0，所以4cos18°-3=2sin18°，所以41-sin18）-3=2sim18°， 即4sin18°+2sin18°-1=0， 因为i血8>0，解得n18°=5-(51舍去). 44 (3)将x=60st+2,keZ代入工闪=4-3x得， 93 1 T()=4x-3x=60s(±+2k)=号 3 2 所以8x2-6x-1=0, 即x=cos( 元，2k元、 二)，k∈Z是方程8x3-6x一1=0的根， 93 不纺取8=行，8=晉否，8=行设名=60s ,水3=co 5 9,5=c0 7π 9 9 则cos+6os语+og=+写+=子+巧+) 3 9 9 9 1+x2+x3=0s。 o5+c0s9 +co 9 所以++名=0，所以ow行+o受+or行-号 9 数学答案第4页（共4页）