吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一数学期末考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（ ） A. 11.5 B. 12 C. 12.5 D. 13 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. M的子集个数为4 D. M的子集个数为8 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知函数，若（）是关于x的方程的四个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 方程有6个不相等的实数根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 13. 若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 14. 已知函数，且存在实数且，使得成立.若正整数的最大值为5，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 17. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 18. 记双曲正弦函数双曲余弦函数其中为自然对数的底数. （1）证明：； （2）已知函数， ①方程在上有且仅有一个实数解，求的取值范围； ②解关于的不等式：. 19. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. AACCA ADB 9BD 10BD 11ABD 12. 13 0或1 14 15【小问1详解】 由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或. 16【小问1详解】 由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 17小问1详解】 由已知条件可得，又因为每组小矩形的面积之和为1. 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 18【小问1详解】 证明：左边； 右边 ， 故式子左边右边，得证. 【小问2详解】 ① ， 令，由（1）得：， 又因为， 所以， 则有，令 即，由在区间上单调递增， 可得，即， 由题意，关于的方程在上有且仅有一个或两相等实根， 令，则函数图象开口向上，对称轴， 判别式， 且有，，. 首先，由可得或. （i）当，即时，方程为， 解得，或，而，故不满足题意； （ii），即时，方程为， 解得，且，故不满足题意； （iii）当，即时， 则由，，且图象开口向上， 可知在上有且仅有一个实根，另一根在内，满足题意； （iv）当且，即时， 当时，函数对称轴，且，即， 由零点存在性定理可知在与内各有一根，不满足题意； 当时，，， 故在内有两相等实根，满足题意； 当时，，， 故在内无实根，不满足题意； 当时，函数对称轴，且，即， 可知在内无实根，不满足题意； （v）当且，即时， 可知在内无实根，不满足题意； 综上所述，或，故的取值范围为. ②不等式即， 可化为不等式， 将，代入， 得， 化简得解不等式，令， 则不等式可化为， ， （i）当时，，则不等式 ， 解得或，由或，解得或； （ii）当时，，不等式 即， 解得，且，由解得； （iii）当时，，不等式 ， 解得或，由或，解得或； （iv）当时，不等式 ，由，解得， 由，解得； 综上所述，当时， 所求不等式的解集为或 ； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为或； 当时，所求不等式的解集为. 19【小问1详解】 当时，，由可得， 解得，即， 故不等式的解为. 【小问2详解】 因为与均为增函数， 所以在上单调递增， 当时，， ， 所以存在唯一的，使得， 即函数有唯一零点， 所以，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当与时等号成立. 当时，由知，即，所以等号不成立， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $