精品解析：陕西省榆林市榆阳区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 （满分：120分） 一、单选题．（本大题共9小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看的图形即可得到答案． 【详解】解：从上面看的图形如下： ， 故选：C． 2. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元．假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该公司今年3月份的生产成本=该公司今年1月份的生产成本该公司每个月生产成本的下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 3. 下面四个命题，其中真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查考查命题与定理知识，特殊四边形的判定与性质，需逐一分析各选项是否符合对应图形的定义或判定条件． 【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A为假命题； B. 根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形（可通过内角和与平行线性质推导对边平行），故B为真命题； C. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度相等仅当菱形为正方形时成立，故C为假命题； D. 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，例如可构造满足条件但四边长度不等的四边形，故D为假命题． 故选：B． 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规则． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：∵向左平移2个单位， ∴x变为， 得； ∵向下平移2个单位， ∴整体减2， 得， 故选：A． 5. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ >， ∴， 故选：C． 6. 已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴的第三边长应该是． 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质． 根据点D的坐标结合相似比为3作答即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形， ，即 故选：D． 9. 若函数的图象上有两点、，则（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先判定二次函数的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴函数的图象开口向上， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A. ②③④ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键． 根据所给函数图象，得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由函数图象和已知条件可知，，，， ∴， ∴，故①错误； ∴，即，故②正确； 由函数图象可知，当时，， 即，故③正确； ∵的图象与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，故④正确； ∵， ∴当时，，故⑤错误． 故正确的有：②③④． 故选：A． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题．（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数的性质，在时，函数值y随x的增大反而减小，由可得． 【详解】解：因为点，在反比例函数的图象上， 所以，． 由于，且反比例函数在时，y随x的增大反而减小， 因此． 故答案为：． 12. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是个半圆柱，且半圆柱的底面半径是2，高是4，根据表面积的计算公式求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状． 14. 如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长 【详解】解：在正方形中，∠BAD=∠D =， ∴∠BAM+∠FAM= 在Rt中， ∵由折叠的性质可得 ∴AB=BG，∠FBA=∠FBG ∴BF垂直平分AG， ∴AM=MG，∠AMB= ∴∠BAM+∠ABM= ∴∠ABM=∠FAM ∴ ∴ ，∴ ∴AM=, ∴AG= ∴GE=13- 【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 三、解答题：本大题共7小题，共69分． 16. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推导出△PCD为等腰三角形，即可知点P在线段CD的中垂线上． 【详解】解：∵△ABC∽△PCD， ∴, ∴△PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CD的中垂线上， 如图，点P即为所求. 【点睛】本题考查相似三角形的应用、尺规作图，通过相似找到线段关系，准确画出图像是解题的关键． 18. 如图，在中，为边上一点，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质， 在和中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出证得，继而证得． 【详解】略 19. “保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，学校利用假期开设了四个如图所示的环保类社团项目，每人只能从这四个项目中随机选择一个项目，每一个项目被选择的可能性相同． （1）小明从这四个项目中选择一个，则他选择A（环保义工）的概率是_______； （2）小华和小聪分别从这四个项目中选择一个，请用列表或画树状图的方法，求小华和小聪选择同一个项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率、列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握运用列表法或树状图求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）首先根据题意列表，然后由表格确定所有等可能的结果与小华和小聪选择同一个项目的情况数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从这四个项目中选择一个，则他选择A（环保义工）的概率是是． 故答案为． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： A B C D A A小华，A小聪 B小华，A小聪 C小华，A小聪 D小华，A小聪 B A小华，B小聪 B小华，B小聪 C小华，B小聪 D小华，B小聪 C A小华，C小聪 B小华，C小聪 C小华，C小聪 D小华，C小聪 D A小华，D小聪 B小华，D小聪 C小华，D小聪 D小华，D小聪 共有16种等可能的结果数，其中小华和小聪选择同一个项目的结果数为4， ∴小华和小聪选择同一个项目的概率． 答：小华和小聪选择同一个项目的概率 ． 20. 如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 【答案】图见解析，小方的影长为米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，然后证明，则，设，则，代入得，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，为所要求的图形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 21. 中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元，为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． （1）若每个模型降价元，平均每天可以售出_______个模型； （2）在每个模型盈利不少于元的前提下，设“中国空间站”模型每天获利为元，求的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查有理数运算的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据降价与多售出的关系直接计算即可； （2）设降价元，列出每天获利的二次函数表达式，再利用二次函数性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：每个模型降价元，则多售出（个） ∴平均每天售出（个）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每个模型降价元，则每个模型盈利为元，每天售出个， ∴每天获利 ∴， ∵， ∴有最大值， ∵每个模型盈利不少于元， ∴，即， 当时，有最大值元． 22. 已知一次函数的图象和反比例函数的图象相交于，两点，连接，，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）的面积为6． 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式；一次函数与的交点问题，割补法求图形的面积，数形结合是解答本题的关键． （1）先把代入求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出n的值，然后把，代入求解即可； （2）把的面积看成是和的面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， ． ∴点． 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式得． 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，． 点． ． ． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，的值． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，设点的坐标为，结合几何图形的面积得到，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入， 得， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，二次函数的解析式为， 设点的坐标为． 的面积为，， ， ， 即或， 解得或， 或． 24. 【感知】如图①，在正方形中，E、F分别在边、上，于点O．猜想线段与的数量关系为_______； 【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： （1）如图②，在正方形中，若点E、F、G、H分别在边、、、上，于点O，求证：； （2）如图③，将（1）中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是_______； 【答案】感知：；（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 感知：根据正方形的性质结合已知条件证明，根据全等三角形的性质可得答案； 探究：（1）过点作交于点，过点作交于点，证明四边形是矩形， 得到，同理可得，则，证明，即可证明； （2）过点H作于点Q，过点G作于点P，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：感知：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：（1）如图所示，过点作交于点，过点作交于点， 四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图所示，过点H作于点Q，过点G作于点P， 同理可证明， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 （满分：120分） 一、单选题．（本大题共9小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元．假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个命题，其中真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 6. 已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图象上有两点、，则（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 10. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A. ②③④ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题．（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则______．（填“”、“”或“”） 12. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______（结果保留π）． 14. 如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 三、解答题：本大题共7小题，共69分． 16. 解方程： （1）． （2） 17. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，为边上一点，且，连接．求证：． 19. “保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，学校利用假期开设了四个如图所示的环保类社团项目，每人只能从这四个项目中随机选择一个项目，每一个项目被选择的可能性相同． （1）小明从这四个项目中选择一个，则他选择A（环保义工）的概率是_______； （2）小华和小聪分别从这四个项目中选择一个，请用列表或画树状图的方法，求小华和小聪选择同一个项目的概率． 20. 如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 21. 中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元，为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． （1）若每个模型降价元，平均每天可以售出_______个模型； （2）在每个模型盈利不少于元的前提下，设“中国空间站”模型每天获利为元，求的最大值． 22. 已知一次函数的图象和反比例函数的图象相交于，两点，连接，，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，的值． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 24. 【感知】如图①，在正方形中，E、F分别在边、上，于点O．猜想线段与的数量关系为_______； 【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： （1）如图②，在正方形中，若点E、F、G、H分别在边、、、上，于点O，求证：； （2）如图③，将（1）中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是_______； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $