精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

高三数学期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合和集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（ ） A. 177.5 B. 178 C. 178.5 D. 179 5. 若，则的值是（    ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ） A. 的长度为 B. 的长度为 C. 的长度为 D. 的长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 10. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____. 14. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数（a为常数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 18. 某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. （1）当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； （2）求第n轮为甲练习的概率. 19. 设A，B分别是直线和上的动点，，O为坐标原点，动点P满足，记动点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设C与x轴正半轴的交点为D，与y轴正半轴的交点为E，当点P在第一象限时，直线PD交y轴于点M，直线EP交x轴于点N. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则可解得，继而得到的共轭复数，即可得解. 【详解】由题可得， 故的共轭复数，它在复平面上对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 2. 已知集合和集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，再根据补集与交集的定义即可得解. 【详解】因为，，故易知，解得， 因此集合， 则或， 由，解得，故， 因此. 故选：C. 3. 甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型进行求解即可. 【详解】将甲、乙、丙三人用表示，由题意可知，传毽子的方式有以下形式： ， 则经过3次传递后，毽子传回到甲的事件有与， 因此经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为， 故选：A. 4. 学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（ ） A. 177.5 B. 178 C. 178.5 D. 179 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】先将这十名护旗手的身高进行从小到大排序，得： 174，175，175，176，176，177，178，178，179，180， 因为，为整数，故取第个数与第个数的平均数， 即十名护旗手身高的分位数为， 故选：C. 5. 若，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解 【详解】因为，则，① 又因为，则， 故①式整理可得，，解得或（舍去）， 故，所以． 故选：． 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象的平移变换得到的解析式，再根据在区间上单调递增，即可得到的最大值. 【详解】根据题意得， 又因为函数在区间上单调递增，此时， 所以，解得，所以的最大值为. 故选：B. 7. 已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.利用点到直线距离公式. 【详解】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大. 圆心原点到直线的距离为.所以点到圆心的距离最小值为. 所以，的最大值为. 故选：D 8. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ） A. 的长度为 B. 的长度为 C. 的长度为 D. 的长度为 【答案】A 【解析】 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C，D项错误； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到为，为，由此得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列是正项等比数列，可得出，写出及，即可判断选项A、B、D；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C. 【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为 所以，解得 则. 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D. 【详解】对于A，，故，又其定义域为R， 故为奇函数，故A正确； 对于B，，所以在上，，单调递减； 在和上，，单调递增，故B错误； 对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误； 对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解， 且在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以，即，故D正确. 故选：AD 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合不等式进行逐项分析，由此可判断正确选项. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误； 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到，再对的取值进行讨论进而得到最小值. 【详解】为奇函数，所以， 代入得，在定义域内， 化简得：， 即，由得：， 因为奇函数的定义域关于原点对称，由可知， 定义域端点为和， 为使定义域关于原点对称，必有，即， 又，， 所以， 当且仅当即，，即时成立； 综上  的最小值为. 故答案为： 14. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数的运算性质和对数的运算性质，根据方程求出参数值，再根据向量积的坐标表示，求出动点轨迹，进而求出符合条件的动点坐标即可. 【详解】变形为， 则，即， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以，从而点在直线上， 因为为线段的中点，，所以， 从而在以为直径的上，所以有， 此时，所以， 可得直线的斜率为， 因为满足，可知点在以为直径的上，方程为. 若面积最大，由圆的对称性可知，此时直线垂直于， 所以直线的斜率为，点在优弧上，从而可知直线. 联立，可得（负值舍去）， 所以，所求点坐标为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数（a为常数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）分、两种情况讨论函数的极值，再根据方程的根进行消元得出，再构造函数求值域即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，则， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 的定义域为， ，由对勾函数可知，， 当，即时，， 则在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当，即时，， 又，， 则由零点存在性定理可知，存在，，使得， 则得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点和极小值点分别为，， 故，是方程即的两根， 则， 则 令，， 则，则在上单调递减， 因时，，，则， 故的取值范围为. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 若时，在上单调递增， 若时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由条件可得，写出切线方程. （2）由题意，求出其导数得，分类讨论在的函数值的符号，得出单调性. 【小问1详解】 当时，，所以， 则， 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 则 当时，，则在上单调递增. 当时，由得出 ，则在上单调递增； 由 得出，所以在上单调递减； 综上所述：若时，在上单调递增， 若时，在上单调递增，在上单调递减. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【小问1详解】 连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点； 【小问2详解】 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 设，则 设，， 设平面的法向量为，则，即 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为 ，整理得， 18. 某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. （1）当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； （2）求第n轮为甲练习的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据排队系统设定分析的情况，然后计算概率求期望即可； （2）根据排队系统设定得到，，然后构造数列为等比数列，最后利用等比数列的通项公式计算. 【小问1详解】 根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3， 则时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即， 时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲， 即， 时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即， 所以X的分布列如下表 X 1 2 3 P . 【小问2详解】 设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为，，， 由题意得 ， ① ， ② 由②得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，则代入①中， 得，故第n轮为甲练习的概率为. 19. 设A，B分别是直线和上的动点，，O为坐标原点，动点P满足，记动点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设C与x轴正半轴的交点为D，与y轴正半轴的交点为E，当点P在第一象限时，直线PD交y轴于点M，直线EP交x轴于点N. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，，，结合，，列出等式，消参即可求解； （2）（ⅰ）设，，，通过三点共线得到，，进而得到，，代入化简即可； （ⅱ）由得到，再由基本不等式求解即可； 【小问1详解】 设，，， 由，，得 ， ① ， ② 联立①②消去，可得C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设（，），，， 由三点共线可知，得， 由三点共线可知，得， 所以，， 所以， 因为，所以代入上式得. （ⅱ）由图知，的面积为 ， 即 因，则（时等号成立） 所以，即面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：的面积可通过，将其转化成，利用（ⅰ）的结论和基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $