第十九章 二次根式（复习课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的概念、性质及运算，通过单元知识图谱将最简二次根式的定义、双重非负性等性质，与乘除、加减、混合运算规则串联，构建“概念-性质-运算”的逻辑网络。 其亮点在于采用“题型剖析-针对训练-课堂总结”的复习模式，如通过数轴化简二次根式培养推理意识，结合座钟摆针周期问题强化应用意识，设计从基础判断到综合求值的分层训练。这种设计既巩固学生运算能力，又助力教师精准教学，提升复习效率。

单元复习课件 第十九章 二次根式 人教版2024·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解二次根式的概念，熟练掌握二次根式的化简、乘除运算以及与实数的混合运算； 3.识别和化简二次根式. 2.二次根式的性质的探究与区分，并能利用二次根式的性质解题; 单元学习目标 二次根式 概念 性质 运算 二次根式：形如的式子叫作二次根式 最简二次根式 乘除运算 加减运算 双重非负性: 被开方数不含分母 被开方数中不含能开的尽的因数或因式 乘法： 除法： 1、先化简；2、合并同类二次根式 混合运算 先乘方 再乘除 最后加减 单元知识图谱 1.二次根式的概念 一般地，把形如___________的式子叫作二次根式，“ ” 二次根号,叫被开方数. 2.可以是数,也可以是式. 1.含义：表示的算术平方根 3. 4.形式上含有 () 考点串讲 2.二次根式的性质 （1）双重非负性: （2）任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数本身； （3）任何一个数的平方的算术平方根都等于这个数的绝对值 . 考点串讲 3.二次根式的乘除法 乘法法则：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘. () 除法法则：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除. () 考点串讲 4.最简二次根式 （1）被开方数不含_______； （2）被开方数中不含能开的尽的_____或______. 5.二次根式加减法 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成______________，再将_______________的二次根式合并. 分母 因数 因式 最简二次根式 被开方数相同 考点串讲 题型一、二次根式中有关概念 例1.下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． B 解题方法:二次根式的条件 ①含有“” ②被开方数 题型剖析 1.下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2.下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C B 针对训练 题型二、代数式有意义的条件 例2.要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 D 解题方法: 1、判断代数式中所含的形式 2、①二次根式：; ②分式：; ③0指数幂：; ④负指数幂: 题型剖析 1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 2.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______ 3.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______ 4.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________________ 且且 针对训练 题型三、二次根式的化简求值 例3.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 解：由图知，，，∴，， ∴ ． 解题方法:1、判断、中A、B的正负； 2、根据化简代数式 题型剖析 1.若，则a的取值范围为_______ 2.已知，化简 ____ ． 3.若，则 ___ ． 4.化简 解：∵二次根式有意义，∴，∴， ∴ . 针对训练 5.已知实数满足化简： 解：∵，∴，即， ∴ . 针对训练 6、已知：，求的值 解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程， 得，即． ∴ ． 针对训练 题型四、利用二次根式的非负性解题 例4（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． （3）已知，求的值 1 2 解: ∵，， ∴，， 即，解得：，则． 解题方法:的双重非负性()； 1、利用求字母取值范围； 2、利用解决非负+非负=0的问题 题型剖析 1.如果a满足，求的值 解：∵有意义∴，即 ∵∴ 代入原方程： ∴即 ∴． ∴． 针对训练 2.已知实数，满足，试问长度分别为，的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由. 解：∵，∴， 即 ∴解得： ∵,∴三条线段能组成一个三角形，三角形周长为12. 针对训练 3.已知，求的平方根. 解：∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，，∴， 则， ∴， 则的平方根为． 针对训练 解题方法:判断同类二次根式的方法 1、化简为最简二次根式 2、判断被开方数是否相同 题型五、最简二次根式和同类二次根式 例5.（1）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． （2）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． B 解： ，被开方数为， 是最简二次根式与是同类二次根式， 可得：，解得：． 题型剖析 1.下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． D A 针对训练 3.若和都是最简二次根式，则的值为_____． 4.如果最简二次根式与是同类二次根式,则为______ 5.若两个最简二次根式与可以合并,求的值. 解：由题意可得 即 针对训练 题型六、二次根式的运算 例6.（1）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． （2）计算下列各式 ① ② ③ ④_______ C 题型剖析 题型六、二次根式的运算 （3）计算：① ② 解：①原式． ② ． 题型剖析 题型六、二次根式的运算 （3）计算：③； ④． 解：③原式 ． ④根据二次根式非负性得出， 原式． 题型剖析 1、设，，则可以表示为( ) A． B． C． D． C 2、计算(1)=___________； (2)=________ (3)=________ 针对训练 3、计算(1)．(2) 解(1)原式． (2)原式 ． 针对训练 3、计算(3) (4) 解(3)原式 ； (4)原式 ． 题型剖析 3、计算(5)． (6) 解(5)原式． (6)原式 ． 针对训练 4.计算(1) (2) 解(1)原式 ； (2)原式； 针对训练 4.计算 (3) 计算： (4) 解(3)原式 ； (4)原式= . 针对训练 5、先化简，再求值：，其中 解：∵，∴， ∵原式； ， 原式． 针对训练 题型七、利用二次根式求代数式的值 例7、（1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 解(1)∵， ∴ ． 解(2) ∵，∴原式． 题型剖析 题型七、利用二次根式求代数式的值 例7、（3）若，求的值． 解(3) ， ∴，∴，即得， ∴ 题型剖析 1、设，，则的值是_______ 2、如果，，求的值 ． 解：∵，， ∴， ∴， ∴ . 针对训练 3.已知：，求的值 解：， 即， ， ， ， ． 针对训练 4、已知，且，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵，∴，即， ∴即. 针对训练 5．已知，，求的值 解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 针对训练 6、已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 解∵，， ∴,， ， (1) ； (2) ． 针对训练 题型八、二次根式比较大小 例8、比较大小： (1)和 (2) 和 解(1)∵，，， ∴． (2) ∵ ， 又∵， ∴，得，即 题型剖析 题型八、二次根式比较大小 例8、比较大小： (3)和 解(3)∵， 又∵ ∴ ∴ 解题方法:判断同类二次根式的方法 1、平方法(正的平方大的大，负的平方大的反而小) 2、将根号外的因数放入根号内 3、倒数法 题型剖析 1、比较大小：和 解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴，即. 题型剖析 2、已知：，，，则a，b，c的大小关系 解：， ， ， ∵， ∴. 针对训练 题型九、二次根式的应用 例9、某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 解：由题意得，通道的总面积为： ， 故通道的总面积为 题型剖析 1、《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，求的面积为_________ 针对训练 2、座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． 解：将，， 代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． 针对训练 (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 解(2)，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． 针对训练 3.汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为90πcm，宽为40πcm，求圆形扇面的周长． 解：由题可得，长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， ， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 针对训练 1.求下列各式的值，其结果是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2.(1)已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． (2)已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为____ 3.若代数式有意义，则的取值范围是____________ 4. C 且 三 课堂总结 5.计算(1)． (2)． (3) (4)． 解(1)原式； (2)原式； (3) 原式． (4)原式 ． 课堂总结 6.(1)已知，求的值 解：依题意，， 则， ∵，∴， 原式 ． 课堂总结 6.(2)已知，求的值 ． 解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 课堂总结 7.求：的值 解： . 课堂总结 8.已知，判断和的正负并求的值． 解：根据题意，， ∴和同号且同为负， 故 . 课堂总结 感谢聆听! $