精品解析：江西省创智协作体2026届高三上学期元月联合调研考试数学试卷

江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 {是等腰三角形}，{是直角三角形}，则 （ ） A. B. {是正三角形} C. {是等腰直角三角形} D. {是等腰三角形或直角三角形} 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年 5. 已知正三棱柱 的各条棱长均为1，D是侧棱 的中点，则四棱锥 的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 某投资公司2020－2024年的投资与收益情况如下表所示：（单位：千万元） 投资 2.3 2.5 3.9 5.4 5.9 收益 0.3 1.4 1.9 2.6 3.8 根据表中数据利用最小二乘法，可得回归直线方程为，由此估计如果2025年该公司的投资为8千万元时，它的收益为（ ） A. 5.1千万元 B. 5.2千万元 C. 5.3千万元 D. 5.4千万元 7. 过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足在第一象限，且与双曲线的右支交于点为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知函数，其图象过点，，且.则的最小正周期的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点作圆的两条切线，，切点为，.则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 直线的方程为 D. 圆心到直线的距离为 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 曲线在处的切线方程是 11. 设数列前项的和为，且，则（ ） A. B. 若各项均为正数，则是等差数列 C. 不可能是等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______. 13. 已知为等比数列，对于任意正整数，则 ______. 14. 如图，表格中是的一个排列，且满足，则满足条件的方格表共有______张. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）若曲线有两条过坐标原点的切线，求的取值范围. 17. 设锐角的内角所对边分别为，且 （1）若的面积为，求的周长； （2）求的取值范围. 18. 在正三角形的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为，跳向另外两点的概率均为.假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点处做第一次跳动. （1）求经过2次跳动后，机器蛙在顶点处的概率； （2）求经过次跳动后机器蛙在顶点处的概率； （3）记由前次跳动导致机器蛙在顶点处停留的总时间为随机变量（分钟），求. 19. 在平面直角坐标系中，如果 ，则 的面积 .已知椭圆 的离心率为 ，左右顶点分别为. 为椭圆上异于 的任意一点，过点 作 的垂线 ，过点 作 的垂线 ，直线 与 交于点 . （1）求椭圆 的方程； （2）求点 的轨迹方程； （3）求 的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 {是等腰三角形}，{是直角三角形}，则 （ ） A. B. {是正三角形} C. {是等腰直角三角形} D. {是等腰三角形或直角三角形} 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义可知兼具等腰三角形和直角三角形性质，可得结果. 【详解】易知集合 {是等腰三角形}{是直角三角形}={是等腰直角三角形}. 故选：C. 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到，即可求解. 【详解】因为， 所以对应的点坐标为，位于第一象限. 故选:A. 3. 已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 4. 某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年 【答案】D 【解析】 【分析】每年投入的研发资金比上一年增长10%，则经过年后全年投入的研发资金为，列不等式求解. 【详解】由题可知，该公司2020年全年投入研发资金3000万元，设从2020年起经过年后全年投入的研发资金超过6000万元， 则， 化简得，取对数得， 故该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是2028年. 故选：D. 5. 已知正三棱柱 的各条棱长均为1，D是侧棱 的中点，则四棱锥 的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画图，找出四棱锥的高和计算底面积，然后利用锥体体积公式计算即可. 【详解】由题意如图所示： 取的中点，连接，且， 连接， 因为为等边三角形，且边长为1， 所以，且， 又底面，且底面， 所以，由， 所以平面 因为是侧棱的中点，四边形为正方形， 所以为正方形的中心，所以平面， 即点到平面的距离为，且点为的中点， 所以，又， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 即到面的距离， 又正方形的面积为， 所以四棱锥 的体积是， 故选：C. 6. 某投资公司2020－2024年的投资与收益情况如下表所示：（单位：千万元） 投资 2.3 2.5 3.9 5.4 5.9 收益 0.3 1.4 1.9 2.6 3.8 根据表中数据利用最小二乘法，可得回归直线方程为，由此估计如果2025年该公司的投资为8千万元时，它的收益为（ ） A. 5.1千万元 B. 5.2千万元 C. 5.3千万元 D. 5.4千万元 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归方程，求得的值，得出回归直线方程，令，求得的值，即可得到收益. 【详解】由表格中的统计数据，可得： ，， 即样本中心为，代入回归直线方程，可得，解得， 所以回归直线方程为， 当时，可得，即收益为千万元. 故选：B. 7. 过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足在第一象限，且与双曲线的右支交于点为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件与几何关系把点坐标用表示出来，再代入到双曲线中可得答案. 【详解】设双曲线的半焦距为， 因为为的中点，所以过作于， 则， 设，因此， 解得， 由点在双曲线上， 得， 即， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，其图象过点，，且.则的最小正周期的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对称中心和对称轴求出的一般形式，通过检验后可得的最小值，根据正弦型函数的最小正周期公式求最小正周期的最大值. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为图象经过，两点，且， 故， 故，故， 若，则，，由，可得， 故，其中，而，此时无解； 若，则，，由，可得， 故，其中，而，此时， ，此时，， 又，， 故符合，故正数的最小值为， 所以的最小正周期的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点作圆的两条切线，，切点为，.则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 直线的方程为 D. 圆心到直线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】先将圆的方程转化为圆的标准方程，并求得圆心与半径；根据两点间的距离公式即可判断选项A；根据是外接圆的直径，可判断选项B；根据题意求出以为直径的圆的方程，并将其与圆的方程作差后得到直线的方程即可判断选项C；利用点到直线的距离公式即可判断选项D. 【详解】依题意，圆的标准方程为，圆心，半径为；所以，故A正确； 因为是外接圆的直径，所以其面积为，故B错误； 因为点均在以为直径的圆上，所以其圆方程为， 化简得，将两圆方程相减得直线的方程：，故C正确； 由选项C知，直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 曲线在处的切线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据偶函数的定义判断即可；选项B：对原函数进行求导，判断函数的单调性，进而判断是否存在周期性；选项C：根据函数的单调性即可求出最值；选项D：求出及，利用直线点斜式求解即可. 【详解】由题可知的定义域为. 选项A：，所以是偶函数，故A正确； 选项B：. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由选项A可知，是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增； 所以不存在非零，使得，即不可能是周期函数，故B错误； 选项C：由选项B可知，在时取得最小值，此时， 所以函数的值域为，故C正确； 选项D：因为，， 所以曲线在处的切线方程是，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 设数列前项的和为，且，则（ ） A. B. 若各项均为正数，则是等差数列 C. 不可能是等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可得，可判断A；利用的关系式，把转化成关于的递推公式，再因式分解可判断BC；利用递推公式求出通项可判断D. 【详解】对于A，由得，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 于是， 即，整理得， 于是. 因为，所以，即. 所以是等差数列，B正确； 对于C，由于， 数列可能满足， 即是首项为，公比为的等比数列，所以C不正确； 对于D，由， 可或， 当时，因为，所以； 当时，是以为首项，以为公差的等差数列， 所以； 综上：，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目信息得到，代入即可求出答案. 【详解】令，由得， 又因为是定义在上的偶函数，则， 因为当时，， 所以，即. 故答案为：. 13. 已知为等比数列，对于任意正整数，则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列通项公式基本量的计算，判断数列为常数列，即可求解. 【详解】设公比为，则， 代入,(与无关的常数) 即为一个常数列且为等比数列， 所以得. 当时，可得. 所以， 故答案为： 14. 如图，表格中是的一个排列，且满足，则满足条件的方格表共有______张. 【答案】8 【解析】 【分析】由条件可得，根据，推出，再证明，由此确定的可能取值，再求结论. 【详解】因为，， 所以， 所以为或； 所以，即， 所以是的倍数，又，所以， 则，因为互不相同， 所以不能是，只能是， 剩下的数字是，所以， 所以满足条件的方格表共有张. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 因为是正三角形，是的中点，所以， 因为侧面底面，，侧面底面， 所以侧面， 平面，所以， 又，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为，则，，， 所以，， 易得，平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，令，则，， 则， 设二面角的大小为， 则， 则， 所以二面角的正弦值为. 16. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）若曲线有两条过坐标原点的切线，求的取值范围. 【答案】（1）在区间上单调减，在区间上单调增；有极小值，无极大值 （2）或 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，结合极值的概念，可得答案； （2）设出切点并结合导数，写出切线方程，并代入原点，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，，令，解得. 的变化情况如下表所示. 单调减 单调增 所以，在区间上单调减，在区间上单调增. 当时，有极小值无极大值. 【小问2详解】 由（1）得.设切点坐标为， 所以切线的斜率， 所以切线方程为. 又因为切线过原点，所以， 整理得：， 因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根， 所以，解得或. 17. 设锐角的内角所对边分别为，且 （1）若的面积为，求的周长； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合两角和差正弦化简可得，再根据余弦定理及三角形面积公式计算即可求解； （2）记，利用辅助角公式结合正弦型函数性质计算即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 则， 即， 因为为锐角三角形，所以，得，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 所以，即的周长为； 【小问2详解】 记 由（1）知， ，其中， 此时 ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 18. 在正三角形的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为，跳向另外两点的概率均为.假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点处做第一次跳动. （1）求经过2次跳动后，机器蛙在顶点处的概率； （2）求经过次跳动后机器蛙在顶点处的概率； （3）记由前次跳动导致机器蛙在顶点处停留的总时间为随机变量（分钟），求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出第1次跳动后机器蛙在，，处的概率，再以第1次跳动的结果为基础，分类计算第2次跳到处的所有路径，计算出每种路径的概率相加即可. （2）由跳动规则的对称性得到，，分析出第次跳动后在出的概率，经变量代换后结合等比数列求解即可. （3）计算出，将总停留时间拆分为个独立事件，根据结合等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 记第次跳动后机器蛙在，，处的概率分别为，，. 第1次跳动后的概率为：，，. 经过2次跳动后，机器蛙在顶点处有三种路径： 第1次在，第2次从跳到； 第1次在，第2次在原地跳；第1次在，第2次从跳到； 所以. 【小问2详解】 因为机器蛙从出发，且在任意定点的跳动规则是统一的， 所以跳到的路径与跳到的路径在概率计算上是完全镜像的，即，且. 经过次跳动后机器蛙在顶点有三种路径：第次在，第次从跳到； 第次在，第次从跳到； 第次在，第次在原地跳； 则 . 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知. 由题意可知，当第次跳动后在A处时，，其他情况， 所以停留的总时间， 所以. 而， 所以 . 故. 19. 在平面直角坐标系中，如果 ，则 的面积 .已知椭圆 的离心率为 ，左右顶点分别为. 为椭圆上异于 的任意一点，过点 作 的垂线 ，过点 作 的垂线 ，直线 与 交于点 . （1）求椭圆 的方程； （2）求点 的轨迹方程； （3）求 的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求椭圆方程；（2）根据直线位置关系列出斜率关系式整理得到轨迹方程即可；（3）先设出两点的坐标，找到所求式子与之间的关系得出关系式，再构造新函数，得到新函数的最大值，最后代入到所求式子中即可得到最大值. 【小问1详解】 由题可得：， 所以 ，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为在椭圆上，所以 . 因为 ， 所以 ． 设，则有， 化简得的轨迹方程为. 【小问3详解】 由椭圆的对称性，不妨设 ． 由（2）中条件可知四点在以为直径的圆上，且的中垂线为轴，故圆心为与轴的交点， 从而，即，所以， 得，， 所以 ． 令 ， 则 ， 解得 ， 当 时，， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $