精品解析：吉林省长春市博硕学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 1540°角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求得与终边相同，再结合的终边在第二象限即可判断. 【详解】因为，所以与终边相同， 因为的终边在第二象限，所以的终边在第二象限. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式和根式有意义的条件列出不等式组，求解即得. 【详解】由有意义，可得，解得且. 故该函数的定义域为. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合函数图象平移变换判断即可. 【详解】由于， 所以函数图象向右平移个单位即可得到的图象. 故选：D 5. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】因为，， ，， 所以在上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】由， 故选：D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 8. 若函数在上是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，指数函数及一次函数的性质，建立不等式组，解不等式即可解. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式的解集为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以不等式的解集为，所以A正确， 对于B，因为， 所以方程的两根为， 所以不等式的解集为，所以B错误， 对于C，因为， 所以不等式的解集为，所以C正确， 对于D，因为， 所以方程的根为， 所以不等式的解集为，所以D错误， 故选：AC 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 在内的值域为 C. 在定义域上单调递减 D. 的图象关于轴对称 【答案】AB 【解析】 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； ，，由②，，，故B正确； ③，故C错误； ①③联立解得，所以，，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 13. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 【答案】 【解析】 【分析】确定扇形的圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得该公园护栏的总长度. 【详解】因为，所以，扇形的圆心角为，半径为， 所以，该花园的护栏的总长度为. 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在区间上单调递增， 由，得，解得. 由，得，解得或. 所以，即或解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即得； （2）利用指数幂的运算法则计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）利用对数函数的单调性求解不等式. 【小问1详解】 由，解得，则函数的定义域为，关于远点对称， 因为，所以函数是奇函数； 【小问2详解】 函数在上单调递增，而， 因此不等式，则，解得， 所以不等式的解集. 17. 已知幂函数在上单调递增． （1）求m的值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值. （2）讨论对称轴与区间的关系，再借助函数的单调性求得在上的最小值． 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，，函数的图象对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则， 所以. 18. 已知函数. （1）若，求在区间上的最大值和最小值； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）最大值为3，最小值为2 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，令，将问题转化为二次函数求最值问题得解； （2）令，原不等式可化为，对任意的成立，分离参数结合基本不等式可得解. 【小问1详解】 当时，，， 令，则，，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当，即时，函数也就是取得最小值，， 当，即时，函数取得最大值，. 【小问2详解】 在上恒成立，即，令， 原不等式可化为，对任意的成立， 可转化为，对任意的成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以即可， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像先求出周期即可得，由和即可求出和； （2）令即可求出函数的对称轴方程，令，即可求出函数的对称中心的横坐标，纵坐标为0； （3）函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质得解出即可. 【小问1详解】 由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得 故函数的解析式为； 【小问2详解】 令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数图象的对称中心的坐标为； 【小问3详解】 当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 1540°角的终边在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若函数在上是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式的解集为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 在内的值域为 C. 在定义域上单调递减 D. 的图象关于轴对称 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则______． 13. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 17. 已知幂函数在上单调递增． （1）求m值； （2）当时，求函数最小值． 18. 已知函数. （1）若，求在区间上的最大值和最小值； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数解析式； （2）求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $