精品解析：辽宁省沈阳市五校2026届高三上学期期末联考数学试题

2025—2026学年度上学期期末考试高三年级数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和模长公式计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故选：D. 2. 已知条件：，条件q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解出p和q对应x的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义即可求解． 【详解】对于： ， 则，解得， 对于q：，则， ，解得， 所以p是q的充要条件． 故选：C． 3. 已知圆C：，若直线：与圆C相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何性质可知圆心到直线的最大距离为，从而可求出的最小值. 【详解】由直线：， 所以可得直线必过定点， 又由圆C：， 可得圆心，半径， 由点到圆心距离为， 所以点到直线：的距离， 则，经验证此时值存在. 故选：B. 4. 下列函数中，最小正周期是π的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角恒等变换、三角函数的周期性、奇偶性求得正确答案． 【详解】对于A，，最小正周期是，故A不符合题意； 对于B，令， 所以是函数的一个周期，所以的最小正周期不是，故B不符合题意； 对于C，令， 易知，， ，则周期不是π，故C不符合题意； 对于D，， 最小正周期是，是偶函数， 故D符合题意． 故选：D． 5. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式，结合等差中项即可求得公比，再结合正项数列，可得，从而可求得比值. 【详解】设等比数列的公比为，则由，，成等差数列，可得：， 因为，所以，解得， 又因为等比数列中，各项都是正数，所以，即， 则. 故选：C 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各选项，结合相关系数、分位数、正态分布、方差的性质判断正误. 【详解】A：线性相关程度越强时，相关系数的绝对值越接近1，负相关时会接近，故A错误. B：将数据排序为1，2，4，5，6，7，8，9，分位数对应的位置为，取第个数为，故B错误. C：正态分布中越大，数据离散程度越高，区间内的概率越小，故C错误. D：原4个数据的，加入数据5后，新方差为，故D正确. 故选：D 7. 在中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边的关系，再利用余弦定理结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】由，可得， 根据余弦定理，可得， 所以，即. 由，当且仅当，即时取等号. 故选：B 8. 已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确函数的解析式，分和，结合复合函数单调性进行讨论，可求实数的取值范围. 【详解】因为函数与函数（且）互为反函数， 所以（且）. 所以. 设，， 当时，在上单调递减，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递减， 所以. 又，所以. 结合，所以. 当时，在上单调递增，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以不成立. 综上可知：. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有三个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D. 【详解】，， 当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A错误，B正确； 由，得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 设切点为，则，故切线方程为， 又过点，所以，整理得， 即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确． 故选:BCD． 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D. 【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列， 所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对； 由，则， 所以， 所以，D对. 故选：BCD 11. 若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据边长，分析四面体由3种情况：（1）1边为1，其他5边为2；（2）2边为1，其他四边为2；（3）3边为1,3边为2. 对于（1）（2），取AB的中点为E,连结CE，DE，计算，即可求体积； 对于（3）过D作DO垂直底面于O,，直接求底面积和高，即可求体积. 【详解】因为四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，所以四面体的各棱长可以为（1）1边为1，其他5边为2；（2）2边为1，其他四边为2；（3）3边为1,3边为2. （1）当四面体的各棱长为1边为1，其他5边为2；如图示： 不妨设,其他5边为2； 取AB的中点为E,连结CE，因为BC=AC=2, 所以CE⊥AB且； 同理可证：DE⊥AB且. 又，所以AB⊥面.所以. 在△CDE中，取CD中点F，连结EF,则EF⊥CD,且, 所以 所以 （2）当四面体的各棱长为2边为1，其他四边为2；由于三角形两边之和大于第三边，只能是对边为1，如图示：不妨设,其他4边为2； 取AB的中点为E,连结CE，因为BC=AC=2, 所以CE⊥AB且； 同理可证：DE⊥AB且. 又，所以AB⊥面.所以. 在△CDE中，取CD中点F，连结EF,则EF⊥CD,且, 所以 所以 （3）当四面体的各棱长为3边为1,3边为2；由于三角形两边之和大于第三边，只能是三条底边为1，侧棱为2，如图示：不妨设,； 则四面体ABCD为正棱锥，过D作DO垂直底面于O,则O为三角形ABC的中心， 所以， 所以. 而 所以. 故选：ACD 【点睛】立体几何中求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点为的外心，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，把所求数量积中的化为，展开，结合向量投影知识得解． 【详解】解：如图，取的中点，则 则 ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆的弦中点性质，还考查了平面向量的运算及向量投影的概念，考查转化能力及计算能力，属于中档题． 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由和事件的概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】由，可知， 又，可得， 由，可得， 所以. 故答案为： 14. 已知、是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，分、两种情况，分别求解，根据双曲线的几何性质，即可求得的值，代入离心率公式，即可求得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，右焦点， 则点到渐近线即的距离为：. 根据图形位置，可分两种情况： 如图1： 在直角中，，，， 设，则， 因为，所以. 在直角中，，，而，则. 又，即. 所以. 如图2： 在直角中，，，， 设，则. 因为，所以. 在直角中，，，而，则. 又，所以. 所以. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，其中. （1）求函数的值域； （2）若在区间内单调递减，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数化简为正弦型函数，结合正弦函数的值域求解； （2）确定函数的单调递减区间，结合已知区间的包含关系，求解的范围. 【小问1详解】 ， 因，故，则. 【小问2详解】 的单调递减区间满足（）， 解得，的单调递减区间为 要求， 则，①， 由于，，所以时，①无解， 当时，①解得， 当时，，①无解， 所以的范围是 . 16. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可. 【详解】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，. . （2） 的可能取值为. ， ， . 故的分布列为 2 3 4 5 所以. 考点：1.概率的求解；2.期望的求解. 17. 如图，在三棱锥中，，，，，，，，，的中点分别为，，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为空间向量的一组基底，利用空间向量证明，，再利用线面垂直判断面面垂直. （2）找出二面角的平面角，利用空间向量可求二面角的正弦值. 【小问1详解】 如图：连接. 因为，为中点，所以. 所以. 在中，. 取为空间向量的一组基底， 则，，，，， . 又，，, 所以， ， 所以，，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 设，，连接. 因为分别为中点，所以分别为和的重心， 所以，所以. 由（1）得，平面，平面，所以，， 所以即为二面角的平面角，设为， 又， 所以， 又，， ，. 所以 所以. 所以. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点E满足直线与的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点的直线交C于P，Q两点， （i）求的最小值； （ii）过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M.证明：存在定点N，使得为定值. 【答案】（1），曲线为椭圆除去这两个点； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设动点，由直线与的斜率之积为及，可知，利用斜率公式求出，，由得到的方程即为所求. （2）（i）过点的直线交C于P，Q两点，①当直线不存在斜率时，求出直线的方程，从而求出的值；②当直线存在斜率时，设直线的方程为点斜式，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，得到，设，根据根与系数的关系写出，利用弦长公式求出，利用求出的范围，从而得到的最小值.（ii）由过点的直线交C于P，Q两点，设的直线方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，根据根与系数的关系得到，通过求出解出，利用点斜式写出直线的方程，从而得到直线恒过定点，由得到为直角三角形，取的中点，得到，故为定值. 【小问1详解】 设动点，直线与的斜率之积为， ，，， ，， ，，，， 的方程为，曲线为椭圆除去这两个点. 【小问2详解】 （i）过点的直线交C于P，Q两点， ①当直线不存在斜率时，直线的方程为，将代入， 解得，则，解得， ②当直线存在斜率时，设直线的方程为， 联立，消去，得到关于的一元二次方程， 整理得到，即， 过点的直线交C于P，Q两点，， ，，， 设， 过点的直线交C于P，Q两点， 的解为，， ， ， ，，，， ，， 综合①②，，. （ii）过点的直线交C于P，Q两点，的方程为， 与轴不重合，设的直线方程为， 联立，消去，得到关于的一元二次方程， 整理得到， 设， 过点的直线交C于P，Q两点， 是的两个根， ，， ， 过点P作直线的垂线，垂足为，， 是：上的点，，， ，， ，， 直线的方程为，整理得到， 直线恒过定点， ，为直角三角形， 取的中点，则， 故为定值，综上可知，存在定点N，使得为定值. 19. 已知函数，. （1）直线过点且与相切，求直线的方程； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，再设出切点坐标，得到相关方程，解出切点坐标即可得到切线方程； （2）分离参数得，设新函数并多次求导得到其值域即可得到范围； （3）取得，再令，从而得到一系列不等式，累加后再进行指对互换即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 设是上的一点， 则过点的切线方程为， 又因为在直线上， 所以，解得， 所以直线为. 【小问2详解】 当时，等价于， 设，则， 设，则， 在上单调递减， 在上单调递减，， 的取值范围是 【小问3详解】 由（2）取，当时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，得， ，， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末考试高三年级数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知条件：，条件q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆C：，若直线：与圆C相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 下列函数中，最小正周期是π的偶函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 7. 在中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有三个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点为的外心，且，则_____． 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 14. 已知、是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，其中. （1）求函数的值域； （2）若在区间内单调递减，求的取值范围. 16. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 17. 如图，在三棱锥中，，，，，，，，，的中点分别为，，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点E满足直线与的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点的直线交C于P，Q两点， （i）求的最小值； （ii）过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M.证明：存在定点N，使得为定值. 19. 已知函数，. （1）直线过点且与相切，求直线的方程； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $