第15章《轴对称图形与等腰三角形》期末复习专项训练 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

2025-2026学年沪科版八年级上学期数学期末 第15章《轴对称图形与等腰三角形》复习专项训练 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽六安·期末）以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点是边上的中点，，则 ． 12．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为 ． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 19．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ； （2）当时， 20．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 三、解答题 21．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 23．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 24．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 25．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． (1)若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知C为的中点，且，求的长． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 27．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D D B B B D 1．B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2．D 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解相邻的内角为，即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得，是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴在中斜边， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， 故D选项符合题意； ，无法证明， 故B、C选项不符合题意； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，延长与交于点，证明得到，，结合，得到垂直平分，则，即可得到． 【详解】解：延长与交于点， ∵， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据各个条件画出图形判断即可． 【详解】解：①一条边上的高线与这条边上的中线重合， 如图，，，则垂直平分， ∴， ∴①一条边上的高线与这条边上的中线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，，平分，则，， ∴， ∴， ∴②一条边上的高线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，延长至点E，使， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴③一条边上的中线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解． 【详解】解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点， ， 是等腰三角形， 作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形， 所以，动点的个数有5个， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 10．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 11．/33度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据“三线合一”可得答案． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、三角形外角的性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 先利用垂直平分线的性质求出，，再运用三角形外角的性质求出，最后通过所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点，，， ∴，． ∵是的外角， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 13．/50度 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．注意掌握整体思想的应用．利用垂直平分线的性质求，则，，则，再利用三角形的内角和计算． 【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，则， 设度， ，则， 设， ， ， 根据三角形内角和定理，， 解得． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得到，是解题关键． 【详解】解：延长交于点E如图： ，平分， ， ， ， ，， ， 的面积为4， ， 故答案为：8． 16．7 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，证，推出，求出，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 17． 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18． 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 19． 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数； （2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，， ， 为中点， ， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：90； （2）当时，如图2所示： 设， 是的外角， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 是的外角， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 解得：， 故答案为： 20． 3 【分析】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短，三角形的面积，三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出，再利用三角形的外角的性质求解； （2）如图，在上截取线段，使得，过点B作于点H．利用三角形面积公式求出，再根据垂线段最短求解． 【详解】解：（1）平分，， ． ． （2）如图，过点B作于点G，交于点，则． 平分， ． ，即点与点B关于对称． 过点作于点N，交于点M， 由轴对称的性质可知，点M即为使最小的点，． 过点B作于点E． ，解得． ， 是等腰三角形， ，即的最小值是3 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数），找出各顶点的对称点，再顺次连接得到对称三角形． （2）利用轴对称的性质，将四边形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，通过作对称点，连接对称点得到直线，求直线与坐标轴交点来确定、坐标 ． 【详解】（1）解：如图所示的和即为所求作； （2）解：如图，连接交轴于点，交轴于点，则点，即为所求作.设直线的函数表达式为， 将点，分别代入得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得； 当时，解得． ∴点，的坐标分别为，． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换（关于坐标轴对称的点的坐标变化规律）以及利用轴对称解决最短路径问题（两点之间线段最短），熟练掌握轴对称的性质和坐标变换规律、两点之间线段最短是解题的关键． 22．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据角平分线的性质，可以得到，，然后根据可以得到和全等，从而可以得到． 【详解】证明：是的平分线，，，垂足分别为、， ，，， 又， ， 在和中， ， ， ． 23．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 24．(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 25．(1) (2)的度数为 (3) 【分析】（1）在等腰中，利用两个底角相等，直接表示出来的度数即可； （2）首先利用等边三角形和等腰三角形的性质，将表示为，即可结合（1）中的结论进行求解； （3）首先构造合适的辅助线得到全等三角形，再将与的线段关系表示为三角形面积关系，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：如图所示，连接，，过点C作于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，合理构造辅助线和将线段比例用三角形面积的比例表示出来是解题的关键． 26．(1)当的值为3时 (2)当的值为4时，为等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形，， ，，，， ， 是等边三角形， ， ． 由题意可知：， 则， ． ∴当的值为3时，． （2）解：如图2，①当点在边上时， 此时，， ∴不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形， 则． 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，以动点问题为背景，根据等边三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 27．(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 28．(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解； （3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及 可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，过点作于点，作， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴，且， ∴， ， ∴， ， ， ∵与面积之和为5， ， ， ， 设，则， ， ， 如图，作交于， ∵是角平分线， ，， ， 平分， ， ， （）， ， ， ，， （）， ， ， 解得， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $