精品解析：河北省张家口市桥东区2025--2026学年上学期九年级数学期末考试试卷

九年级数学学科学业水平质量监测 （2026.1） 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图所示物体的影子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从正方体毛坯的一角，挖去一个小正方体，得到一个如图所示的零件，则下列不属于这个零件三视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（ ）． A. B. 3 C. D. 4 6. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 顶点坐标为 C. 有最小值3 D. 向右平移2个单位后的解析式为 9. 一篇文章，嘉淇输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，嘉淇原来20分钟输入完成，改变输入方法后，嘉淇每分钟输入100个字，则改变输入方法后（ ） A. 提前了5分钟 B. 提前了10分钟 C. 提前了15分钟 D. 落后了5分钟 10. 如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边 ，则这个正方形木板的边长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，花园边墙上有一宽为 的矩形门，量得门框对角线的长为 ，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 14. 在同一直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数的图象没有公共点，则______0． 15. 如图，在中，，点I是内心，则__________． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． （1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________； （2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 19. 如图，D，E分别是的边，上的点，， ，且． （1）求证：； （2）若的面积为8，求的面积． 20. 一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮． （1）用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹） （2）求车轮的半径是多少？ 21. 高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图（2）中， ． （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（3）杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）： ① ； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 22. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若 ，求与线段的长度，并比较二者的大小． 23. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 24. 四边形中，，，，，．点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，设． （1）的最小值为________，此时________； （2）在点随点运动的过程中， ①若点恰好落在边上，如图2，求的值； ②连接，若，如图3，求的值； （3）当点Q到的距离为1时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科学业水平质量监测 （2026.1） 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图所示物体的影子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了投影的意义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平行投影，中心投影，解答即可． 【详解】解：根据题意，得太阳光线是平行的，中心投影的光线是相交的，且交点在光源处， 故A错误，B、C、D是正确的； 故选：A． 2. 从正方体毛坯的一角，挖去一个小正方体，得到一个如图所示的零件，则下列不属于这个零件三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查空间几何体的三视图：主视图、左视图和俯视图．从正面看空间物体得到的平面图形是主视图、从左面看空间几何体得到的平面图形是左视图、从上面看空间几何体得到平面图形是俯视图，由三视图的定义逐项验证即可得到答案，熟记常见空间几何体的平面图形，培养空间想象力是解决问题的关键． 【详解】解：观察可知，A是主视图，B是左视图，C是俯视图，只有D不是其三视图． 故选：D． 3. 如图，在中，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求出的长，再根据三角函数的定义，进行计算，判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴，，，； 故只有选项C正确； 故选C． 4. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，再利用概率公式求解即可 【详解】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种， 则配得紫色的概率是， 故选：D． 5. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（ ）． A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，由题意可判断出四边形是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出，则平行四边形是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段的长即可． 【详解】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，． 故选：A． 6. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：D 7. 已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，平面直角坐标系中点坐标的特点等知识点，掌握这些是解题的关键． 点在第四象限，故 且，再根据一元二次方程根与系数的关系，逐一验证各选项即可． 【详解】解：点在第四象限， ， A. ，，故A不符合题意； B. ，，故B符合题意； C. ，，故C不符合题意； D. ，，故D不符合题意； 故选：B． 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 顶点坐标为 C. 有最小值3 D. 向右平移2个单位后的解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，根据顶点式的图象和性质，以及平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数有最小值为3， 当抛物线向右平移2个单位时，新的抛物线的解析式为； 综上，只有选项C正确； 故选：C． 9. 一篇文章，嘉淇输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，嘉淇原来20分钟输入完成，改变输入方法后，嘉淇每分钟输入100个字，则改变输入方法后（ ） A. 提前了5分钟 B. 提前了10分钟 C. 提前了15分钟 D. 落后了5分钟 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式，再将代入函数关系式可得变输入方法后所用时间，前后时间进行比较即可得出结论． 【详解】解：设， 把代入得，， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 将代入得，， （分钟）， ∴改变输入方法后提前了5分钟． 故选：A． 10. 如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边 ，则这个正方形木板的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键，设正方形的边长为，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形木板的面积为，直角边 ， ∴， ∴ ， ∵正方形， ∴， 设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 故这个正方形木板的边长为； 故选A． 11. 如图，花园边墙上有一宽为 的矩形门，量得门框对角线的长为 ，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形面积、勾股定理、含直角三角形、等边三角形的判定与性质． 先利用勾股定理得到矩形长、宽，再判定是等边三角形，求出，间接表示不规则图形面积，代值求解即可得到答案，熟练掌握含直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及扇形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：，， 在中，由可知， 则勾股定理可得， ， 连接交于，如图所示： 由矩形性质可知，则是等边三角形， ， 要打掉墙体的面积是：， 故选：B． 12. 如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由 ，知点在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵ ， ∴点Q在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】解：将代入得，， 解得 ， 故答案为：． 14. 在同一直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数的图象没有公共点，则______0． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象以及系数的关系解答即可． 【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点， ∴、异号， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 15. 如图，在中，，点I是内心，则__________． 【答案】##122度 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线及内心、三角形的内角和定理，熟知三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得，再根据内心定义求得，然后再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴ 、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时， ， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当 时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当 时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【详解】解：原式． 18. 经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． （1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________； （2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确的画出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 列表或画树状图正确 直行 左拐 右拐 直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐） 左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐） 右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐） 一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐） 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是． 19. 如图，D，E分别是的边，上的点，， ，且． （1）求证：； （2）若的面积为8，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． （1）运用夹角相等，两边对应成比例的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮． （1）用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹） （2）求车轮的半径是多少？ 【答案】（1）图见解析 （2）车轮的半径是 【解析】 【分析】本题考查尺规作图找三角形的外心，垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． （1）连接和，分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O； （2）连接，，设车轮的半径为，则，由垂径定理可得，，在直角中，使用勾股定理构造方程，解出x的值． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求的圆心； 【小问2详解】 解：如图，连接，，设车轮的半径为， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴、、三点共线， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， 答：车轮的半径是 ． 21. 高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图（2）中， ． （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（3）杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）： ① ； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）①54 ②乘客水杯的最大高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． （1）作 ，由题意可知， ，则．结合 ，可以计算出； （2）①由（1）可知，，使用平角的性质求出； ②过点E作的垂线，交于点F，根据正切函数的定义，，加上凹槽的，就是乘客水杯的最大高度． 【小问1详解】 解：如图，作 ， 由题意可知， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，， ∴， 故答案为：； ②如图，过点E作的垂线，交于点F， 在直角中，， ∴， ∵， ∴乘客水杯的最大高度为． 22. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若 ，求与线段的长度，并比较二者的大小． 【答案】（1）， 理由如下： 如图，连接 ， 是的切线， ，即 ． 点是的中点， ， ， ，即； （2）的长 ，，的长 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，弧长公式： （1）连接 ，由是的切线可得 ，根据点是的中点和圆周角定理，推出 ，进而得到 ，根据平行线的性质即可求解； （2）由 可得 ，根据弧长公式求出，由 ，可得 ，得到 ，根据勾股定理可求出，最后比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ∴ ， ， 的长 ， ， ， ， ， ， ， ∴的长 ， 综上，的长 ，，的长 ． 23. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）230，45 （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线 ，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； 【小问2详解】 解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得 或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 24. 四边形中，，，，，．点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到，设． （1）的最小值为________，此时________； （2）在点随点运动的过程中， ①若点恰好落在边上，如图2，求的值； ②连接，若，如图3，求的值； （3）当点Q到的距离为1时，直接写出的值． 【答案】（1）6；2 （2）①4；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，取最小值，此时证明四边形 为矩形，进而解得，的值，然后由勾股定理求解即可； （2）①当点恰好落在边上时，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得 ，即可获得答案； ②过点作 于点，过点作于点，易得，易得，，再证明，由相似三角形的性质可解得； （3）分当点Q在的上方时和当点Q在的下方时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，取最小值，如图 ， ∵，，， ∴， 当时，则， ∴四边形 为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在 中，， ∴的最小值是6． 故答案为：6；2； 【小问2详解】 解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图2， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 由（1）可知，此时，， ∴， ∴，即的值为4； ②过点作 于点，过点作于点，过点作于点，如图3， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 当点Q在的上方时，作于点H，作于点E，作 于点F，则， 同（2）①可证， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 当点Q在的下方时，作于点H，作于点E，作 于点F，则， 同（2）①可证， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 综上可知，当点Q到的距离为1时，的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，分类讨论是解（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $