专题01三角形内角和定理寒假预习题型突破讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理寒假预习题型突破讲义 【6常考题型共计42题】 题目整体难度定位 题目整体属于 “基础巩固 — 中等综合 — 偏难拓展” 的梯度化题型，核心以 中等难度题目为主（占比约 60%-70%），兼顾基础题（20%-30%）和少量偏难题（10%），符合初中几何 “基础必考点 + 综合应用” 的考查逻辑。 适用场景：寒假预习（提前掌握核心考点）、学期中复习（巩固综合应用）、考前题型突破（针对性解决常考难点）。 考查频率与题型 属于初中几何基础必考点，在北师大版教材体系中，是三角形相关知识的核心，期中、期末必考，中考中也会作为基础知识点融入综合题。 题型分布：以选择题、填空题为主，侧重基础计算；解答题中常与平行线、角平分线、三角形外角性质等结合考查，难度中等。 核心考查方向 基础计算：已知两角求第三角，结合角平分线、直角三角形性质算角度。 形状判定：根据内角度数 / 比例，判断锐角、直角、钝角三角形。 综合应用：与平行线、外角定理等结合，考角度推理与证明。 定理推导：少数考辅助线作法 + 内角和定理证明过程。 命题趋势 单独考查少，多融入四边形、圆等复杂图形，作为解题关键步骤。 结合生活场景（如测角、零件角度计算），考知识实际运用。 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 平行线与三角形内角和的综合问题 题型03 角平分线与三角形内角和的综合问题 题型04 三角形内角和定理的应用 题型05 三角形折叠中的角度计算 题型06 三角形的外角的定义及性质 一.定理内容 三角形三个内角的和等于 180°。 几何语言：在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 二、 定理的推导与证明 1. 实验验证法（直观感知，适合预习） 测量法：用量角器分别测量任意三角形的三个内角，计算度数之和，结果接近 180°（存在测量误差） 剪拼法：将三角形的三个内角剪下来，顶点重合，可拼接成一个平角（平角为 180°） 折叠法：将三角形的三个内角向内折叠，三个角的顶点重合，同样能拼成一个平角 2. 严谨证明法（几何推理，中考考点） 核心思路：通过作辅助线，将三角形的三个内角转化为一个平角，或利用平行线的性质进行角度代换 三、 定理的推论（由定理直接推导的重要结论） 推论 1：直角三角形的两个锐角互余 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，则 ∠A+∠B=90∘ 推论 2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 符号语言：∠ACD是△ABC 的外角，则 ∠ACD=∠A+∠B 推论 3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 符号语言：∠ACD是△ABC 的外角，则 ∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 推论 4：任意三角形中，最多只有一个直角或一个钝角 .推理依据：三个内角和为 180°，若有两个直角或钝角，内角和会超过 180° 四.定理的核心应用 已知三角形任意两个内角的度数，求第三个内角的度数。 公式变形：∠A = 180° − ∠B − ∠C。 判断三角形的形状（按角分类）： 1 若三角形中有一个角是 90°，则为直角三角形； 2 若三角形三个角都小于 90°，则为锐角三角形 3 若三角形中有一个角大于 90°，则为钝角三角形。 结合角平分线、平行线等知识，进行角度的计算与证明。 五.易错点提醒 1.三角形内角和定理适用于任意三角形（锐角、直角、钝角三角形均成立）。 2.辅助线是解题的辅助工具，作图时要用虚线表示，且需要在解题步骤中说明作法。 3.注意区分 “内角” 和 “外角”，避免将外角性质与内角和定理混淆。 六.拓展延伸（外角性质关联） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，5.该性质可由内角和定理推导得出，常与内角和定理结合使用。 . 【题型1.三角形内角和定理的证明】 1．下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 2．如图，，，为三角形的内角，求： ． 3．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ． 4．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．    5．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 6．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 解答题 7．某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【题型2.平行线与三角形内角和的综合问题】 8．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 11．如图，，，，则 ． 12．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 13．如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 解答题 14．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【题型3.角平分线与三角形内角和的综合问题】 15．如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．如图，是的角平分线，是高，，，则的度数为 ． 17．如图，中，平分平分，则 ． 18．如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ． 19．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 20．如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解答题 21．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【题型4.三角形内角和定理的应用】 22．如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 23．如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 24．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 25．如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 26．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为 ． 解答题 28．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 【题型5.三角形折叠中的角度计算】 29．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 30．如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 32．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 33．如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 34．如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为 ． 解答题 35．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【题型6.三角形外角的定义及性质】 36．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 故选：． 37．如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 39．如图，已知直线，的顶点A在直线a上，，，若，则的度数是 ． 40．如图所示，，，，，，则（  ） A． B． C． D．无法计算 41．如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 解答题 42．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理寒假预习题型突破讲义 【6常考题型共计42题】 题目整体难度定位 题目整体属于 “基础巩固 — 中等综合 — 偏难拓展” 的梯度化题型，核心以 中等难度题目为主（占比约 60%-70%），兼顾基础题（20%-30%）和少量偏难题（10%），符合初中几何 “基础必考点 + 综合应用” 的考查逻辑。 适用场景：寒假预习（提前掌握核心考点）、学期中复习（巩固综合应用）、考前题型突破（针对性解决常考难点）。 考查频率与题型 属于初中几何基础必考点，在北师大版教材体系中，是三角形相关知识的核心，期中、期末必考，中考中也会作为基础知识点融入综合题。 题型分布：以选择题、填空题为主，侧重基础计算；解答题中常与平行线、角平分线、三角形外角性质等结合考查，难度中等。 核心考查方向 基础计算：已知两角求第三角，结合角平分线、直角三角形性质算角度。 形状判定：根据内角度数 / 比例，判断锐角、直角、钝角三角形。 综合应用：与平行线、外角定理等结合，考角度推理与证明。 定理推导：少数考辅助线作法 + 内角和定理证明过程。 命题趋势 单独考查少，多融入四边形、圆等复杂图形，作为解题关键步骤。 结合生活场景（如测角、零件角度计算），考知识实际运用。 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 平行线与三角形内角和的综合问题 题型03 角平分线与三角形内角和的综合问题 题型04 三角形内角和定理的应用 题型05 三角形折叠中的角度计算 题型06 三角形的外角的定义及性质 一.定理内容 三角形三个内角的和等于 180°。 几何语言：在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 二、 定理的推导与证明 1. 实验验证法（直观感知，适合预习） 测量法：用量角器分别测量任意三角形的三个内角，计算度数之和，结果接近 180°（存在测量误差） 剪拼法：将三角形的三个内角剪下来，顶点重合，可拼接成一个平角（平角为 180°） 折叠法：将三角形的三个内角向内折叠，三个角的顶点重合，同样能拼成一个平角 2. 严谨证明法（几何推理，中考考点） 核心思路：通过作辅助线，将三角形的三个内角转化为一个平角，或利用平行线的性质进行角度代换 三、 定理的推论（由定理直接推导的重要结论） 推论 1：直角三角形的两个锐角互余 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，则 ∠A+∠B=90∘ 推论 2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 符号语言：∠ACD是△ABC 的外角，则 ∠ACD=∠A+∠B 推论 3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 符号语言：∠ACD是△ABC 的外角，则 ∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 推论 4：任意三角形中，最多只有一个直角或一个钝角 .推理依据：三个内角和为 180°，若有两个直角或钝角，内角和会超过 180° 四.定理的核心应用 已知三角形任意两个内角的度数，求第三个内角的度数。 公式变形：∠A = 180° − ∠B − ∠C。 判断三角形的形状（按角分类）： 1 若三角形中有一个角是 90°，则为直角三角形； 2 若三角形三个角都小于 90°，则为锐角三角形 3 若三角形中有一个角大于 90°，则为钝角三角形。 结合角平分线、平行线等知识，进行角度的计算与证明。 五.易错点提醒 1.三角形内角和定理适用于任意三角形（锐角、直角、钝角三角形均成立）。 2.辅助线是解题的辅助工具，作图时要用虚线表示，且需要在解题步骤中说明作法。 3.注意区分 “内角” 和 “外角”，避免将外角性质与内角和定理混淆。 六.拓展延伸（外角性质关联） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，5.该性质可由内角和定理推导得出，常与内角和定理结合使用。 . 【题型1.三角形内角和定理的证明】 1．下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，根据三角形外角的性质和内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和大于它的内角和，故符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故不符合题意 C、三角形的内角不一定小于它的外角，故不符合题意； D、三角形的外角和是，故不符合题意； 故选：A． 2．如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理、平行线的性质．根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 5．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 6．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判断①；在上取一点N，使，证得，得到，再证得，得到，进而判断②正确；作于H，于M，根据三角形的面积可证得③错误． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴， ， 故①正确． ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点N，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故②正确． 作于H，于M， ∵和的平分线，相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴． 故③错误． 故选：A． 解答题 7．某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【答案】可行，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，即，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：可行．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴．即测得的长就是该段渭河的宽度． ∴这几名同学的测量方案可行． 【题型2.平行线与三角形内角和的综合问题】 8．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 9．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 10．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 11．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 12．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 13．如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，作，证得，由平行线的性质即可判断①；同理可证，再根据角平分线的定义即可判断②；若，则，再由平行线的性质和角平分线的定义可得，由与不一定相等，即可判断③；由角平分线的定义得，即，即可判断④． 【详解】解：①：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设交于点H， 若，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 若，则， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故③不正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 解答题 14．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 【题型3.角平分线与三角形内角和的综合问题】 15．如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．由三角形内角和求得的度数，由角平分线可求得的度数；由高及三角形内角和可求得的度数，则由即可求解． 【详解】解：由三角形内角和得， 由尺规作图知，平分， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 16．如图，是的角平分线，是高，，，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，是高， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．如图，中，平分平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形内角和定理及角平分线定义是解决问题的关键．先由角平分线定义得到，，在和中，由三角形内角和定理，数形结合求解即可得到答案． 【详解】解：平分平分， ，， 在中，，则， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 18．如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：48． 19．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 20．如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题综合考查角平分线的性质与判定、平行线的性质及三角形内角和定理．解题关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合平行线的内错角关系推导角度与线段的等量关系． 通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、平行线的性质（内错角相等）以及三角形内角和定理，逐一分析四个结论的正确性，统计错误结论的个数． 【详解】解：过点P作于点G，连接， ∵平分平分于点N，于点M， ∴， ∴，故①正确； ∵，于点N，于点M， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴，由图可知，故③错误； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：A． 解答题 21．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 【题型4.三角形内角和定理的应用】 22．如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题关键．分别通过三角形内角和定理判断角度是否为，或利用勾股定理逆定理判断边长是否满足，依次判断即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，故不是直角三角形； B．∵， ∴，故不是直角三角形； C．∵， ∴，， ∴，故是直角三角形； D．∵， ∴，， ∴，故不是直角三角形； 故选：C． 23．如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 24．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 25．如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 26．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ． 故选： C． 27．如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，，再分两种情况：当时；当时，此时点与点重合；分别利用三角形内角和定理以及三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，此时点与点重合， ， ∴，且、共线， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 解答题 28．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理； （1）根据题意利用角边角判定定理，证明即可； （2）若，再证明，即可计算的度数 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 【题型5.三角形折叠中的角度计算】 29．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 30．如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 31．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 【答案】 【分析】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【详解】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的性质、矩形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质和角与角之间的关系是解题的关键． 32．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 33．如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何中角度的计算，根据题意利用折叠的性质构造平行线，逐一判断即可． 【详解】如图，当点落在的边上时， ，，．， ， 即为是直角三角形， 当点落在的边上时， ， 同理，， 是直角三角形，故①正确； 当点落在的边上时， ，， ， ，不一定成立，故②错误； 当点落在内部时， 过点作，点作，则， ①当在和之间时， ，， ， ，， ， ， ②当与重合时， ，， ，， ， ③当在的上方时， ，，，， ，，， ， 综上，， 故③正确； 当点落在的边下方时，过点作，点作， ， 则， ， ，， ， ， ； 当点落在的边上方时，过点作，点作， ， 则， ，， ， ， ， ， ， ，即； ，故④正确； 故选：D． 34．如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的面积，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形的面积公式求出的长． 由折叠的性质得到，，，由平行线的性质推出，判定，由三角形的面积公式得到，求出，得到，因此的面积的面积，即可求出的面积． 【详解】解：由折叠的性质得到，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， ， ， 的面积的面积， 由折叠的性质得到得到面积的面积， 的面积． 故答案为：． 解答题 35．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理， （1）直接根据三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解； （3）同（2）求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6.三角形外角的定义及性质】 36．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 37．如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是“数形结合”，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质得到，，再根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图所示；    故选：A． 38．如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 39．如图，已知直线，的顶点A在直线a上，，，若，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．如图所示，，，，，，则（  ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 41．如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小， ∴，， ∵，，，，， ∴ ， ， ∴， 整理得：β． 故答案为：． 解答题 42．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得，. ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $