精品解析：陕西省榆林市子洲县2025-2026学年上学期八年级1月期末数学试题

2025～2026学年度第一学期期末素质教育调研测评 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 1 C. D. π 2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②所示的几何图形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，关于y轴对称，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 7. 若关于的方程的解是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，若图中阴影部分的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：＝__________. 10. 手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为__________． 11. 某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是_____________． 12. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是______． 13. 图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共______张． 14. 如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知的三边长分别为a、b、c，其中，，且c为偶数．求周长． 17. 化简：． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在内找一点P，使得点P到三边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在和中，点D、E分别在上，且，．求证：． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E均在网格格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）点A和点______关于x轴对称，点B和点______关于y轴对称； （2）连接AC、AD、CD构成△ACD，画出△ACD关于y轴对称的．（点A、C、D的对应点分别为点、、） 21. 农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，成立现代新型农业合作社，扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社计划租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天比每台A型号收割机每天多收割10亩，且每台A型号收割机收割200亩玉米所用的时间和每台B型号收割机收割300亩玉米所用的时间相同，求A，B两种型号收割机每台每天分别收割玉米的亩数． 22. 书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） （1）图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； （2）求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 23. 如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理． 24. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线（点Q在上）于点P，连接，过点P作于点D，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： （1）因式分解：______； （2）代数式的最小值为______； （3）若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，．与关于所在直线对称（点A的对应点是点D），连接，交于点O．点E为边的中点，点P、F分别是边上的动点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）在陕西省某地乡村振兴文化广场建设中，工人师傅规划了一个等边三角形绿地，示意图如图2中的，点F是边的中点，连接作为绿地内的主步道，为升级改造绿地，工作人员计划在边上选一点D，修建分支步道，并以为边在其右侧作等边三角形乐园广场，连接，现需沿铺设小路，为节约成本，需使的周长最小．请你帮助工人师傅求出当的周长最小时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末素质教育调研测评 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 1 C. D. π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂． 根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵（），且， ∴． 故选：B． 2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判断，根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②所示的几何图形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算，熟记幂的相关运算法则是解决问题的关键． 根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方和积的乘方运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A：，运算错误，不符合题意； B：，运算错误，不符合题意； C：，运算正确，符合题意； D：，运算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，已知，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形对应边相等即可得解． 【详解】解：，，， ，， ． 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，点，关于y轴对称，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征． 关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等．根据此特征求出m和n的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，纵坐标相等， 即，，解得， ∴． 故选：C． 7. 若关于的方程的解是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程的解代入原方程，求解m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ， ， 解得． 故m的值为， 故选B． 8. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，若图中阴影部分的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可知，可得，由为的中线可得为的中线，从而得，，据此求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴为的中线， ∴， ∵为的中线, ∴为的中线， ∴，， ∴的面积， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 10. 手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米分，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，且设乙同学的速度是米分， 甲同学的速度是米分． 根据题意得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先求出，再由直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 13. 图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共______张． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴要拼出一个长为，宽为 的大长方形需要这3种卡片共张， 故答案为：． 14. 如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据可证明，得，，再证明是等边三角形，得，再由，，，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 整理，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． 16. 已知的三边长分别为a、b、c，其中，，且c为偶数．求周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵的三条边长分别为a、b、c，其中，， ∴，即． ∵c是偶数， ∴， ∴△ABC的周长． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查分式的运算，掌握因式分解，以及分式的运算法则是解题关键． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在内找一点P，使得点P到三边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线和角平分线的性质，分别作和的平分线，它们相交于点P，则根据角平分线的性质可得到点P到三边的距离相等． 【详解】解：如图，点P为所作． 19. 如图，在和中，点D、E分别在上，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明，则，，再由线段和差证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴，， ∴， 即． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E均在网格格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）点A和点______关于x轴对称，点B和点______关于y轴对称； （2）连接AC、AD、CD构成△ACD，画出△ACD关于y轴对称的．（点A、C、D的对应点分别为点、、） 【答案】（1）E；C （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变换——轴对称变换，熟练掌握图形关于某直线对称图形的画法是解题的关键． （1）观察图形解答即可； （2）先根据轴对称的性质确定点、、的位置，然后连线即可． 【小问1详解】 解：由图形可知，点A和点E关于x轴对称，点B和点C关于y轴对称； 故答案为：E；C； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 21. 农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，成立现代新型农业合作社，扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社计划租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天比每台A型号收割机每天多收割10亩，且每台A型号收割机收割200亩玉米所用的时间和每台B型号收割机收割300亩玉米所用的时间相同，求A，B两种型号收割机每台每天分别收割玉米的亩数． 【答案】A型号收割机每台每天收割玉米20亩，B型号收割机每台每天收割玉米30亩． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A型号收割机每台每天收割玉米x亩，则B型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“每台A型号收割机收割200亩玉米所用的时间和每台B型号收割机收割300亩玉米所用的时间相同”列方程求解即可． 【详解】解：设A型号收割机每台每天收割玉米x亩，则B型号收割机每台每天收割玉米亩， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴． 答：A型号收割机每台每天收割玉米20亩，B型号收割机每台每天收割玉米30亩． 22. 书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） （1）图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； （2）求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得， 23. 如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理． 【答案】说明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，．再证明，即可说明米． 【详解】解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴米． 24. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线（点Q在上）于点P，连接，过点P作于点D，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据角平分线的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明得，然后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： （1）因式分解：______； （2）代数式的最小值为______； （3）若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，不等式的性质，完全平方公式等知识点． （1）根据题干方法求解即可； （2）根据题干方法求解即可； （3）先计算，再由配方法将其化为，最后根据平方的非负性和不等式的性质得到，即可比较大小． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，．与关于所在直线对称（点A的对应点是点D），连接，交于点O．点E为边的中点，点P、F分别是边上的动点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）在陕西省某地乡村振兴文化广场建设中，工人师傅规划了一个等边三角形绿地，示意图如图2中的，点F是边的中点，连接作为绿地内的主步道，为升级改造绿地，工作人员计划在边上选一点D，修建分支步道，并以为边在其右侧作等边三角形乐园广场，连接，现需沿铺设小路，为节约成本，需使的周长最小．请你帮助工人师傅求出当的周长最小时的度数． 【答案】（1）12；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确运用轴对称的性质是解答本题的关键． （1）由与关于对称，点E为中点，得点E的对称点为，且是的中点，则的最小值即为的最小值，过点作于点，则的最小值为的长．证明为等边三角形得的值即可； （2）连接，证明，得出点E在射线上运动，作点A关于的对称点M，连接交的延长线于点，得，当点E在点处时，的值最小，即的周长最小．判断是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：（1）由与关于对称，点E为中点，得点E的对称点为，且是的中点，则的最小值即为的最小值， ∵， ∴当取最小值时，取得最小值． 过点作于点，则的最小值为的长． ∵，， ∴． ∵与关于对称， ∴，，易得点O为的中点， ∴， ∴为等边三角形． ∵是边的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点与点A重合． ∴在中，为边上的高，是边上的高， ∴， 即的最小值为12． （2）连接，如图2． ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵点F是边的中点， ∴， ∴点E在射线上运动（）． 作点A关于的对称点M，连接交的延长线于点，如图2， 则， ∴， ∴当点E在点处时，的值最小，即的周长最小． ∵，， ∴是等边三角形， ∵点F是边的中点， ∴． 即当的周长最小时的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $