（寒假讲义-预习篇）第九讲 整式乘法（章节复习）二十大重点考点练+三难度分层练 共55题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第九讲 整式乘法（章节复习） 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1、进一步理解整式乘法、因式分解的意义，进一步熟练掌握整式乘法、因式分解中的平方差公式和完全平方公式； 2、进一步理解掌握整式乘法中运用公式的能力； 3、进一步理解掌握因式分解的一般步骤，提高因式分解的能力．   教学重难点 重点：会运用法则进行整式乘法运算，会对一个多项式进行因式分解． 难点：整式乘法、因式分解中灵活运用公式的能力． 知识点一：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点二：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 考点一：计算单项式乘单项式 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式】（20-21七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，负整数幂，有理数的混合运算． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先计算乘方，负整数幂，再计算乘除即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点二：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【思路引导】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【完整解答】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【完整解答】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 考点三：计算单项式乘多项式及求值 【例3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题考查了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式． （1）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （4）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式】（21-22七年级下·陕西咸阳·月考）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式乘以多项式、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式可得原式等于，再根据积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用可得，然后将代入计算即可得． 【完整解答】解：∵， ∴ ． 考点四：单项式乘多项式的应用 【例4】（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了生活中的平移现象，整式的乘法运算．根据平移，可得路的宽度，根据长方形的面积，可得答案． 【完整解答】解：由题意得这块草地的绿地面积为， 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示出滑梯区和休闲区的面积，再求出它们的和，即可作答． 【完整解答】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 考点五：利用单项式乘多项式求字母的值 【例5】（24-25八年级上·湖南·月考）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【完整解答】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式】．（24-25八年级上·重庆·月考）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【完整解答】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 考点六：计算多项式乘多项式 【例6】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】考查了多项式乘以多项式，解题的关键是牢记运算法则．按照多项式的乘法法则展开运算即可． 【完整解答】解： ． 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若长方体的长为，宽为，高为，则长方体的体积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长乘宽乘高进行列式，然后代入数值计算，即可作答． 【完整解答】解：∵长方体的长为，宽为，高为， ∴ 即长方体的体积为， 故答案为： 考点七：(x+p） (x+q)型多项式乘法 【例7】（25-26八年级上·山西临汾·月考）若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是多项式乘多项式的法则，掌握此知识点是解答此题的关键．先把等式的左边化为的形式，再求出m的值即可． 【完整解答】解：∵，且， ∴， 解得． 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，根据，依题意，则，再解得，即可作答． 【完整解答】解：依题意，， ∵， ∴， 解得 把代入，得， 解得． 故选：C． 考点八：多项式乘多项式—化简求值 【例8】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【思路引导】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【完整解答】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 【变式】（21-22七年级下·四川成都·开学考试）先化简，再求值：，其中,． 【答案】， 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式运算，整式加减运算中的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据多项式乘以多项式运算法则化简，再代入求值即可． 【完整解答】解：原式 ， 当,时，原式． 考点九：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例9】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式的运算、合并同类项以及幂的运算，解题的关键是通过展开多项式乘积找到不含项的系数，建立方程求解参数，再利用幂的运算法则计算代数式的值． （1）先将两个多项式相乘并展开，合并同类项后找出项和x项的系数，根据“不含这两项”可知系数为0，列方程求解m和n的值； （2）将（1）中求得的m和n代入代数式，利用积的乘方、幂的乘方等运算法则化简计算． 【完整解答】（1）解：将多项式相乘并展开： ∵展开式中不含项和x项，故这两项的系数为0． 对于项：解得 对于x项：将代入得解得． ∴ ． （2）解：将代入式子： 【变式】（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【完整解答】（1）解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 考点十：多项式乘多项式与图形面积 【例10】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大； 二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示（单位：米）． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 【答案】(1)回字形福建土楼的占地面积为平方米，山西大院的占地面积为平方米 (2)山西大院的占地面积更大，见解析 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式的运算，根据字母的值求代数式的值，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图形特点，利用多项式乘以多项式运算法则求解； （2）根据，分别求两个代数式的值，比较值的大小，判断哪个建筑物的占地面积更大即可． 【完整解答】（1）解：根据题意得：回字形福建土楼面积为： ； 山西大院的占地面积为： ． （2）解：时， 回字形福建土楼的占地面积； 山西大院的占地面积， 而， 故山西大院的占地面积更大． 【变式】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 【答案】(1) (2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为： (3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为 【思路引导】本题主要考查整式的运算与几何图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示列代数式求解即可； （2）根据图示，分别得到阴影部分A，B的边长，结合面积的计算公式求解即可； （3）根据整式混合运算求解即可． 【完整解答】（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为； （2）解：大长方形的面积为：， 阴影部分A的长为：，宽为：， ∴阴影部分A的面积为：， 阴影部分B的长为：，宽为：， ∴阴影部分B的面积为：； （3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差： ， ∵面积之差与x的值无关， ∴， 解得，， ∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关， ∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：． 考点十一：多项式乘法中的规律性问题 【例11】（1）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， 观察上式，并猜想： （ ① ）． ② （2）通过以上规律，请你进行下面的探索： ①． ②（ ③ ）． ③ ④ ． （3）根据你的猜想，计算： 【答案】（1）① ；②； （2）③；④；（3） 【思路引导】本题考查多项式乘多项式中的规律性问题，解题的关键是分析已知式子，从中找出规律． （1）分析可得规律，即可解答； （2）观察字母的指数，结合（1）中结论可以得到规律； （3）将式子写成形式，运用规律即可解答． 【完整解答】解：(1) ∵当时， ， ， ∴； ． 故答案为：① ，② ． (2) ②； ③． 故答案为：③，④． （3） ． 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 【答案】(1) ， (2)； (3) 【思路引导】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 考点十二：整式乘法混合运算 【例12】（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图是一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别前去一个边长为的小正方形（即阴影部分），然后折成一个无盖的纸盒． (1)请用含a、b的式子表示折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积； (2)当，时，求折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式混合运算的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． （1）这块铁皮的面积减去4个角上的小正方形的面积，就是折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积． （2）把，代入（1）所求的代数式计算即可． 【完整解答】（1）解： ． 答：无盖的纸盒所用硬纸片的面积． （2）解：当，时， ； 答：折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积为． 【变式】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查整式的混合运算，同底数幂的乘法和幂的乘方逆用； （1）先根据单项式乘多项式，多项式乘多项式分别计算，再合并同类项即可； （2）根据，代入求值即可． 【完整解答】解：（1）原式 ． （2）∵， ∴ ． 考点十三：运用平方差公式进行运算 【例13】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【变式】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平方差公式． 将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【完整解答】解： ． 故选：A． 考点十四：平方差公式与几何图形 【例14】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【思路引导】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【完整解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 【变式】（24-25七年级下·广东河源·期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． (1)通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； (2)小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） (3)利用以上的结论和方法，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）配上因式后，连续利用平方差公式即可； （3）配上因式，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【完整解答】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 考点十五：运用完全平方公式进行运算 【例15】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【完整解答】解： 当，时， 原式 ． 【考点再现】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算和整式的乘法运算． （1）先计算乘方和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）直接计算多项式乘以单项式即可； （3）运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【完整解答】（1） ； （2） ； （3） ． 考点十六：通过对完全平方公式变形求值 【例16】（21-22七年级下·广东佛山·期中）（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）①；②． 【思路引导】本题利用几何图形探索完全平方公式，考查了完全平方公式的几何意义以及利用公式的变形，与平方差公式的变形进行计算． （1）方法①是将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧，则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形，方法②是分割法求面积，用正方形草坪的面积减去两条小路的面积，需要注意的是两条小路的重叠部分是边长为的小正方形，减去了两次，要再加上； （2）类比（1），用两种方法求大正方形的面积，从而可得； （3）①利用（1）、（2）所得两个公式，即可求出，②根据（2）可得，进而求出，再对所求式利用平方差公式分解因式进行求解． 【完整解答】解：（1）方法①：将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧， 则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形， 剩余草坪的面积为， 方法②：剩余草坪的面积为， 故答案为：，，； （2）类比（1）同理可得，用两种方法求图2中大正方形的面积为， 故所得等量关系为； （3）①由题意得， ， ； ②， ， ， ． 【变式】（20-21七年级下·江苏南京·期末）问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 【答案】代数式的最大值为14；当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元 【思路引导】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法． 仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为，仿照例题构建完全平方即可求解． 【完整解答】解： 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14， 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为225， 即当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元． 考点十七：完全平方公式在几何图形中的应用 7【例1】如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 【答案】(1)； (2)阴影部分的面积为； (3)． 【思路引导】本题考查的知识点是列代数式、代数式求值、完全平方公式在几何图形中的应用等知识，解题关键是通过观察图形找出各图形之间的面积关系． （1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为，宽为，那么图中的阴影部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽； （2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图中阴影部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积； （3）通过观察图形知，、、分别表示的是大正方形、阴影部分的正方形及个小长方形的面积． 【完整解答】（1）解：依题意得，分成长方形后，每个小长方形的长为，宽为， 则图的阴影部分的边长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的边长， 大正方形的面积， 又个小长方形的面积之和大长方形的面积， 阴影部分的面积为； （3）解：由图可以看出，大正方形面积阴影部分的正方形的面积四个小长方形的面积， 即， 故答案为：． 【变式】（21-22七年级下·全国·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； (2)两个正方形，如图②摆放，边长分别为x，y．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知，，利用以上恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【完整解答】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ， ； （2）解：由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为； （3）解：由图③得，正方体体积表示为， 也可以表示为， ， 即； （4）解：，， 由（3）得， ， ． 考点十八：求完全平方式中的字母系数 【例18】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知代数式 是一个完全平方式，则 的值为 ． 【答案】1或 【思路引导】此题考查了完全平方公式和一元一次方程的应用，根据是一个完全平方式得到，解方程即可得答案． 【完整解答】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：1或 【变式】（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 考点十九：完全平方式在几何图形中的应用 【例19】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【思路引导】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【完整解答】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 【变式】（22-23七年级下·江苏盐城·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由 就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即．所以， 所以当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________=_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图1所示的长方形边长分别是，面积为；如图2所示的长方形边长分别是，面积为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)64，8； (2)； (3)，理由见解析． 【思路引导】（1）根据完全平方式即可确定； （2）先配方成，进一步求出最小值； （3）分别表示出和，再计算，即可比较大小． 【完整解答】（1）， 故答案为：64；8； （2） ， 当时，的最小值为； （3）∵， ． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【考点再现】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． 考点二十：整式的混合运算 【例20】（1）先化简，再求值：其中，． （2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： ； ②； ③若，直接写出n的值． 【答案】（1），；（2）；②； 【思路引导】此题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． （1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可； （2）①逆用积的乘方法则可得答案； ②逆用积的乘方法则； ③利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，可得关于n的方程，即可解得答案． 【完整解答】解：（1） ， 当，时， 原式 ； （2） ； ② ； ， ． ． ， 解得， 的值为3． 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【完整解答】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 基础通关练 1．（2024·广东深圳·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式．由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可． 【完整解答】解：A．和不是同类项，不能合并，A错误，故选项A不符合题意； B．，B错误，故选项B不符合题意； C．，C错误，故选项C不符合题意； D．，D正确，选项D符合题意． 故选：D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了同底数幂乘法计算，乘法公式，乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【完整解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的乘法，理解三个连续奇数的关系是关键． 根据连续奇数的性质，中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为，它们的积可利用多项式乘多项式计算． 【完整解答】解：设中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为， 首尾两个数的积为 ， 故答案为：． 4．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】23 【思路引导】本题考查整式的运算以及化简求值．熟练掌握完全平方公式及适当的变形是解题的关键． 用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【完整解答】解： ， ∵， 原式． 故答案为：23． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 能力提升练 1．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可． 【完整解答】解：∵，，， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故C不符合题意，D不符合题意. 故选：A． 2．（21-22八年级上·湖北孝感·期末）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【完整解答】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若，则 ． 【答案】2001 【思路引导】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形进行计算即可，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴ ； 故答案为：2001． 4．（21-22七年级下·宁夏银川·期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以得到的等式是 ； (2)应用你从（1）得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何意义和运用平方差公式计算： （1）通过计算两个图形的阴影部分面积得出等式； （2）①利用平方差公式变形求解；②先将各项利用平方差公式展开，再通过约分计算． 【完整解答】（1）解：在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，此时阴影部分面积是大正方形面积减去小正方形面积：； 余下的部分剪拼成一个矩形，此时矩形的长为，宽为，此时面积为； 所以可以得到的等式是． （2）①根据（1）可知，， ，， ， ． ②现将式子中的每一项利用平方差公式变形为， 则原式， ， ， ． 拔尖拓展练 1．（24-25八年级下·重庆·月考）有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查代数式规律，多项式乘以多项式，代数式求值，根据的定义列出式子找到规律，再取特殊值代入计算即可． 【完整解答】解：①若， ， 故①正确； ② ， ∵代数式含有因式， ∴设 ∴， ∴，整理得， ∴， 故②正确； ∵， ， ， ， ， ∴， ， ∴当时，， ，， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； ∴， 当时，，，，则； ∴， 故③正确， 综上所述，正确的个数为3， 故选：D． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项，将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①； ②若第101项与第51项之差为9500，则； ③当时，； 以上结论正确个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式；数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【完整解答】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第项与第项之差可表示为：， 第101项与第51项之差为9500， ∴，即 ∴ 解得．故②正确． 当时， ．故③正确． 故选：D． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的有 ．（选序号） ①若，则满足条件的值有3个． ②若，，则用含的代数式表示为． ③已知，则的值是34． ④1，2，3，，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． 【答案】②③/③② 【思路引导】①分三种情况讨论，，，，计算后看符合题意的有几个； ②根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算，然后等量代换； ③先把化为的形式，然后计算，求出最后结果； ④设两个自然数的平方差求出的取值范围，分析与同奇同偶，进而得到这个数是奇数或是4的倍数，求出表示成某两个自然数的平方差的数的个数，再求出不能表示成某两个自然数的平方差的个数． 【完整解答】解：①若， ，则，不合题意 ，则， ，则，不合题意， 满足条件的值有1个， 故①不符合题意； ②， ， ， ， ， 即用含的代数式表示为， 故②符合题意； ③， ， ， ， ， 故③符合题意； ④设两个自然数的平方差， 与同奇同偶， 这个数是奇数或是4的倍数， 在1，2，3，，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的有14个， 不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：个， 故④不符合题意； 故答案为：②③． 【考点再现】本题考查了同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算、二元一次方程的解，掌握法则的应用，③的拆项法是解题关键． 4．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查整式乘法与图形面积.根据图形面积总结规律，关键是运用规律解决问题． （1）直接根据图形写出等式； （2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可． 【完整解答】（1）由图形可得等式：； 故答案为：，； （2） ，，，且， ． 5．观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大1，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）将原式变形为，即可根据规律解答． 【完整解答】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ； ； ． 故答案为：． （2）通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为时，得数的次数应该为， ． 故答案为：． （3）原式 ． 故答案为： 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 【答案】(1)①4；②；③ (2) 【思路引导】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）①根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； ②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可； ③根据题中计算规律可将原式化为，继而求解即可； （2）由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，据此求解即可． 【完整解答】（1）解：①， ∴的系数为4， 故答案为：4． ②的系数和为1，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， …… ∴的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和为， 故答案为：． ③根据题中规律可得： = ． （2）解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数， ∴第6行第一个数是 ， ∵第5行第一个数是 ，那么第6行第二个数为 ， 又∵第5行第二个数是 ， ∴第6行第三个数为 ， ∴以表示的数是， 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九讲 整式乘法（章节复习） 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1、进一步理解整式乘法、因式分解的意义，进一步熟练掌握整式乘法、因式分解中的平方差公式和完全平方公式； 2、进一步理解掌握整式乘法中运用公式的能力； 3、进一步理解掌握因式分解的一般步骤，提高因式分解的能力．   教学重难点 重点：会运用法则进行整式乘法运算，会对一个多项式进行因式分解． 难点：整式乘法、因式分解中灵活运用公式的能力． 知识点一：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点二：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 考点一：计算单项式乘单项式 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (2) ． 【变式】（20-21七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 考点二：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点三：计算单项式乘多项式及求值 【例3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (3) ； (5)； (6)． 【变式】（21-22七年级下·陕西咸阳·月考）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 考点四：单项式乘多项式的应用 【例4】（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 考点五：利用单项式乘多项式求字母的值 【例5】（24-25八年级上·湖南·月考）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【变式】．（24-25八年级上·重庆·月考）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 考点六：计算多项式乘多项式 【例6】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若长方体的长为，宽为，高为，则长方体的体积为 ． 考点七：(x+p） (x+q)型多项式乘法 【例7】（25-26八年级上·山西临汾·月考）若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 考点八：多项式乘多项式—化简求值 【例8】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【变式】（21-22七年级下·四川成都·开学考试）先化简，再求值：，其中,． 考点九：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例9】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 【变式】（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 考点十：多项式乘多项式与图形面积 【例10】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大； 二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示（单位：米）． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 【变式】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 考点十一：多项式乘法中的规律性问题 【例11】（1）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， 观察上式，并猜想： （ ① ）． ② （2）通过以上规律，请你进行下面的探索： ①． ②（ ③ ）． ③ ④ ． （3）根据你的猜想，计算： 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 考点十二：整式乘法混合运算 【例12】（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图是一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别前去一个边长为的小正方形（即阴影部分），然后折成一个无盖的纸盒． (1)请用含a、b的式子表示折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积； (2)当，时，求折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积． 【变式】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 考点十三：运用平方差公式进行运算 【例13】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 考点十四：平方差公式与几何图形 【例14】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【变式】（24-25七年级下·广东河源·期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． (1)通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； (2)小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） (3)利用以上的结论和方法，计算：． 考点十五：运用完全平方公式进行运算 【例15】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 考点十六：通过对完全平方公式变形求值 【例16】（21-22七年级下·广东佛山·期中）（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【变式】（20-21七年级下·江苏南京·期末）问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 考点十七：完全平方公式在几何图形中的应用 7【例1】如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 【变式】（21-22七年级下·全国·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； (2)两个正方形，如图②摆放，边长分别为x，y．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知，，利用以上恒等式求的值． 考点十八：求完全平方式中的字母系数 【例18】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知代数式 是一个完全平方式，则 的值为 ． 【变式】（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 考点十九：完全平方式在几何图形中的应用 【例19】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式】（22-23七年级下·江苏盐城·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由 就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即．所以， 所以当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________=_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图1所示的长方形边长分别是，面积为；如图2所示的长方形边长分别是，面积为，试比较与的大小，并说明理由． 考点二十：整式的混合运算 【例20】（1）先化简，再求值：其中，． （2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： ； ②； ③若，直接写出n的值． 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 基础通关练 1．（2024·广东深圳·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 4．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ；； (4)． 能力提升练 1．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·湖北孝感·期末）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若，则 ． 4．（21-22七年级下·宁夏银川·期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以得到的等式是 ； (2)应用你从（1）得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 拔尖拓展练 1．（24-25八年级下·重庆·月考）有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·重庆·期中）有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项，将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①； ②若第101项与第51项之差为9500，则； ③当时，； 以上结论正确个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的有 ．（选序号） ①若，则满足条件的值有3个． ②若，，则用含的代数式表示为． ③已知，则的值是34． ④1，2，3，，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． 4．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 5．观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $