（寒假讲义-预习篇）第七讲 多项式乘多项式（七大重点考点练+三难度分层练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第七讲 多项式乘多项式 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.掌握多项式乘多项式的法则，并能运用其进行简单的整式乘法运算，发展运算能力； 2.通过几何图形（如长方形面积模型）理解多项式乘多项式的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题. 3.主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力.   教学重难点 重点：掌握多项式乘多项式的法则，并能运其进行简单的整式乘法运算，发展运算能力 难点：通过几何图形（如长方形面积模型）理解多项式乘多项式的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题. 知识点一：多项式乘多项式法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 知识点二：多项式与多项式相乘的几何解释 如图大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn.所以(a+b)( m+n )=am+an+bm+bn. 知识点三：拓展 本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推 知识点四：易错警示 (1)在多项式的乘法运算中,容易漏乘项. (2)计算结果中还有同类项没有合并 考点一：计算多项式乘多项式 【例1】小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 【变式1】（20-21七年级上·江苏泰州·期中）已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形内，长方形的长，未被覆盖的部分的长方形的面积记作，长方形的面积记作． (1)用含有a、b、m的代数式表示，求当，，时，的值． (2)若的值与m的取值无关，求a、b满足的数量关系． 【变式2】探究应用 计算： 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 （请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： 【变式1】．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 考点三：多项式乘多项式—化简求值 【例3】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 考点四：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知多项式与的乘积中不含项和x项，试求m和n的值． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为6，则的值为（   ） A． B． C．1.5 D．3 考点五：多项式乘多项式与图形面积 【例5】（20-21七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，G在线段上．已知正方形的边长为4，求的面积． 【变式1】（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【变式2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 考点六：多项式乘法中的规律性问题 【例6】（22-23七年级下·广西梧州·期末）如果将（为非负整数）展开式的每一项按字母的指数由大到小排列，就可以得到下面的结果： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1： ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； … 将上述每个式子的各项系数排成如图，该图在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个图叫做“杨辉三角”．该图中的数据排列有着一定的规律，依照此规律，第21行从左边数第3个数是 ． 【变式1】（20-21七年级下·江西吉安·期末）小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如： ， 小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式” 小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）” 小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像” 小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ (1)能否用字母表示你所发现的规律？ (2)你能利用上面的规律来计算吗？ 【变式2】（20-21七年级下·河北石家庄·期末）观察下列各式及其展开式： 请你猜想的展开式第三项的系数是 ． 考点七：整式乘法混合运算 【例7】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 基础通关练 1．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值分别是（    ） A．5、 B．、6 C．、6 D．、 3．（24-25七年级下·广西百色·期末）如果，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 5．若，则 ． 6．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．    7．（24-25七年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 8．（24-25七年级下·陕西西安·月考）观察下列等式： ； ； ； … (1)结合以上规律，填空：________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 能力提升练 1．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·月考）计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 3．（20-21七年级下·江苏南京·期末）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 4．（20-21七年级上·浙江金华·月考）在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 5．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 6．（20-21七年级下·广西桂林·月考）有一张正方形纸片，第一次将其分割成4个面积相等的小正方形纸片，第二次将其中的一小张又分割成4个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去，第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为 ． 7．（23-24七年级下·内蒙古包头·月考）计算： (1) (2) 8．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）利用多项式乘法将展开． （2）在上面的展开式中，，的系数及常数项与，，的关系分别是什么？ 9．（22-23七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 10．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·月考）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）有如下一列等式：，，，，，，其中n为正整数，的各项系数均不为0且互不相等．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“互邻式”． ①多项式共有6个不同的“互邻式”； ②若多项式，则； ③若多项式，则的系数之和为256； ④若多项式，则． 以上正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足 ． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 6．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 7．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 9．（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 10．（24-25七年级下·山东济南·月考）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： (1)将展开后，各项的系数和为______． (2)将展开后，各项的系数和为______． (3)______． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： (4)若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 多项式乘多项式 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.掌握多项式乘多项式的法则，并能运用其进行简单的整式乘法运算，发展运算能力； 2.通过几何图形（如长方形面积模型）理解多项式乘多项式的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题. 3.主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力.   教学重难点 重点：掌握多项式乘多项式的法则，并能运其进行简单的整式乘法运算，发展运算能力 难点：通过几何图形（如长方形面积模型）理解多项式乘多项式的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题. 知识点一：多项式乘多项式法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 知识点二：多项式与多项式相乘的几何解释 如图大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn.所以(a+b)( m+n )=am+an+bm+bn. 知识点三：拓展 本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推 知识点四：易错警示 (1)在多项式的乘法运算中,容易漏乘项. (2)计算结果中还有同类项没有合并 考点一：计算多项式乘多项式 【例1】小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【完整解答】（1）解：由题意可得：，   ， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）可得：． 【变式1】（20-21七年级上·江苏泰州·期中）已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形内，长方形的长，未被覆盖的部分的长方形的面积记作，长方形的面积记作． (1)用含有a、b、m的代数式表示，求当，，时，的值． (2)若的值与m的取值无关，求a、b满足的数量关系． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了列代数式及整式的混合运算，根据题意列出代数式再根据法则进行计算是解决本题的关键． （1）根据图形可得出长方形的长的长为，宽为，即可得出的面积，长方形的长为，宽为，即可得出的面积，继而得出的表达式，代入计算即可； （2）根据（1）计算的值与的取值无关，即，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：，， ， ，， ， 则， 当，，时，； （2）解：的值与的取值无关， ，即， 满足的数量关系． 【变式2】探究应用 计算： 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 （请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： 【答案】；； ； C； ；，． 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法，解决本题的关键是根据多项式乘以多项式的法则计算，根据计算结果得到公式，再按照公式进行计算． 根据多项式乘以多项式的法则计算即可； 根据中的计算结果总结出公式即可； 根据中的公式，把各选项整理，根据多项式的形式判断是否能用公式计算； 根据中总结的公式进行计算即可． 【完整解答】解： ； ； 解：由中的整式乘法计算结果，可以得到一个新的乘法公式； 解：A选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； B选项： 与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； C选项：与乘法公式符合  ，能用乘法公式计算； D选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； 故选：C； 解： ， 故答案为：； 解： ； 故答案为：，． 考点二：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【例2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）若，  则的值是 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式相乘，代数式求值，解题的关键在于熟练掌握多项式相乘的运算法则．根据多项式相乘的运算法则，结合题意建立等式，得到，的值，进而即可求出的值． 【完整解答】解：， ，， 解得，， ， 则的值是， 故答案为：． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【思路引导】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再利用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【完整解答】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1、图2可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形面积为： ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【思路引导】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【完整解答】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． 考点三：多项式乘多项式—化简求值 【例3】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的混合运算和求值，解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简，将多项式展开，合并同类项，根据不含项得到m值，再把化简，再代入计算即可． 【完整解答】解： 由题意得， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含和项，确定出与的值即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，把m与n的值代入计算即可求出值． 【完整解答】（1） ， ， 根据展开式中不含和项可得， 解得； （2）原式 ． 因为， 所以原式． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【答案】(1) (2)81 【思路引导】本题主要考查整式乘除的应用，熟练掌握整式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据题意表示出面积，再进行化简即可； （2）代入计算即可． 【完整解答】（1）解：， ， ， ∴草坪总面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴草坪总面积为81平方米． 考点四：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知多项式与的乘积中不含项和x项，试求m和n的值． 【答案】（1），   （2）， 【思路引导】本题考查了整式的混合运算和求值； （1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，然后代入a的值即可． （2）先根据整式的乘法展开合并，根据不含项的系数为求出m和n的值即可． 【完整解答】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵多项式与的乘积中不含项和x项， ∴， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为6，则的值为（   ） A． B． C．1.5 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查多项式乘多项式，根据题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并计算，然后根据题意求得a，b的值，最后将其代入中计算即可． 【完整解答】解： ， ∵展开式中不含x的一次项，且常数项为6， ∴， 解得：， 则， 故选：C． 考点五：多项式乘多项式与图形面积 【例5】（20-21七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，G在线段上．已知正方形的边长为4，求的面积． 【答案】16 【思路引导】该题考查了多项式乘法的应用，作交的延长线于点M，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据阴影部分的面积等于，列式求解即可． 【完整解答】解：作交的延长线于点M，如右图所示， 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵正方形的边长为4， 则阴影部分的面积是： ， 即的面积是16． 【变式1】（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（）根据题意和图形列出代数式即可； （）由可得，即得，进而即可求解； 本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键． 【完整解答】（1）解：由题意得，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴长方形的周长． 【变式2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式、整式的混合运算、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键． （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则以及完全平方公式化简，去括号并合并即可得解； （2）将a，b的值代入进行计算即可． 【完整解答】（1）解：绿化部分的面积 平方米， 答：绿化部分的面积为平方米． （2）解：当，时，原式平方米， 答：绿化部分的面积为平方米． 考点六：多项式乘法中的规律性问题 【例6】（22-23七年级下·广西梧州·期末）如果将（为非负整数）展开式的每一项按字母的指数由大到小排列，就可以得到下面的结果： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1： ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； … 将上述每个式子的各项系数排成如图，该图在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个图叫做“杨辉三角”．该图中的数据排列有着一定的规律，依照此规律，第21行从左边数第3个数是 ． 【答案】190 【思路引导】本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律． 利用“杨辉三角”给出来的规律进行求解即可，即每一行左边数第3个数是前几行第2个数之和． 【完整解答】解：根据“杨辉三角”给出来的规律，即每一行左边数第3个数是前几行第2个数之和， 即第n行()从左边数第3个数是， ∴第21行从左边数第3个数是， 故答案为：190． 【变式1】（20-21七年级下·江西吉安·期末）小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如： ， 小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式” 小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）” 小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像” 小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ (1)能否用字母表示你所发现的规律？ (2)你能利用上面的规律来计算吗？ 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了整式的乘法，根据整式乘法结果的特点总结出规律是解题的关键．根据两个等式可知：两个数的和乘这两个数的平方和减去它们乘积的差的积，等于这两个数的立方和；两个数的差乘这两个数的平方和加上它们乘积的和的积，等于这两个数的立方差． （1）根据两个整式乘法结果的特点求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【完整解答】（1）解：用字母表示发现的规律为；． （2）解：． 【变式2】（20-21七年级下·河北石家庄·期末）观察下列各式及其展开式： 请你猜想的展开式第三项的系数是 ． 【答案】45 【思路引导】本题考查了多项式乘法中的规律探索，由题意可得出第个式子中，第三项的系数为，再结合为第个式子，代入计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【完整解答】解：第1个式子中，第三项的系数为， 第2个式子中，第三项的系数为， 第3个式子中，第三项的系数为， 第4个式子中，第三项的系数为 …， ∴第个式子中，第三项的系数为， ∴的展开式第三项的系数，即第个式子中，第三项的系数为， 故答案为：． 考点七：整式乘法混合运算 【例7】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性． 【答案】(1)25 (2)，，，证明见解析 【思路引导】此题考查了新定义，整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据“三角形数”的定义进行求解即可； （2）由题意得到等式，根据整式的混合运算进行证明即可． 【完整解答】（1）解：由题意可得第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为：； （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：， 证明： 右边． ∴等式成立． 故答案为：，， 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 【答案】(1)平方米 (2)万元 【思路引导】本题考查列代数式，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键在于根据题意用含有m，n的式子表示出网红打卡直播大舞台的面积． （1）利用健身公园一半的面积减去右上角小三角形的面积，即可解题； （2）先将，代入（1）中式子求出网红打卡直播大舞台的面积，再结合修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，列式求解，即可解题． 【完整解答】（1）解：由题知，网红打卡直播大舞台的面积为： 平方米； （2）解： ，， 网红打卡直播大舞台的面积为 （平方米）； 修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米， 修建网红打卡直播大舞台需要的费用为：（万元）． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 【答案】24 【思路引导】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可求解． 【完整解答】设， 则， ， ， ， 整理得， 则长方形的周长是24， 故答案为：24． 基础通关练 1．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算． 【完整解答】解：∵ ， 又∵ ， ∴对应系数相等， 即，， 由得：， 代入，得， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值分别是（    ） A．5、 B．、6 C．、6 D．、 【答案】D 【思路引导】本题考查多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式得到，进而根据对应项的系数相等可求得m、n值． 【完整解答】解：∵， 又， ∴，， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广西百色·期末）如果，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查多项式乘法．先把方程的左边化为与右边相同的形式，再分别令其一次项系数与常数项分别相等即可求出a、b的值． 【完整解答】解：， ∴，， 解得：，， 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 【答案】63 【思路引导】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【完整解答】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 5．若，则 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了多项式乘以多项式．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可． 【完整解答】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．    【答案】 【思路引导】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【完整解答】解：依题意，根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第四项， ∴展开式中含项的系数是：， 故答案为： 7．（24-25七年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法，负整数次幂，零次幂，积的乘方与幂的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，正确计算是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）先化简零次幂和负整数次幂，然后相加即可； （3）先利用积的乘方法则进行化简，然后再用单项式乘单项式法则进行计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开后合并同类项即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·月考）观察下列等式： ； ； ； … (1)结合以上规律，填空：________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了多项式的乘法法则，解题关键是掌握多项式的乘法法则． （1）利用规律求解即可； （2）利用多项式的乘法法则求解即可； （3）利用（1）中的公式求解即可． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2） ， 所以成立； （3） ． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)（或） (2)20 000 【思路引导】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可． 【完整解答】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺这块草坪一共需要花费元 【思路引导】此题考查了根据实际问题列代数式表示的能力，关键是能准确理解题意，并列式、化简． （1）运用长方形和正方形的面积公式进行列式、化简； （2）将，代入（2）题结果，再算出一共的花费． 【完整解答】（1）解：由题意得，铺草坪的面积为： ； （2）解：由题意得，当，时，铺这块草坪一共需要的总费用为： （元）， 当，时，铺这块草坪一共需要花费元． 能力提升练 1．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【完整解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 2．（25-26八年级上·山西临汾·月考）计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【思路引导】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【完整解答】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 3．（20-21七年级下·江苏南京·期末）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【完整解答】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 4．（20-21七年级上·浙江金华·月考）在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 【答案】 【思路引导】本题考查了列代数式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的混合运算． 利用面积的和与差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【完整解答】解： ， ， 故答案为：． 5．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值． 按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 6．（20-21七年级下·广西桂林·月考）有一张正方形纸片，第一次将其分割成4个面积相等的小正方形纸片，第二次将其中的一小张又分割成4个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去，第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形类规律探索的题目，根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律． 其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得出最终结论． 观察图形规律，得出第n次有．据此知第次正方形纸片个数为，再求积即可得出答案． 【完整解答】解：第一次有4个， 第二次有， 第三次有， …… 以此类推，第n次有． ∴第次正方形纸片个数为， 第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为： ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·内蒙古包头·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【思路引导】（1）根据积的乘方，多项式乘以多项式，计算即可 （2）根据乘方，零指数幂，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了积的乘方，多项式乘以多项式，乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式和法则是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）利用多项式乘法将展开． （2）在上面的展开式中，，的系数及常数项与，，的关系分别是什么？ 【答案】（1） （2）的系数是，，的和，的系数是，，两两乘积的和，常数项是，，的积 【思路引导】本题主要考查多项式的乘法及多项式乘法中的规律问题，熟练掌握多项式的乘法法则是做题的关键．根据多项式的乘法法则进行计算即可；根据展开结果，分别分析，的系数及常数项与，，的关系即可． 【完整解答】（1）解： （2）根据（1）中的计算过程和结果可得： 的系数， 的系数， 常数项， ，的系数及常数项与，，的关系分别是：的系数是，，的和，的系数是，，两两乘积的和，常数项是，，的积． 9．（22-23七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 【答案】(1) (2)是，平衡因子为 (3)或7或 【思路引导】本题主要考查了新定义的理解，多项式乘多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子； （3）分三种情况列出算式，再计算求值． 【完整解答】（1）解： ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （2）多项式，，，是一组平衡多项式． ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （3）需分三种情况讨论： ① ， 这组多项式是一组平衡多项式， ， ． ② ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． ③ ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． 综上所述，m的值为或7或． 10．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 【答案】(1) (2)348 【思路引导】该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据模板的面积列式求解即可． （2）将整体代入求解即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解：当时， 原式 ． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【完整解答】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东佛山·月考）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【完整解答】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）有如下一列等式：，，，，，，其中n为正整数，的各项系数均不为0且互不相等．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“互邻式”． ①多项式共有6个不同的“互邻式”； ②若多项式，则； ③若多项式，则的系数之和为256； ④若多项式，则． 以上正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算，多项式乘法中的规律探索，整式的加减计算，掌握规律是解题的关键．根据题目中给出的定义对①进行判断；利用求解②即可；设代入求解③即可；分别设，代入，两式子相加即可得出④的结果． 【完整解答】解：根据题意可知：多项式有5项，任选两项交换系数，共有个不同的“互邻式”，故①错误； ， ，故②正确； ， 设，，故③正确； 设时，， 设时，， ，故④错误， 综上所述正确的有：②③，共2个， 故选：B． 4．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的乘法和减法运算，令，可得，，再利用作差法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【完整解答】解：令， 则 ， ∴ ， ∵均为正数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【答案】32 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【完整解答】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为． 故答案为：． 6．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【完整解答】由知， 即， 故答案为：． 7．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【完整解答】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 【考点再现】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 【答案】(1)①② (2)①② 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律、多项式的乘法、有理数的乘法、逆用幂的乘方等知识点，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）①先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可；②先将原式写成，然后利用（1）的规律解答可得，再逆用幂的乘方求解即可． 【完整解答】（1）解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． （2）解：① ． ② ． 因为且， 所以且， 所以． 所以． 所以． 9．（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【完整解答】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·山东济南·月考）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： (1)将展开后，各项的系数和为______． (2)将展开后，各项的系数和为______． (3)______． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： (4)若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______． 【答案】(1)32 (2) (3) (4)：， 【思路引导】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． （1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ，经过计算可得结论． 【完整解答】（1）解： 展开后，各项的系数和为， 故答案为：32； （2）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， …… 展开后，各项的系数和为， 故答案为：； （3）解：根据规律可得，展开后，各项的系数依次为1、6、15、20、15、6、1， 所以 故答案为：； （4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是， ∴表示第六行第三个数， ∵第六行第二个数是， ∴第六行第三个数是， ∴表示的数是； 由规律可得， ∵第七行第一个数为，第六行第一个数为， ∴第七行第二个数为， ∵第八行第一个数为， ∴第八行第二个数为：，第八行第三个数为， ∴表示的数是与 表示的数一样，为； 故答案：，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $