（寒假讲义-预习篇）第六讲 单项式乘多项式（三大重点考点练+三难度分层练 共42题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第六讲 单项式乘多项式 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 经历探索单项式乘多项式运算法则的过程，理解单项式乘多项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力. 2.掌握单项式乘多项式法则，并能地熟练运用其进行计算，提高学生的运算能力. 3.经历从生活情境中抽象出数学问题，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问题的能力.   教学重难点 重点：掌握单项式乘多项式法则，并能地熟练运用其进行计算 难点：经历探索单项式乘多项式运算法则的过程，理解单项式乘多项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力. 知识点梳理：单项式乘多项式的简单计算 知识点与方法：单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为:m(a+b+c)=ma +mb +mc. 要点诠释 ①单项式与多项式相乘,实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式 ②单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. ③计算过程中要注意符号,单项式乘多项式的每一项时,要包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. ④对于混合运算,应注意运算顺序;最后有同类项的,必须合并同类项从而得到最简结果 考点一：计算单项式乘多项式及求值 【例1】（23-24八年级上·新疆喀什·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（）利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法法则计算； （）利用幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算，最后合并同类项． 本题考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）化简及求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查整式的混合运算，涉及整式乘法运算、整式加减运算等知识，熟记整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）合并同类项即可得到答案； （2）先由整式乘法运算，再去括号，合并同类项化简，最后将代入求解即可得到答案． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：     当时， 原式． 【变式2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【完整解答】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·重庆·月考）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 【完整解答】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 考点二：单项式乘多项式的应用 【例2】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，将一块长、宽的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含的整式表示盒子外表面的面积（结果化为最简）； (2)若，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米的喷漆价格为元，则喷漆一共需要多少元？ 【答案】(1) (2)喷漆一共需要元 【思路引导】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为元，求出喷漆的费用即可． 【完整解答】（1）解：由题意，得 所以盒子外表面的面积为． （2）解：当时， 盒子外表面的面积 所以（元）， 答：喷漆一共需要元． 【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙． (1)若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示） (2)若猜测a与b之间的数量关系，说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【思路引导】题目主要考查整式的混合运算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，然后表示出大长方形的长为：，宽为：，求出周长即可； （2）根据题意得，再由面积比即可求解． 【完整解答】（1）解：根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且， ∴大长方形的长为：，宽为：， ∴乙的周长可表示为：， 故答案为：； （2） ，即． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，求值结果为． 【思路引导】本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算． （1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果． （2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果． 【完整解答】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴计算结果为． 故答案为：；；． （2）解：∵， ∴， 将代入上式得：． 故化简结果为，求值结果为． 【变式3】（24-25七年级上·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，熟练掌握整式混合运算运算法则是解题关键． （1）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，即可得出答案． 【完整解答】（1）解： ， 的值与无关， ，即； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ， ． 考点三：利用单项式乘多项式求字母的值 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【完整解答】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【完整解答】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【完整解答】解：， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【完整解答】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 基础通关练 1．如果一个长方体的边长分别为，，，那么它的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了单项式和多项式的乘法运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据长方体的体积公式列式计算即可求解． 【完整解答】解：， ∴长方体的体积为， 故选：C． 2．（2025·云南·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查整式的运算．根据单项式乘多项式，零次幂，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【完整解答】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【完整解答】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【完整解答】解：， 故选：A． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 横线上依次填入： 、 、 、 、 、 、 ． 【答案】 5 【思路引导】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设，计算单项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （2）设，计算单项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （3）设，计算单项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （4）设，计算单项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得． 【完整解答】解：（1）设， ∴， ∴， ∴， 经检验，， 故答案为：． （2）设， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，． （3）设， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）设， ∴， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）当时， ． 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式，代数式求值．先将代数式展开并合并同类项，得到简化形式后，再代入数值进行计算． 【完整解答】解：原式   ； 当，，时， 原式． 故答案为：． 7．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用含x的代数式表示图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的乘法． 由图可知下面的长方形长为，分别计算两长方形的面积相加即可． 【完整解答】， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期中）（1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】本题考查了整式的乘法，掌握单项式乘以多项式法则以及同底数幂的乘法、幂的乘方运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算进行计算即可求解． （2）根据单项式乘以多项式法则、合并同类项进行化简，然后将代入即可求解． 【完整解答】解：（1）∵，， ∴ n ； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查单项式乘多项式以及积的乘方的运算法则． （1）根据单项式乘多项式的法则计算； （2）根据单项式乘多项式的法则计算； （3）根据单项式乘多项式的法则计算； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘多项式的法则计算． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 能力提升练 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【完整解答】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式的加减、多项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意，先求出长方形的另一边长，再利用多项式乘法计算面积． 【完整解答】解：∵一边长为 ，另一边比它小 ， ∴另一边长为： ∴长方形的面积为： 故选：D． 3．（2025·辽宁盘锦·三模）下列算式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，单项式乘以多项式，根据幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，单项式乘以多项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【完整解答】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【答案】70 【思路引导】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得． 【完整解答】解：由第1个等式可知，，，， 由第2个等式可知，，，， 由第3个等式可知，，，， 由第4个等式可知，，，， 设等式左边三个数分别为， 则，， 所以被隐藏的两位数是， 故答案为：70． 5．（24-25七年级上·上海·月考）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键． 对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【完整解答】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，故， 即； 故答案为： 6．（22-23七年级下·广东深圳·月考）规定一种运算，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查整式的乘法与整式的加减，根据规定运算法则，将所求代数式展开，然后合并同类项，即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【完整解答】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【思路引导】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了整式的乘法运算． （1）根据多项式的乘法公式计算即可； （2）根据多项式的乘法公式计算即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）根据单项式的乘法公式计算即可． 【完整解答】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 10．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2：3两部分； (3)连接，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件． 【答案】(1)； (2)2秒或4秒； (3)或． 【思路引导】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键． （1）根据即可求出； （2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2：3两部分”列出方程，解方程即可求解； （3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【完整解答】（1）解：当点在边上运动时，，， ； （2）解：当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分； （3）解：当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或． 拔尖拓展练 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了整式的运算，正确化简是解本题的关键． 先求出，再根据取值与x无关，得出，即可解答． 【完整解答】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知长方形的长为a，宽为，周长为，正方形的边长为，周长为，则等于（    ） A．2a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式的混合运算、长方形与正方形的周长公式，解题的关键是熟知整式的计算法则． 根据长方形与正方形的周长公式及整式的运算法则进行计算即可． 【完整解答】根据长方形与正方形的周长公式可得： ∴． 故选：D． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（    ）    A．边长为a的正方形的面积 B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 【答案】B 【思路引导】通过“割补法”分别表示出、，进而可得到． 【完整解答】解：设，则 由图可得：    由图可得： 故若知道边长为b的正方形的面积，即可求出的值． 故选：B 【考点再现】本题考查利用“割补法”求解不规则图形的面积，以及“设而不求”的数学思想．在图中，作出辅助线是解决问题的关键． 4．（22-23八年级上·河南周口·月考）定义三角  表示，方框  表示，则    的结果是 ． 【答案】/ 【思路引导】先根据三角和方框表示的意义列出代数式，再根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【完整解答】 解：三角  表示，   ， 方框  表示，   ，     ， 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查了列代数式、单项式乘以多项式，理解题中所给的新定义，准确进行计算是解题的关键． 5．（20-21七年级下·广东深圳·开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．    【答案】 【思路引导】图（1）中只有一层，有一个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数． 【完整解答】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为， 第二层的正方体个数为， 第三层的正方体个数为， …… 第n层的个数为：， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为： ． 故答案为： 【考点再现】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方体共增加了个，将n层的小正方体个数相加即可得到总的小正方体个数． 6．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ． ①；        ②；        ③ 【答案】①③/③① 【思路引导】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得． 【完整解答】解：，，则等式①成立； ， ，则等式②不成立； ， ，则等式③成立； 综上，等式成立的是①③， 故答案为：①③． 【考点再现】本题考查了整式的加法与乘法，理解新运算的定义是解题关键． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了单项式乘多项式和单项式乘单项式以及积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式法则和积的乘方法则即可求解； （2）根据单项式乘多项式和单项式乘单项式法则以及积的乘方法则即可求解． 【完整解答】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ． 8．（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【完整解答】（1） ； （2）解：当时， ． 9．（22-23七年级上·浙江·期中）某校需要订购中考专用的某款跳绳和排球，经调查发现，该款跳绳、排球各商家均标价为50元/条，40元/个，现有3家商店在做促销活动如下表： 商店 促销活动 甲 库存充裕，全场9折 乙 库存充裕，按套数（即1条跳绳和上个排球）优惠： 30套以内（包括30套），每套85元：超过30套，每增加1套，所有套数每套降价0.5元，但每套降幅不超过15元 丙 仅库存排球55个，排球每满5个送1个 (1)若在乙店购买10套，则总费用_______元；在乙店购买40套，则总费用______元． (2)若现在需要跳绳a条和排球a个，且仅在一家商店购买，请用含a的代数式分别表示甲、乙两店的总费用． 甲店总费用：__________________________； 乙店总费用：当时，_____________；当时，____________；当时，___________． (3)当需要购买60条跳绳和120个排球时，请你通过计算设计一种最省钱的购买方案，并求出总费用． 【答案】(1)850；3200 (2)元；元，元，元 (3)在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，总费用是6216元 【思路引导】（1）根据乙店的优惠方案求解即可； （2）根据甲、乙店的优惠方案分别求解即可； （3）分5种情况讨论计算：只在甲店购买、只在乙点购买、在丙店和甲店购买、在丙店和乙店购买、在甲店和丙店以及乙店购买的费用，进而得到答案． 【完整解答】（1）解：若在乙店购买10套，则总费用（元）； 在乙店购买40套，每套的价格是，则总费用是（元）； 故答案为：850；3200； （2）甲店总费用是：元； 乙店总费用：当时，元； 当时，元； 当时，元； （3）若只在甲店购买，所需费用是：（元）； 若只在乙店购买，所需费用是：（元）； 若在丙店购买45个排球，送9个排球，剩下的在甲店购买，则所需费用是： （元）； 若在丙店购买45个排球，送9个排球，剩下的在乙店购买，则所需费用是： （元）； 若在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，所需费用是：（元）； 综上，最省钱的购买方案是在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，总费用是6216元． 【考点再现】本题考查了列出实际问题中的代数式和整式的运算，正确理解题意、接触相应的代数式是解题的关键． 10．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）如图，一扇窗户，上部是半圆形，其下部是边长相同的四个小正方形，所有窗框使用铝合金材料，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃，已知下部小正方形的边长是a米（本题中π取3，长度单位为米）．    (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金多少米？（用含a的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？（用含a代数式表示，窗框宽度忽略不计） (3)某公司需要购进扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商给出的报价如下表，当时，该公司在哪家厂商购买合算？ 铝合金 （米/元） 彩色玻璃 （平方米/元） 透明玻璃（平方米/元） 甲 不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米 乙 元/平方米，每购1平方米透明玻璃送米铝合金 【答案】(1)； (2)； (3)当时，该公司在甲家厂商购买合算； 【思路引导】（1）根据图形及弧长公式直接求解即可得到答案； （2）根据图形及扇形面积公式直接求解即可得到答案； （3）根据方案直接求出费用比较即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题意可得， 一扇这样的窗户一共需要铝合金材料为：（米）， 答：一扇这样的窗户一共需要铝合金米； （2）解：由题意可得， “彩色玻璃”的面积为：， “透明玻璃”的面积为：， 所以一扇这样窗户一共需要玻璃：， 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米； （3）解：当时， ，， 由题意可得， 40扇这样的窗户：需要铝合金的长度为720米，需要“彩色玻璃”的面积为60平方米，“透明玻璃”的面积为160平方米， 甲方案费用为：（元）， 乙方案费用为：（元）， ∵， ∴当时，该公司在甲家厂商购买合算； 【考点再现】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意及图形得到周长、面积，同时根据题意找到相应的等量关系式． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 单项式乘多项式 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 经历探索单项式乘多项式运算法则的过程，理解单项式乘多项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力. 2.掌握单项式乘多项式法则，并能地熟练运用其进行计算，提高学生的运算能力. 3.经历从生活情境中抽象出数学问题，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问题的能力.   教学重难点 重点：掌握单项式乘多项式法则，并能地熟练运用其进行计算 难点：经历探索单项式乘多项式运算法则的过程，理解单项式乘多项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力. 知识点梳理：单项式乘多项式的简单计算 知识点与方法：单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为:m(a+b+c)=ma +mb +mc. 要点诠释 ①单项式与多项式相乘,实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式 ②单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. ③计算过程中要注意符号,单项式乘多项式的每一项时,要包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. ④对于混合运算,应注意运算顺序;最后有同类项的,必须合并同类项从而得到最简结果 考点一：计算单项式乘多项式及求值 【例1】（23-24八年级上·新疆喀什·月考）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）化简及求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·重庆·月考）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 考点二：单项式乘多项式的应用 【例2】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，将一块长、宽的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含的整式表示盒子外表面的面积（结果化为最简）； (2)若，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米的喷漆价格为元，则喷漆一共需要多少元？ 【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙． (1)若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示） (2)若猜测a与b之间的数量关系，说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（24-25七年级上·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 考点三：利用单项式乘多项式求字母的值 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 基础通关练 1．如果一个长方体的边长分别为，，，那么它的体积为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 横线上依次填入： 、 、 、 、 、 、 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）当时， ． 7．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用含x的代数式表示图中阴影部分的面积是 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (2) ； (4)． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期中）（1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 能力提升练 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·三模）下列算式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 5．（24-25七年级上·上海·月考）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 6．（22-23七年级下·广东深圳·月考）规定一种运算，则 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (4) (4) 10．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2：3两部分； (3)连接，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件． 拔尖拓展练 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知长方形的长为a，宽为，周长为，正方形的边长为，周长为，则等于（    ） A．2a B． C． D． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（    ）    A．边长为a的正方形的面积 B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 4．（22-23八年级上·河南周口·月考）定义三角  表示，方框  表示，则    的结果是 ． 5．（20-21七年级下·广东深圳·开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．    6．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ． ①；        ②；        ③ 7． （2025七年级下·全国·专题练习）计算． 8． (1) ； (2)． 8．（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 9．（22-23七年级上·浙江·期中）某校需要订购中考专用的某款跳绳和排球，经调查发现，该款跳绳、排球各商家均标价为50元/条，40元/个，现有3家商店在做促销活动如下表： 商店 促销活动 甲 库存充裕，全场9折 乙 库存充裕，按套数（即1条跳绳和上个排球）优惠： 30套以内（包括30套），每套85元：超过30套，每增加1套，所有套数每套降价0.5元，但每套降幅不超过15元 丙 仅库存排球55个，排球每满5个送1个 (1)若在乙店购买10套，则总费用_______元；在乙店购买40套，则总费用______元． (2)若现在需要跳绳a条和排球a个，且仅在一家商店购买，请用含a的代数式分别表示甲、乙两店的总费用． 甲店总费用：__________________________； 乙店总费用：当时，_____________；当时，____________；当时，___________． (3)当需要购买60条跳绳和120个排球时，请你通过计算设计一种最省钱的购买方案，并求出总费用． 10．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）如图，一扇窗户，上部是半圆形，其下部是边长相同的四个小正方形，所有窗框使用铝合金材料，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃，已知下部小正方形的边长是a米（本题中π取3，长度单位为米）．    (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金多少米？（用含a的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？（用含a代数式表示，窗框宽度忽略不计） (3)某公司需要购进扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商给出的报价如下表，当时，该公司在哪家厂商购买合算？ 铝合金 （米/元） 彩色玻璃 （平方米/元） 透明玻璃（平方米/元） 甲 不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米 乙 元/平方米，每购1平方米透明玻璃送米铝合金 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $