（寒假讲义-预习篇）第四讲 幂的运算（章节复习）十二大重点考点练+三难度分层练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第四讲 幂的运算（章节复习） 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1．了解幂的运算性质、零指数幂和负整数指数幂的意义，会借助符号语言进行正确的描述，能用科学记数法表示较小的正数； 2．厘清幂的运算的算理，会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步运算的依据； 3．通过具体的例子，体会本章学习中体现的从具体到抽象、从特殊到一般科学思考问题、研究问题的方法，进一步渗透转化、归纳的数学思想方法，发展合情推理和演绎推理的能力； 4．回顾本章所学的知识与方法，对本章知识进行梳理，使所学知识系统化、结构化，进一步积累探索公式、法则、性质的数学活动经验．   教学重难点 重点：结构化幂的运算的相关知识，能比较熟练进行幂的运算． 难点：建构本章知识体系，渗透转化、归纳、分类讨论的数学思想方法． 知识点一：同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二：幂的乘方 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三：积的乘方 1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四：同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． 2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【易错点拨】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点五：零指数幂的意义 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【易错点拨】 1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点六：零指数幂的意义 1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． 2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点七：科学记数法 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 考点一：同底数幂相乘 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【完整解答】解： 故答案为：1． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·月考）在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查新定义下对同底数幂的乘法法则的应用，解题的关键是正确理解题意，准确计算． （1）令，根据，即可证明； （2）根据新定义，将变形，得，可得进而可求的值． 【完整解答】（1）证明：令，，可得：， 又， 故等式左右两边同时除以得：． （2）解：， 而 ， ． 【变式2】（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可． 【完整解答】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为， 第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即， 第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为， 所以 ． 故选B． 考点二：同底数幂乘法的逆用 【例2】（22-23八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【完整解答】解： ，，， ， ， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，则 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了非负数的性质，同底数幂的乘法．根据绝对值和偶次方的非负性，得出，，，…，，，代入计算即可得到答案，利用换元法解决问题是解题关键 【完整解答】解：， ，，，…，，， ，，，…，，， 令，则， ， 原式， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【答案】①；②；③；④；（1）；；；（2）的值为625． 【思路引导】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 【完整解答】解：①； ②； ③（m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：； 故答案为：①；②；③；④； （1）；；； 故答案为：；；； （2），， ， ， 的值为625． 【考点再现】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 考点三：用科学记数法表示数的乘法 【例3】24-25八年级上·江苏南通·期中）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 【答案】 【思路引导】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【完整解答】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可． 【完整解答】解：． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【思路引导】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【完整解答】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 考点四：幂的乘方运算 【例4】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则分别计算判断即可． 【完整解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 【考点再现】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算 (1)___________； (2)___________． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算即可； （）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 【变式2】（21-22七年级下·江苏扬州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝   ，（2，1）＝    ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 【答案】(1)2，0，-2 (2)①0；②见解析 【思路引导】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可； （2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可． 【完整解答】（1）解：∵ 52=25， ∴（5，25）=2； ∵20=1， ∴（2，1）=0； ∵ ∴ 故答案为：2，0，-2； （2）①（8，1000）-（32，100000） =（23，103）-（25，105） =（2，10）-（2，10） =0； ②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10， 所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y， 所以（3，2）+（3，5）=（3，10）． 【考点再现】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 考点五：幂的乘方的逆用 【例5】（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 【答案】 【思路引导】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【完整解答】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【考点再现】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及负整数指数幂，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件求出指数的代数和，进而计算幂的结果． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·月考）（1）若，则的值为 ． （2）若，则的值是 ． 【答案】 8 11或 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的正用与逆用，求代数式的值； （1）由得，再把4与32分别表示成2为底的幂，利用幂的乘方及同底数幂的乘法得，再整体代入即可求解； （2）由可求得a与b的值，即可求解． 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：8； （2）∵， ∴， 即， ∴，， 即，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为11或， 故答案为：11或． 【变式2】（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【完整解答】（1）解： （2）解：， ， 考点六：积的乘方运算 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （3）根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （4）先利用积的乘方逆运算进行简便运算，然后再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【完整解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用幂的乘方法则，通过底数不变、指数相乘来计算； （2）运用幂的乘方法则，同时注意负数偶次幂的符号处理； （3）先对两个式子分别进行幂的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算； （4）把看作一个整体，运用幂的乘方法则计算． 【完整解答】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 【考点再现】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，根据各自的运算法计算即可． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先利用积的乘法的逆运算计算，然后再计算即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： 考点七：积的乘方的逆用 【例7】（20-21七年级下·四川达州·期中） ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将原式变形为，再结合同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算继续变形为，即可求解． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 【变式1】（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，幂的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）逆用幂的乘方简便计算即可； （3）先去中括号，再移项合并化简求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 解得． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了积的乘方运算逆应用，解方程，含有乘方的有理数混合运算，同底数幂相乘，熟练掌握公式，运算法则是解题的关键．（1）逆用积的乘方运算法则解答即可． （2）逆用积的乘方运算法则，解方程，解答即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 考点八：同底数幂的除法运算 【例8】（20-21七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【思路引导】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘除法和积的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据有理数的乘方法则、0指数幂和负整数指数幂的法则计算，再计算加减； （2）先根据同底数幂的乘除法和积的乘方法则计算，再计算加减． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（21-22七年级下·贵州毕节·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)4 (4)2 【思路引导】本题考查了幂的运算（幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除）、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握各类幂的运算法则和特殊指数幂的定义，灵活运用平方差公式简化计算． （1）先根据幂的乘方法则计算，再依次进行同底数幂的乘法和除法运算； （2）先分别计算和，再进行同底数幂的乘法，最后算除法，注意符号变化； （3）分别依据负整数指数幂、零指数幂和乘方的定义计算各项，再进行加减运算； （4）将变形为，利用平方差公式展开，再代入计算． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方等基本法则．需逐一验证各选项的正确性． 【完整解答】解：选项A：，结果应为而非1，故A错误； 选项B：，结果应为而非，故B错误； 选项C：，结果应为而非，故C错误； 选项D：，结果正确，故D正确； 故选：D． 考点九：同底数幂除法的逆用 【例9】若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【完整解答】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）200；（2） 【思路引导】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法，逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则可得，再整体代入求值即可； （2）逆用幂的乘方法则得到，再利用同底数幂的乘法得到，得出，再整体代入求值即可． 【完整解答】解：（1），， ； （2）， ， ． 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【思路引导】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【完整解答】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【考点再现】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 考点十：幂的混合运算 【例10】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，涉及了零指数幂、负指数幂、单项式的乘除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）按顺序先分别进行乘方运算、零次幂运算、负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）按顺序进行单项式乘除法运算、积的乘方运算，然后再进行整式的加减法运算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·江西九江·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)9 (2) 【思路引导】本题主要考查了幂的混合计算，负整数指数幂，零指数幂，积的乘方逆运算： （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，积的乘方逆运算，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，然后合并同类项解答即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：原式 考点十一：零指数冪 【例11】（11-12七年级下·江苏泰州·月考）计算 (1) (2) (3) (4) (5)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路引导】本题考查了幂的运算，涉及零指数幂和负整数指数幂，同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算； （2）先将底数都化为，再运用同底数幂的乘法运算法则计算； （3）先利用交换律和结合律将原式变形，再分别计算有理数的乘法和同底数幂的乘法； （4）先将底数都化为，再运用同底数幂的除法运算法则计算； （5）先计算幂的乘方、同底数幂的乘法和积的乘方，再合并同类项． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 【变式1】（1）计算：； （2）如图，两直线，相交，如果，那么，，各是多少度？ 【答案】（1）；（2），， 【思路引导】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，对顶角相等，邻补角的求解，熟练掌握相关定义，相关运算法则为解题关键． （1）先算零指数幂，负整数指数幂，再算除法即可； （2）根据对顶角相等求出，的度数，再根据邻补角求出结果． 【完整解答】解：（1）； （2），， ， ， ， ，，． 【变式2】（20-21七年级下·广东茂名·月考）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质，积的乘方的逆用进行解答即可． 【完整解答】解：原式 ． 考点十二：负整数指数冪 【例12】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，有理数的乘方法则，零指数幂计算后再算乘除，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法法则计算后再合并同类项即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求x的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1） ；（2） 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再转换为一元一次方程即可； （2）先根据得出，再将变形，然后整体代入求值即可. 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值． （2）计算： 【答案】（1）24；（2）3 【思路引导】本题考查了幂的乘方与积的乘方，零指数幂与负整数次幂． （1）由得，再根据幂的乘方法则化简即可； （2）先计算乘方，零指数幂与负整数次幂，再进行加减运算． 【完整解答】解：（1） ， ， ； （2） ． 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加，是解题的关键． 本题需根据规则逐一计算并判断选项正误． 【完整解答】解：幂的乘方法则：，同底数幂相乘法则：． A、，不符合题意； B、，且负号在外， ，不符合题意； C、， ，与选项一致，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【完整解答】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 3．，则的值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，逆用同底数幂的乘法法则将转化为后代入已知值计算即可． 【完整解答】解：∵，， ∴． 故答案为：6． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题（结果用科学记数法表示，可以借助计算器计算）： (1)某圆形湖面的半径为，请计算湖面的面积．（取） (2)太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为，太阳的体积大约是多少？（取，其中，分别为球的体积与半径） (3)光的速度约为．太阳光照射到地球上大约需要．地球与太阳的距离大约是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了科学记数法．将数字用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据圆的面积公式进行列式计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． （2）根据球体的体积公式进行列式计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． （3）根据地球与太阳的距离等于光的速度×时间，进行计算，计算的结果用科学记数法来表示，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，， ∴湖面的面积为； （2）解：依题意，， ∴太阳的体积大约是； （3）解：依题意，， ∴地球与太阳的距离大约是 能力提升练 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【完整解答】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方等基本法则．逐一验证各选项的正确性即可． 【思路引导】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选： C． 2．（24-25七年级下·河南焦作·期末）已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查乘法的定义，乘方的定义，同底数幂的除法，根据乘法的定义和幂的定义先计算等式，然后根据同底数幂的除法解答即可． 【完整解答】解：， ， ∴， 故选：D 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）若，均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【完整解答】解：， ， ， ， 即， ∴， ∴． 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知，，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接逆用同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则将原式变形，然后代入计算即可得出答案． 【完整解答】解：∵，， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【思路引导】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【完整解答】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 拔尖拓展练 1．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【完整解答】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 2．（20-21九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路引导】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【完整解答】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【考点再现】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算、有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂乘法的运算法则将原式写成，再运用有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算进行简便运算即可． 【完整解答】解： ． 故答案为． 4．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 【答案】 1 【思路引导】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解； （2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【考点再现】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 5．（23-24七年级下·河南郑州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【思路引导】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【完整解答】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 幂的运算（章节复习） 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1．了解幂的运算性质、零指数幂和负整数指数幂的意义，会借助符号语言进行正确的描述，能用科学记数法表示较小的正数； 2．厘清幂的运算的算理，会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步运算的依据； 3．通过具体的例子，体会本章学习中体现的从具体到抽象、从特殊到一般科学思考问题、研究问题的方法，进一步渗透转化、归纳的数学思想方法，发展合情推理和演绎推理的能力； 4．回顾本章所学的知识与方法，对本章知识进行梳理，使所学知识系统化、结构化，进一步积累探索公式、法则、性质的数学活动经验．   教学重难点 重点：结构化幂的运算的相关知识，能比较熟练进行幂的运算． 难点：建构本章知识体系，渗透转化、归纳、分类讨论的数学思想方法． 知识点一：同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二：幂的乘方 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三：积的乘方 1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四：同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． 2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【易错点拨】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点五：零指数幂的意义 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【易错点拨】 1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点六：零指数幂的意义 1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． 2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点七：科学记数法 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 考点一：同底数幂相乘 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·月考）在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【变式2】（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 考点二：同底数幂乘法的逆用 【例2】（22-23八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，则 ． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 考点三：用科学记数法表示数的乘法 【例3】24-25八年级上·江苏南通·期中）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 考点四：幂的乘方运算 【例4】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算 (1)___________； (2)___________． 【变式2】（21-22七年级下·江苏扬州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝   ，（2，1）＝    ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 考点五：幂的乘方的逆用 【例5】（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·月考）（1）若，则的值为 ． （2）若，则的值是 ． 【变式2】（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 考点六：积的乘方运算 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (3)． (4)． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (2) ． (4)． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）计算： (1) ； (2) 考点七：积的乘方的逆用 【例7】（20-21七年级下·四川达州·期中） ． 【变式1】（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 考点八：同底数幂的除法运算 【例8】（20-21七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（21-22七年级下·贵州毕节·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点九：同底数幂除法的逆用 【例9】若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 考点十：幂的混合运算 【例10】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·江西九江·期中）计算： (1) (2)． 考点十一：零指数冪 【例11】（11-12七年级下·江苏泰州·月考）计算 (1) (2) (2) (4) (4) ； 【变式1】（1）计算：； （2）如图，两直线，相交，如果，那么，，各是多少度？ 【变式2】（20-21七年级下·广东茂名·月考）计算：． 考点十二：负整数指数冪 【例12】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1) ； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求x的值． （2）已知，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值． （2）计算： 基础通关练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 3．，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题（结果用科学记数法表示，可以借助计算器计算）： (1)某圆形湖面的半径为，请计算湖面的面积．（取） (2)太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为，太阳的体积大约是多少？（取，其中，分别为球的体积与半径） (3)光的速度约为．太阳光照射到地球上大约需要．地球与太阳的距离大约是多少？ 能力提升练 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南焦作·期末）已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）若，均为正整数，且，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知，，则的值是 ． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 拔尖拓展练 1．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 2．（20-21九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ． 4．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 5．（23-24七年级下·河南郑州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $