专题5.1 从实际问题到方程（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦“从实际问题到方程”核心内容，系统梳理方程、方程的解、一元一次方程的概念辨析，检验解的方法，实际问题列方程及含参数问题，形成从概念到应用再到拓展的递进式学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”设计，结合古代分银等实际问题培养模型意识，通过参数求解提升推理能力。课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，落实用数学思维思考、用数学语言表达现实世界的核心素养。

专题5.1 从实际问题到方程 教学目标 1.理解方程、方程的解、一元一次方程的核心概念，能准确判断式子是否为方程或一元一次方程； 2.掌握检验方程解的方法，能快速验证未知数的值是否为方程的解； 3.会根据简单数量关系和实际问题列出方程，体会方程的模型思想； 4.能解决含参数的一元一次方程基础问题，掌握参数求解的基本思路； 5.培养分析实际问题、提炼等量关系的能力，形成数学应用意识。 教学重难点 重点： （1）方程和一元一次方程的概念辨析； （2）检验方程解的步骤和方法； （3）根据实际问题中的等量关系列方程； （4）一元一次方程定义中参数的取值要求（如系数不为0）。 难点： （1）准确找出实际问题中的等量关系（尤其是含“多、少、倍、几分之几”等关键词的问题）； （2）含参数的一元一次方程中参数的求解（结合未知数次数、系数条件）； （3）列方程时的单位统一（如速度单位km/h与时间单位分钟的转换）； （4）复杂实际问题（如分段计费、配套问题）的等量关系提炼。 知识点01：方程的概念 含有未知数的等式叫作方程。需同时满足两个条件：①是等式；②含有未知数（未知数可多个，如）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫作方程，进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程； B、不是等式，不是方程； C、是代数式，不是等式，不是方程； D、是方程； 故选：D． 知识点02：方程的解与解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值； 2.解方程：求方程的解的过程（与方程的解的区别：解是具体数值，解方程是过程）。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．将 代入各方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项A不符合题意； B．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项B不符合题意； C．把代入，左边，右边，左边右边，故选项C不符合题意； D．把代入方程，左边，右边，故选项D符合题意． 故选：D． 知识点03：一元一次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程。一般形式：（，、为常数）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·吉林·期末）下列各项中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握“一元一次方程需满足只含一个未知数、未知数次数为1、是整式方程”是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，逐一判断每个选项是否符合“只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程”的条件． 【详解】不是整式方程，故不是一元一次方程； 选项B：含2个未知数，不是一元一次方程； 选项C：只含1个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； 选项D：中未知数次数为2，不是一元一次方程． 故选：C． 知识点04：根据实际问题列方程 核心是找出等量关系，步骤为：①审（分析已知量、未知量及关系）；②设（用字母表示未知数，可直接设或间接设）；③列（用代数式表示等量关系中的量，列出方程），列方程时需保证单位统一。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山西朔州·月考）根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据题意直接列出方程，x的3倍是，与4的和是，等于x的一半是，因此方程为，即可作答． 【详解】解：根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为， 故选：C． 知识点05：方程相关的参数问题 已知方程的解求参数值、根据一元一次方程的定义求参数取值范围（如未知数系数不为0、次数为1）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）已知是关于x的方程的解，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查方程的解，求代数式的值．将代入方程，得到关于a和b的方程，然后利用这个关系求代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 题型01：判断式子是否为方程 方法技巧：紧扣“等式+含未知数”双条件，排除不等式（如）、代数式（如）、不含未知数的等式（如）。 【典例1】. （2022七年级上·全国·专题练习）下列叙述中，正确的是（   ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 【答案】B 【分析】根据方程的概念结合选项选出正确答案即可． 【详解】解：A、方程是含有未知数的等式，错误； B、方程是含有未知数的等式，故选项正确； C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误； D、含有未知数的等式叫作方程，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的概念，掌握各知识点的定义是解答本题的关键． 【变式1】. （23-24七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是等式，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是等式，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西延安·月考）下列各式中，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【变式3】. （25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 题型02：判断是否为一元一次方程 方法技巧：满足三条件：①只含一个未知数； ②未知数次数为1； ③等式两边是整式，排除分式方程（如），多元方程（如）等。 【典例2】. （25-26七年级上·河北邢台·月考）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义；根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程. 【详解】解：A、含有一个未知数x，且x的次数为1，是一元一次方程，故A符合题意； B、，x的次数为2，不是一次方程，故B不符合题意； C、是代数式不是等式，不是方程，故C不符合题意； D、含有两个未知数x和y，不是一元方程，故D不符合题意. 故选：A. 【变式1】. （25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列各式中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，未知数有个，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； B、是一元一次方程，该选项符合题意； C、不是整式方程，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； D、中未知数的最高次数不是1，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】. （22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列属于一元一次方程的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元一次方程； B．是一元一次方程； C．等号左边不是整式，不是一元一次方程； D．未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； 故选B． 【变式3】. （24-25七年级上·陕西咸阳·月考）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程叫作一元一次方程，据此可得答案，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：：方程中，未知数的次数为，不属于一元一次方程，不符合题意； 、方程中仅含有一个未知数，次数为，且为整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 、方程中含有，不是整式方程，不属于一元一次方程，不符合题意； 、方程含有两个未知数和，不属于一元一次方程，不符合题意； 故选：． 题型03：检验未知数的值是否为方程的解 方法技巧：①代入：将未知数的值代入方程左右两边； ②计算：分别求出两边结果； ③判断：若两边相等，则是解；反之则不是。 【典例3】. （25-26七年级上·湖北孝感·期末）方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，能使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解． 逐一代入计算即可． 【详解】解：A．时； B．时； C．时； D．时； 故选：D． 【变式1】. （2025七年级上·北京·专题练习）检验是不是方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是知道方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把分别代入方程左右两边，检验即可． 【详解】解：当时，左边： ， 右边： ， ∴左边右边， ∴是方程的解． 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题； （2）将代入方程左边并求解判断，即可解题； （3）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （2）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （3）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 【变式3】. （2025七年级上·全国·专题练习）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 0 4 8 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：由方程可得， 观察表格，当时，， 故方程的解为：． 故答案为：． 题型04：根据一元一次方程的定义求参数值/范围 方法技巧：①未知数次数为1（如）； ②未知数系数不为0（如）； ③联立求解，注意排除使系数为0的参数值。 【典例4】. （24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的概念是解决本题的关键． 根据一元一次方程的概念，即“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫作一元一次方程”，由此列式计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，即， 解得，， 又∵时，x的系数为，不满足一元一次方程的定义， ∴． 故答案为：1 ． 【变式1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义. （1）根据一次项系数不等于即可得到的值. （2）根据未知数的次数等于即可解决. 【详解】解：（1）由题意可得： 故答案为： （2）由题意可得： 故答案为：2. 【变式2】. （24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，求得m的值即可； （2）分两种情况，先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得或且， ∴或； （2）解：当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式3】. （2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知方程是一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． 根据一元一次方程的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且， ∴． 故答案为：． 题型05：根据简单数量关系列方程 方法技巧：抓住关键词（和、差、积、商、倍、几分之几），将文字语言转化为代数式，再根据等量关系列等式（如“的3倍比的大7”转化为）。 【典例5】. （24-25六年级上·上海·月考）列方程：x的相反数与6的倒数的和为3 【答案】 【分析】本题考查了倒数与相反数的概念.此类题关键是抓住倒数和相反数的概念，根据题意，x的相反数是，6的倒数是，它们的和为3，由此列出方程. 【详解】解 ：根据题意得： 故答案为：. 【变式1】. （25-26七年级上·河南许昌·月考）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列一元一次方程，主要根据题意中的关系，列出部分关系是解题的关键． 首先根据题意利用总人数列出女生人数为人，再利用男生人数比女生人数多20人由此列方程即可． 【详解】解：由题意得：女生人数为人， ∵男生人数比女生人数多20人， ∴， 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【列方程】幼儿园的老师给小朋友们发小红花，若每位小朋友5朵，就多出12朵；若每位小朋友7朵，就少14朵．设共有小红花x朵，那么可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设共有小红花x朵，根据“每位小朋友5朵，就多出12朵；若每位小朋友7朵，就少14朵”列方程即可． 【详解】解：设共有小红花x朵， 列方程为， 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级上·广东深圳·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有 ． ①设有个人，则可列方程：；②设有个人，则可列方程：； ③设有两银子，则可列方程：；④设有两银子，则可列方程： 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有个人，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子两；根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有银子两；设有两银子，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有人 ；根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有人 ；据此即可求解； 【详解】解：设有个人， 根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子两； 根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有银子两； ∴可列方程：；故①错误；②正确； 设有两银子， 根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有人 ； 根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有人 ； ∴可列方程：；故③错误；④正确； 故答案为：②④ 题型06：已知方程的解求参数的值 方法技巧：①代入：将方程的解代入原方程； ②化简：得到关于参数的一元一次方程； ③求解：解参数方程，得出参数值。 【典例6】. （25-26七年级上·江苏无锡·月考）如果关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值．根据一元一次方程的解的定义，将代入方程得到，然后将代数式变形为，整体代入求解． 【详解】解：关于的方程的解是， ． ． 故答案为：． 【变式1】. （25-26七年级上·山东菏泽·月考）若 是关于 的方程 的解，则的值是 ． 【答案】2020 【分析】本题考查方程的解的意义以及整体代入法求代数式的值，灵活运用方程的解是解题的关键． 将代入方程中，得到关于和的等式，然后利用整体代入法进行求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∵， 代入， 得， 故答案为：2020． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏·月考）若是方程的解，则值为 ． 【答案】13 【分析】将代入方程得的值，再将提取公因式2变形为后代入求值． 本题主要考查了一元一次方程的解，把解代入方程中得到代数式是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为：13． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏苏州·期中）若是方程的解，则值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念和代数式求值．将代入原方程，可推出，再对所求代数式进行变形，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查方程解的概念及解一元一次方程．关键在于理解“解”的含义，即将解代入原方程可使等式成立，从而建立关于未知参数的方程并求解．题目给出是方程的解，说明将代入方程后等式成立．可以通过将的值代入原方程，解关于的一元一次方程，从而求出的值，再选择对应的选项． 【详解】解：是方程的解， ， ， . 故选B 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，含有未知数x和y，且是等式，是方程； ② 含有未知数x，且是等式，是方程； ③ 没有未知数，不是方程； ④ 不是等式，不是方程； ⑤ 含有未知数x，且是等式，是方程； ⑥ 含有未知数x，且是等式，是方程． 综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：D． 3．某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了列方程，根据题意“某数的3倍比它的2倍多1”，直接转化为方程． 【详解】解：设某数为x， ∵某数的3倍比它的2倍多1， ∴比多1， ∴． 故选：D． 4．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解． 方程的解即求使整式值为8的x，由表格数据直接对应可得． 【详解】解：由表格知，当时，， 则方程的解为． 故选：D． 5．下列方程属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：A、，只有一个未知数x，且次数为1， 是一元一次方程，本选项符合题意； B、，有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意； C、，有一个未知数，但未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、，有两个未知数，且次数为2，不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．已知是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将代入方程求解m． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 7．实数是关于的方程的解，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握整体代入是解题关键．由方程的解可得，代入并化简，利用等式关系求值即可． 【详解】解：∵实数是关于的方程的解， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：． 8．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义．解题的关键在于准确理解一元一次方程中未知数次数为这一关键条件，将其应用到给定的方程中，得到关于的方程．解出即可． 【详解】∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 故答案为2． 9．用一根长36米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的3倍，长方形的宽是多少米？设长方形的宽为x米，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，先表示出长方形的长，再根据长方形周长公式列方程即可． 【详解】解：设长方形的宽为x米，则长方形的长为米， 由题意得，， 故答案为：． 10．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，将代入方程 ，得到，即可求出． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以， 所以， 故答案为： 1． 三、解答题 11．根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【详解】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 12．已知关于x的方程的解是，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程得， 解得：， 答：的值是． 13．方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．判断和是不是方程的解． 【答案】不是方程的解，是方程的解，见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 将和分别代入方程，判断等号两边值是否相等即可解答． 【详解】解：将代入方程的左边，得左边， ∴左边右边， 因此不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， ∴左边=右边， 因此是方程的解． 15．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 从实际问题到方程 教学目标 1.理解方程、方程的解、一元一次方程的核心概念，能准确判断式子是否为方程或一元一次方程； 2.掌握检验方程解的方法，能快速验证未知数的值是否为方程的解； 3.会根据简单数量关系和实际问题列出方程，体会方程的模型思想； 4.能解决含参数的一元一次方程基础问题，掌握参数求解的基本思路； 5.培养分析实际问题、提炼等量关系的能力，形成数学应用意识。 教学重难点 重点： （1）方程和一元一次方程的概念辨析； （2）检验方程解的步骤和方法； （3）根据实际问题中的等量关系列方程； （4）一元一次方程定义中参数的取值要求（如系数不为0）。 难点： （1）准确找出实际问题中的等量关系（尤其是含“多、少、倍、几分之几”等关键词的问题）； （2）含参数的一元一次方程中参数的求解（结合未知数次数、系数条件）； （3）列方程时的单位统一（如速度单位km/h与时间单位分钟的转换）； （4）复杂实际问题（如分段计费、配套问题）的等量关系提炼。 知识点01：方程的概念 含有 的 叫作方程。需同时满足两个条件：① ；② （未知数可多个，如）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）下列式子是方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：方程的解与解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值 的未知数的 ； 2.解方程： （与方程的解的区别：解是具体数值，解方程是过程）。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 知识点03：一元一次方程的概念 只含有 ，且未知数的 ，等式两边都是 的方程叫作一元一次方程。一般形式：（，、为常数）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·吉林·期末）下列各项中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点04：根据实际问题列方程 核心是找出 ，步骤为：①审（分析已知量、未知量及关系）；②设（用字母表示未知数，可直接设或间接设）；③列（用代数式表示等量关系中的量，列出方程），列方程时需保证 。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山西朔州·月考）根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 知识点05：方程相关的参数问题 已知方程的解求参数值、根据一元一次方程的定义求参数取值范围（如未知数系数不为0、次数为1）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）已知是关于x的方程的解，则 ． 题型01：判断式子是否为方程 方法技巧：紧扣“等式+含未知数”双条件，排除不等式（如）、代数式（如）、不含未知数的等式（如）。 【典例1】. （2022七年级上·全国·专题练习）下列叙述中，正确的是（   ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 【变式1】. （23-24七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西延安·月考）下列各式中，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【变式3】. （25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 题型02：判断是否为一元一次方程 方法技巧：满足三条件：①只含一个未知数； ②未知数次数为1； ③等式两边是整式，排除分式方程（如），多元方程（如）等。 【典例2】. （25-26七年级上·河北邢台·月考）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列各式中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列属于一元一次方程的是（　  ） A． B． C． D． 【变式3】. （24-25七年级上·陕西咸阳·月考）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型03：检验未知数的值是否为方程的解 方法技巧：①代入：将未知数的值代入方程左右两边； ②计算：分别求出两边结果； ③判断：若两边相等，则是解；反之则不是。 【典例3】. （25-26七年级上·湖北孝感·期末）方程的解是（  ） A． B． C． D． 【变式1】. （2025七年级上·北京·专题练习）检验是不是方程的解． 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【变式3】. （2025七年级上·全国·专题练习）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 0 4 8 题型04：根据一元一次方程的定义求参数值/范围 方法技巧：①未知数次数为1（如）； ②未知数系数不为0（如）； ③联立求解，注意排除使系数为0的参数值。 【典例4】. （24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【变式1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【变式2】. （24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【变式3】. （2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知方程是一元一次方程，则m的值是 ． 题型05：根据简单数量关系列方程 方法技巧：抓住关键词（和、差、积、商、倍、几分之几），将文字语言转化为代数式，再根据等量关系列等式（如“的3倍比的大7”转化为）。 【典例5】. （24-25六年级上·上海·月考）列方程：x的相反数与6的倒数的和为3 【变式1】. （25-26七年级上·河南许昌·月考）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为 ． 【变式2】. （24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【列方程】幼儿园的老师给小朋友们发小红花，若每位小朋友5朵，就多出12朵；若每位小朋友7朵，就少14朵．设共有小红花x朵，那么可列方程： ． 【变式3】. （24-25七年级上·广东深圳·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有 ． ①设有个人，则可列方程：；②设有个人，则可列方程：； ③设有两银子，则可列方程：；④设有两银子，则可列方程： 题型06：已知方程的解求参数的值 方法技巧：①代入：将方程的解代入原方程； ②化简：得到关于参数的一元一次方程； ③求解：解参数方程，得出参数值。 【典例6】. （25-26七年级上·江苏无锡·月考）如果关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【变式1】. （25-26七年级上·山东菏泽·月考）若 是关于 的方程 的解，则的值是 ． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏·月考）若是方程的解，则值为 ． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏苏州·期中）若是方程的解，则值为 ． 一、单选题 1．已知是关于的方程的解，则的值为（） A． B． C．1 D．2 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 4．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 5．下列方程属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 7．实数是关于的方程的解，若，则的值为 ． 8．若是关于的一元一次方程，则 ． 9．用一根长36米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的3倍，长方形的宽是多少米？设长方形的宽为x米，则可列方程为 ． 10．若是关于的方程的解，则的值为 ． 三、解答题 11．根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 12．已知关于x的方程的解是，求a的值． 13．方程与方程的解相同，求k的值． 14．判断和是不是方程的解． 15．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $