第5章 一元一次方程单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，分知识点模块（概念、性质、解法、应用等）构建知识体系，用“知识点+即学即练”形式呈现脉络，突出方程定义、解法步骤及实际应用等核心内容的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖基础（识别方程）、提升（含参数方程讨论）、创新（古代情境应用题），融入“参数分离法”“整体思想”等技巧，培养运算能力与模型意识。如行程问题通过“路程=速度×时间”建模，帮助学生用数学语言表达现实问题，支持分层教学与自主复习。

第5章 一元一次方程 教学目标 1.理解一元一次方程的定义和标准形式，能准确识别一元一次方程及验证方程的解。 2.掌握等式的基本性质，能熟练运用步骤解各类一元一次方程，提高计算准确率。 3.能从实际问题中抽象等量关系，列一元一次方程解决常见应用问题，培养建模能力。 4.识别并规避解方程及应用中的易错点，形成严谨的数学思维习惯。 5.体会方程思想的实用性，感受数学与生活的紧密联系，提升应用意识。 教学重难点 重点 （1）一元一次方程的定义、标准形式及正确解法。 （2）从实际问题中分析等量关系并列出一元一次方程。 （3）等式基本性质的理解与在方程变形中的应用。 （4）常见实际问题（行程、工程、和差倍分）的方程求解。 难点 （1）实际问题中等量关系的精准挖掘与文字语言向符号语言的转化。 （2）含分母、括号的一元一次方程解法中，去分母漏乘、去括号变号错误的规避。 （3）含参数一元一次方程的解的讨论（有解、无解、整数解）。 （4）结合图表、古代情境等创新型应用问题的建模过程。 知识点01：一元一次方程的概念与方程的解 只含有 未知数，且未知数的 为1，等号两边都是 的方程，叫作一元一次方程；标准形式为（其中，、为常数）。使方程左右两边 的未知数的值，叫作方程的解（也叫根），可通过代入验证。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·月考）已知是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与的解相同，求． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 知识点02：等式的基本性质 性质1：等式两边加（或减） （或式子），结果仍 ，即若，则； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以 ，结果仍 ，即若，则（为任意数），若且，则。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）已知等式，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点03：一元一次方程的解法步骤 基本思路是将方程转化为的形式，核心步骤：去分母→去 →移项→ →系 ，步骤可根据方程特点灵活调整。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 知识点04：一元一次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤：审（找已知量、未知量及等量关系）→设（直接设或间接设未知数）→列（列一元一次方程）→解（解方程）→验（检验解的实际意义）→答（写答案）。 1．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？（） 【即学即练】 知识点05：常见实际问题的等量关系 包括和差倍分问题（、）、行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×时间，总工作量常设为1）、销售利润问题（利润=售价-成本，售价=标价×折扣）等。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以的速度行进，走了的时候，学校要将一个紧急通知传给队长．通讯员从学校出发，骑自行车以的速度按原路追上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？ 分析：等量关系：① 用的时间 用的时间； ②追上时， 所走的路程 所走的路程．设通讯员追上学生队伍需要，则行进了，学生队伍共走了 ．等量关系如图． 由题意，可列方程 ． 知识点06：高频易错点辨析 移项 、去分母漏乘 的项、去括号时 、系数化为1时混淆乘除运算、忽略一元一次方程中的条件。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）解方程： (1) (2) 题型01识别方程与一次方程 方法技巧：判断方程需满足“含未知数+是等式”；判断一次方程需额外满足“只含一个未知数+未知数次数为1+等号两边是整式”，逐一验证条件即可。 【典例1】. （25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆南川·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式和多项式统称为整式 B．倒数等于本身的数有0和1 C．所有等式都是方程 D．最小的有理数是0 【变式2】. （25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是 ． 【变式3】. （25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若该方程与方程的解相同，求的值． 题型02根据一元一次方程定义求参数 方法技巧：先将方程整理为标准形式，再满足三个条件：①只含一个未知数；②；③，列不等式或方程求解参数。 【典例2】. （25-26七年级上·河南许昌·月考）若是一元一次方程，则 ． 【变式1】. （25-26七年级上·江苏盐城·月考）若是一元一次方程，则 ． 【变式2】. （25-26七年级上·贵州黔西·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，n为常数，且是该一元一次方程的解，求m和n的值． 【变式3】. （24-25七年级上·江西吉安·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 题型03等式性质的应用（方程变形） 方法技巧：牢记等式两大性质，变形时遵循“同加同减、同乘同除（除不为0）”，判断变形正误需对比等式两边变化是否一致。 【典例3】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知等式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）下列等式的变形不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3】. （25-26七年级上·山东日照·月考）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型04解一元一次方程 方法技巧：按“移项（变号）→合并同类项→系数化为1”步骤求解，移项时注意常数项与含未知数项分类移动，系数化为1时关注系数正负。 去分母时乘所有分母的最小公倍数，不漏乘常数项；分子是多项式时加括号；去括号遵循“先小后大”，括号前是“-”需变号；后续按移项、合并、系数化为1求解。 【典例4】. （25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）解方程． (1) (2) 【变式1】. （25-26七年级上·湖北宜昌·期末）解方程: 【变式2】. （25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1) (2) 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 题型05已知方程的解求参数 方法技巧：将方程的解代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，按常规步骤求解参数，最后可代入验证。 【典例5】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）若是方程的解，则的值是（   ） A． B．4 C． D．2 【变式1】. （25-26六年级上·上海普陀·月考）已知是方程的解，那么a的值是 ． 【变式2】. （25-26七年级上·山东德州·月考）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏南京·月考）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 题型06一元一次方程的应用（和差倍分问题） 方法技巧：根据“倍数关系设未知数，和差关系列等式”，明确谁是基准量，避免设元混乱，解后检验是否符合实际数量关系。 【典例6】. （25-26七年级上·广西崇左·月考）某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；每人分4个则差2个；问有多少个小朋友？设有x个小朋友，则可列方程为（　　） A． B．= C． D．= 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，今年10月该厂生产再生纸，比去年10月再生纸产量的2倍还多，去年10月该造纸厂生产再生纸多少吨？设去年10月该造纸厂生产再生纸x吨，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两车间原有人数的比是，从甲车间调出48人到乙车间后，甲车间的人数是乙车间的．甲、乙两车间原来各有多少人？ 【变式3】. （25-26七年级上·广东东莞·月考）在一次劳动课上，有35名同学在甲处劳动，有21名同学在乙处劳动，现在另调25人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲处多少人？ 题型07一元一次方程的应用（行程、工程问题） 方法技巧：行程问题先区分相遇（）或追及（）类型；工程问题设总工作量为1，利用“效率和×时间=工作量”列方程。 【典例7】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）操场一周是400米，小明每秒跑6米，小华骑自行车每秒行驶16米，两人绕跑道同时同地同向而行，他们用了 秒第一次相遇． 【变式1】. （25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，则所列方程为 ． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【变式3】. （25-26七年级上·江苏南京·期末）从地到地是一段相距千米先上坡，再下坡的公路．一辆汽车从地驶往地后再原路返回地，汽车在上坡时的速度为千米时，下坡时的速度为千米时，从地驶往地所需时间比从地驶往地所需时间多小时，求从地驶往地时上坡和下坡的路程． 题型8一元一次方程的应用（销售、利润问题） 方法技巧：牢记核心公式“利润=售价-成本”“利润率=”，明确折扣对应的售价比例，通过表格梳理已知量与未知量的关系。 【典例8】. （25-26七年级上·辽宁丹东·期末）商场以240元/件的价格购进某种商品，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【变式1】. （25-26七年级上·广东潮州·月考）某商店将一件商品按进价提高后标价，再打7折销售，售价为210元，设进价为x元，列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）靖边苦荞以籽粒大小一致、皮薄、出粉率高、营养丰富的特点而闻名．某商店购进20罐靖边苦荞，每罐以150克为标准，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数．这20罐靖边苦荞与标准质量的偏差数据记录如下： 与标准质量的偏差数据/克 0 罐数/罐 4 2 3 4 6 1 (1)这20罐靖边苦荞中，最重的一罐比最轻的一罐重多少克？ (2)与标准质量相比，这20罐靖边苦荞总计超过或不足多少克？ (3)已知该商店购进靖边苦荞每罐的进价相同，若将这20罐靖边苦荞以每罐4.5元的价格全部售出（不计损耗），该商店共可获利，求每罐靖边苦荞的进价．（列方程解答） 【变式3】. （25-26七年级上·北京东城·期末）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 题型9含参数一元一次方程的解的讨论 方法技巧：先将方程整理为形式，时方程有唯一解；且时方程无解；且时方程有无数解。 【典例9】. （2024七年级上·全国·专题练习）阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是 ． 【变式1】. （22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果关于x的方程无解，那么实数a需要满足的条件是 ． 【变式2】. （23-24七年级下·吉林长春·月考）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【变式3】. （2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 题型10含参数一元一次方程的整数解问题 方法技巧：用“参数分离法”将方程整理为（、含参数）的形式，根据整数解条件确定参数取值，注意分母不为0的限制。 【典例10】. （25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】. （2025七年级上·全国·专题练习）若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【变式2】. （25-26七年级上·山东日照·月考）若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 【变式3】. （25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 题型11一元一次方程的错解与遮挡问题 方法技巧：错解问题：将错解代入错误方程求参数，再解原方程；遮挡问题：将已知解代入方程，建立关于遮挡量的方程求解。 【典例11】. （2025七年级上·江苏连云港·专题练习）已知是关于的方程，在解这个方程时，小虎误将看作，解得，请你帮助小虎求出原方程的解． 【变式1】. （25-26七年级上·山东日照·月考）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值． 【变式2】. （25-26七年级上·江西赣州·月考）马小哈在解一元一次方程“”时，不小心将墨水泼在作业本上了，其中有一个未知数的系数看不清了，他便问同桌，同桌告诉他答案是“”，马小哈很快就知道被墨水遮住的系数了，请你算一算，被墨水遮住的系数是多少． 【变式3】. （25-26七年级上·河南安阳·期中）按要求完成下列各题： (1)关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值． (2)小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 题型12解含绝对值的一元一次方程 方法技巧：根据绝对值内表达式正负分类讨论，去绝对值符号转化为普通一元一次方程，求解后检验解是否符合分类条件。 【典例12】. （25-26七年级上·安徽安庆·期中）关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 【变式1】. （25-26七年级上·四川·月考）关于的方程的所有解的和为 ． 【变式2】. （25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，则该方程的根有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．大于或等于2 【变式3】. （25-26七年级上·陕西商洛·月考）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 题型13用整体思想解一元一次方程 方法技巧：将重复出现的含未知数代数式设为整体（如设），简化方程后先求整体值，再回代求未知数。 【典例13】. （25-26七年级上·山西朔州·月考）学习了“一元一次方程”后，同学们对一元一次方程的解法进行了交流，请你仔细阅读： 小明：我用去括号、移项的方法，计算比较繁琐； 小亮：我用整体求解法，先将看成整体进行移项、合并同类项，得 ，即，再将系数化为1，求出，最后求出x的值． 请你利用小亮的方法解方程：． 【变式1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【变式2】. （24-25七年级上·广东韶关·期末）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）【知识呈现】中的代数式化简的结果为________；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为4，求代数式的值； 【灵活运用】 （3）求中的值． 【变式3】. （25-26七年级上·安徽阜阳·月考）阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并：； (2)拓展运用：若，求代数式的值：； (3)迁移运用：已知．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是5．一动点从点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上向一个方向运动；同时另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为秒，当时，求的值． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列对等式的变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（23-24七年级上·广西南宁·期中）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级上·青海海南·期末）一艘船从甲码头到乙码头逆水而行，用了；从乙码头返回甲码头顺水而行，用了，已知水流的速度为，则船在静水中的平均速度是多少？设船在静水中的平均速度为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 二、填空题 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）关于x的方程的一个解是，则 ． 7．（25-26七年级上·青海海南·期末）下表是当取不同值时，整式对应的值，则关于的方程的解为 ． … 0 2 4 … … 1 5 … 8．（25-26七年级上·青海西宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则 ． 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两车同时从相距的、两地相向而行，甲车每小时行，经过2小时两车之间的距离为乙车行驶路程的，则乙车每小时行 ． 10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）若关于的方程解为，则关于的方程的解为 ． 三、解答题 11．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）解方程 (1) (2) (3) 12．（25-26七年级上·山西运城·期末）苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 13．（25-26七年级上·宁夏中卫·期末）某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ 14．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：___________，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 方程两边同除以，得，第五步 任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步进行的是__________，这一步的依据是__________（填写具体内容）； ②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，改正为__________． ③请直接写出该方程正确的解为__________； 任务二：学以致用，请解方程：． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为，则称点为点A的“倍联动点”（a、b均为正整数）．例如，点A表示的数为2，当，时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当，时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是________． (2)若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数． (3)已知数轴上两点M、N表示的数分别为m、，且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”与点Q之间的距离始终为3，求k的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程 教学目标 1.理解一元一次方程的定义和标准形式，能准确识别一元一次方程及验证方程的解。 2.掌握等式的基本性质，能熟练运用步骤解各类一元一次方程，提高计算准确率。 3.能从实际问题中抽象等量关系，列一元一次方程解决常见应用问题，培养建模能力。 4.识别并规避解方程及应用中的易错点，形成严谨的数学思维习惯。 5.体会方程思想的实用性，感受数学与生活的紧密联系，提升应用意识。 教学重难点 重点 （1）一元一次方程的定义、标准形式及正确解法。 （2）从实际问题中分析等量关系并列出一元一次方程。 （3）等式基本性质的理解与在方程变形中的应用。 （4）常见实际问题（行程、工程、和差倍分）的方程求解。 难点 （1）实际问题中等量关系的精准挖掘与文字语言向符号语言的转化。 （2）含分母、括号的一元一次方程解法中，去分母漏乘、去括号变号错误的规避。 （3）含参数一元一次方程的解的讨论（有解、无解、整数解）。 （4）结合图表、古代情境等创新型应用问题的建模过程。 知识点01：一元一次方程的概念与方程的解 只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等号两边都是整式的方程，叫作一元一次方程；标准形式为（其中，、为常数）。使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解（也叫根），可通过代入验证。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·月考）已知是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与的解相同，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的同解问题． （1）根据一元一次方程的定义得到且，进而求解即可； （2）求出方程的解，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴且， ∴； （2）解：∵， ∴可化为， 解得：， ∵该方程的解与的解相同， ∴， 解得：． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知方程相关的形式，利用已知方程的解求解． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴，即， 由关于x的方程的解为， 因此当时方程成立， ∴， 解得． 故答案为：1． 知识点02：等式的基本性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即若，则； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即若，则（为任意数），若且，则。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）已知等式，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答的关键． 根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立，选项B中，仅在时成立，但题目未指定a和b的值，因此错误． 【详解】解：∵， ∴选项A：，成立； 选项B：，不一定为0，故不成立； 选项C：，成立； 选项D：成立． 故选B． 知识点03：一元一次方程的解法步骤 基本思路是将方程转化为的形式，核心步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，步骤可根据方程特点灵活调整。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， ． 知识点04：一元一次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤：审（找已知量、未知量及等量关系）→设（直接设或间接设未知数）→列（列一元一次方程）→解（解方程）→验（检验解的实际意义）→答（写答案）。 1．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？（） 【答案】(1)400元 (2)7折 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设每件服装的标价是元，根据售价与进价的关系：如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元，则进价售价 ；如果按标价的八折出售，将盈利70元，则进价售价 ，据此列出方程求解即可； （2）设打折销售能恰好保证利润率为，先算出进价，再由利润率公式得：售价进价进价利润率，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， 由题意得：， 解得：． 答：每件服装的标价是元． （2）解：设打折销售能恰好保证利润率为， 进价为：元， 由题意得：， 解得：． 答：打折销售能恰好保证利润率为． 【即学即练】 知识点05：常见实际问题的等量关系 包括和差倍分问题（、）、行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×时间，总工作量常设为1）、销售利润问题（利润=售价-成本，售价=标价×折扣）等。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以的速度行进，走了的时候，学校要将一个紧急通知传给队长．通讯员从学校出发，骑自行车以的速度按原路追上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？ 分析：等量关系：① 用的时间 用的时间； ②追上时， 所走的路程 所走的路程．设通讯员追上学生队伍需要，则行进了，学生队伍共走了 ．等量关系如图． 由题意，可列方程 ． 【答案】 通讯员 学生队伍 通讯员 学生队伍 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．设通讯员需小时可以追上学生队伍，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：， 等量关系：①通讯员用的时间学生队伍用的时间； ②追上时，通讯员所走的路程学生队伍所走的路程．设通讯员追上学生队伍需要，则行进了，学生队伍共走了． 由题意，可列方程． 故答案为：通讯员；学生队伍；通讯员；学生队伍；；． 知识点06：高频易错点辨析 移项忘变号、去分母漏乘不含分母的项、去括号时符号错误、系数化为1时混淆乘除运算、忽略一元一次方程中的条件。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把y系数化为1，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型01识别方程与一次方程 方法技巧：判断方程需满足“含未知数+是等式”；判断一次方程需额外满足“只含一个未知数+未知数次数为1+等号两边是整式”，逐一验证条件即可。 【典例1】. （25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫作方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，不是等式，故不是方程； 选项B：，不是等式，故不是方程； 选项C：，是等式且含有未知数x，故是方程； 选项D：，是等式但不含未知数，故不是方程． 故选：C． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆南川·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式和多项式统称为整式 B．倒数等于本身的数有0和1 C．所有等式都是方程 D．最小的有理数是0 【答案】A 【分析】本题考查整式、倒数、方程和有理数的概念，准确理解概念定义是解题的关键．根据整式、倒数、方程和有理数的概念逐项判断即可． 【详解】解：、单项式和多项式统称为整式，故本选项符合题意； 、倒数等于本身的数是，0没有倒数，故本选项不符合题意； 、方程必须是含有未知数的等式，故本选项不符合题意； 、有理数没有最小值，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式2】. （25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数指数必须为1且系数不为零是解题关键．根据一元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ， 故答案为：3． 【变式3】. （25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若该方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列式求解． （2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得的值． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴且， 即且， 解得； （2）解：由，得， 由（1）知原方程为， 当时，原方程为， 解得． 题型02根据一元一次方程定义求参数 方法技巧：先将方程整理为标准形式，再满足三个条件：①只含一个未知数；②；③，列不等式或方程求解参数。 【典例2】. （25-26七年级上·河南许昌·月考）若是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程为一元一次方程． 【详解】∵是一元一次方程， ∴． ∴． 故答案为： 【变式1】. （25-26七年级上·江苏盐城·月考）若是一元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数应为1，得出，然后求出a的值即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：2． 【变式2】. （25-26七年级上·贵州黔西·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，n为常数，且是该一元一次方程的解，求m和n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫作一元一次方程，据此列式求出m的值，再把代入原方程求出n的值即可． 【详解】解：因为关于x的方程是一元一次方程， 所以， 所以， 所以该一元一次方程是． 因为是该方程的解， 所以， 所以． 【变式3】. （24-25七年级上·江西吉安·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 题型03等式性质的应用（方程变形） 方法技巧：牢记等式两大性质，变形时遵循“同加同减、同乘同除（除不为0）”，判断变形正误需对比等式两边变化是否一致。 【典例3】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知等式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以一个不为０的数，等式仍然成立，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴两边同时加3得：， 即，故A正确； ，故B不正确； ，故C不正确； ，故D不正确． 故选：A． 【变式1】. （25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质判断． 根据等式的基本性质判断：等式两边同时加、减、乘、除（除数不为零）同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：A、∵，∴（等式性质1），正确； B、由无法得到，如时，，，，错误； C、当时，和无意义，因此不一定成立，错误； D、由无法得到，如时，，错误； 故选：A． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）下列等式的变形不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 即等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个数（除数不为零），等式仍然成立，选项D的变形错误，因为两边同时乘以负数时符号处理错误． 【详解】解：∵选项A：由，两边同时加上，得，成立； ∵选项B：由，两边同时减去，得，成立； ∵选项C：由，两边同时加上3，得，成立； ∵选项D：由，两边同时乘以，得，不成立； 故选：D． 【变式3】. （25-26七年级上·山东日照·月考）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是等式的基本性质：等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A、若，则或，原写法错误，不符合题意； B、若，则，原写法错误，不符合题意； C、若，当时，等式两边同时除以，可得；当时，等式恒为，此时与可以为任意数，不一定相等。故原说法错误，不符合题意； D、若，则，那么，故，正确，符合题意； 故选：D． 题型04解一元一次方程 方法技巧：按“移项（变号）→合并同类项→系数化为1”步骤求解，移项时注意常数项与含未知数项分类移动，系数化为1时关注系数正负。 去分母时乘所有分母的最小公倍数，不漏乘常数项；分子是多项式时加括号；去括号遵循“先小后大”，括号前是“-”需变号；后续按移项、合并、系数化为1求解。 【典例4】. （25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程． 合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 整理得， 系数化为1得． 【变式1】. （25-26七年级上·湖北宜昌·期末）解方程: 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步求解即可． 【详解】解： 去分母（两边同乘12），得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式2】. （25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项，最后系数化为1即可求解； （2）移项，合并同类项，最后系数化为1即可求解； 本题考查了解一元一次方程，掌握移项和合并同类项是解题关键． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键． （1）先算乘方，再算括号内的运算，再算乘法，最后计算减法运算即可； （2）先去分母，再去括号，移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得， 系数化为1得：． 题型05已知方程的解求参数 方法技巧：将方程的解代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，按常规步骤求解参数，最后可代入验证。 【典例5】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）若是方程的解，则的值是（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，将代入方程，得出关于k的方程，求解k的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入方程得：， 解得：． 故选：C． 【变式1】. （25-26六年级上·上海普陀·月考）已知是方程的解，那么a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解以及解一元一次方程． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 【变式2】. （25-26七年级上·山东德州·月考）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏南京·月考）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性地计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 题型06一元一次方程的应用（和差倍分问题） 方法技巧：根据“倍数关系设未知数，和差关系列等式”，明确谁是基准量，避免设元混乱，解后检验是否符合实际数量关系。 【典例6】. （25-26七年级上·广西崇左·月考）某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；每人分4个则差2个；问有多少个小朋友？设有x个小朋友，则可列方程为（　　） A． B．= C． D．= 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，根据苹果总数不变，每人分3个剩1个，苹果总数为；每人分4个差2个，苹果总数为；列方程. 【详解】解：每人分3个剩1个，苹果总数为； 每人分4个差2个，苹果总数为； ∵苹果总数不变， ∴． 故选：A． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，今年10月该厂生产再生纸，比去年10月再生纸产量的2倍还多，去年10月该造纸厂生产再生纸多少吨？设去年10月该造纸厂生产再生纸x吨，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意，今年产量1000吨是去年产量x吨的2倍还多150吨，因此方程为． 【详解】解：∵今年产量比去年产量的2倍多150吨， ∴． 故选：B． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两车间原有人数的比是，从甲车间调出48人到乙车间后，甲车间的人数是乙车间的．甲、乙两车间原来各有多少人？ 【答案】甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲车间原有人，乙车间原有人，则调出后甲车间有人，乙车间有人，根据调入后甲车间的人数是乙车间的建立方程求解即可． 【详解】解：设甲车间原有人，乙车间原有人， 由题意得， 解得， ∴ 答：甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人． 【变式3】. （25-26七年级上·广东东莞·月考）在一次劳动课上，有35名同学在甲处劳动，有21名同学在乙处劳动，现在另调25人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲处多少人？ 【答案】19 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设调往甲处x人，则调往乙处人，调整后，甲处人数为人，乙处人数为人，根据调整后甲处人数是乙处人数的2倍列出方程，解方程即可． 【详解】解：设调往甲处x人，则调往乙处人， 由题意，得． 解得， 答：应调往甲处19人． 题型07一元一次方程的应用（行程、工程问题） 方法技巧：行程问题先区分相遇（）或追及（）类型；工程问题设总工作量为1，利用“效率和×时间=工作量”列方程。 【典例7】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）操场一周是400米，小明每秒跑6米，小华骑自行车每秒行驶16米，两人绕跑道同时同地同向而行，他们用了 秒第一次相遇． 【答案】 40 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设第一次相遇的时间为t秒，根据路程差等于400列出方程，求出解即可． 【详解】解：设第一次相遇的时间为t秒，根据题意，得 ， 解得． 故答案为：40． 【变式1】. （25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找到等量关系“七年级和八年级一起工作1小时完成的工作量加上七年级单独工作x小时完成的工作量等于总工作量”是解题的关键． 根据总工作量为1，七年级和八年级一起工作1小时完成的工作量加上七年级单独工作x小时完成的工作量等于总工作量，列出方程即可． 【详解】设总工作量为1，七年级的工作效率为，八年级的工作效率为，两个年级一起工作1小时完成的工作量为，七年级单独工作x小时完成的工作量为， 根据等量关系得：． 故答案为． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)天 (2)甲队万元，乙队万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，熟练掌握工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的关系，准确根据工作量、费用的等量关系建立方程是解题的关键． （1）把工程总量设为单位“”，先计算甲单独做天的工作量，再用剩余工作量除以甲乙合作的工作效率，得到合作所需天数； （2）设乙工作总天数为未知数，根据“甲单独做的工作量乙单独做的工作量总工作量”列方程求工作天数，再设甲每天施工费为未知数，结合总费用列方程求解． 【详解】（1）解：设还需要天完成，则 ， ， ， ， 答：还需要9天才能完成． （2）解：设乙工作总天数为天，则甲工作天数为天． ， ， ， ， ， 甲工作天数：（天） 设甲每天施工费为万元，则乙每天施工费为万元． ， ， ， ， 乙每天施工费： 答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏南京·期末）从地到地是一段相距千米先上坡，再下坡的公路．一辆汽车从地驶往地后再原路返回地，汽车在上坡时的速度为千米时，下坡时的速度为千米时，从地驶往地所需时间比从地驶往地所需时间多小时，求从地驶往地时上坡和下坡的路程． 【答案】上坡的路程为，下坡的路程为 【分析】本题考查了一元一次方程应用，行程问题，解题的关键是掌握行程问题的等量关系，列出相应的方程．根据“从地驶往地所需时间比从地驶往地所需时间多小时”可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设从地驶往地时上坡的路程为，则下坡的路程为， 由题意得：， 解得， 则． 答：从地驶往地时上坡的路程为，下坡的路程为． 题型8一元一次方程的应用（销售、利润问题） 方法技巧：牢记核心公式“利润=售价-成本”“利润率=”，明确折扣对应的售价比例，通过表格梳理已知量与未知量的关系。 【典例8】. （25-26七年级上·辽宁丹东·期末）商场以240元/件的价格购进某种商品，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【答案】该商品的原售价为400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设该商品的原售价为元．利用按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品的原售价为元． 根据题意，得， 解得． 答：该商品的原售价为400 元． 【变式1】. （25-26七年级上·广东潮州·月考）某商店将一件商品按进价提高后标价，再打7折销售，售价为210元，设进价为x元，列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解成本价与折扣的关系是解题关键． 根据题意，进价提高后标价，再打7折得售价210元，列方程即可． 【详解】解：设进价为元， 则这件商品的标价为， 打7折后售价为， 列方程，得． 故选：B． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）靖边苦荞以籽粒大小一致、皮薄、出粉率高、营养丰富的特点而闻名．某商店购进20罐靖边苦荞，每罐以150克为标准，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数．这20罐靖边苦荞与标准质量的偏差数据记录如下： 与标准质量的偏差数据/克 0 罐数/罐 4 2 3 4 6 1 (1)这20罐靖边苦荞中，最重的一罐比最轻的一罐重多少克？ (2)与标准质量相比，这20罐靖边苦荞总计超过或不足多少克？ (3)已知该商店购进靖边苦荞每罐的进价相同，若将这20罐靖边苦荞以每罐4.5元的价格全部售出（不计损耗），该商店共可获利，求每罐靖边苦荞的进价．（列方程解答） 【答案】(1)最重的一罐比最轻的一罐重5克 (2)这20罐靖边苦荞总计超过9克 (3)每罐靖边苦荞的进价是元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题，熟练掌握运算法则和定义是关键． （1）根据正负数的意义进行求解即可； （2）将偏差的数据乘以罐数，再求和，判断正负即可解答； （3）设每罐靖边苦荞的进价是x元，根据“商店共可获利”列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴最重的一罐与标准质量的偏差克，最轻的一罐与标准质量的偏差克， ∴两者相差（克）， 答：最重的一罐比最轻的一罐重5克． （2）解： （克）， 答：这20罐靖边苦荞总计超过9克． （3）解：设每罐靖边苦荞的进价是x元，根据题意，得 ， 解得， 答：每罐靖边苦荞的进价是元． 【变式3】. （25-26七年级上·北京东城·期末）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件． (3)小华在购物打折前的总金额为元或者元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）种商品的利润率为，设种商品的进价为元件，则，解得故B种商品的进价为元件． （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：每件种商品利润率为； 种商品每件进价为元， 故答案为：，元； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元， 由题意得， 解得：， 打折前购物金额超过元， ， 解得：， 故小华在购物打折前的总金额为元或者元． 题型9含参数一元一次方程的解的讨论 方法技巧：先将方程整理为形式，时方程有唯一解；且时方程无解；且时方程有无数解。 【典例9】. （2024七年级上·全国·专题练习）阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，将方程整理得：，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】. （22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果关于x的方程无解，那么实数a需要满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意，由关于x的方程无解，即可得a的范围． 【详解】解：∵关于x的方程无解， ∴． 故答案为：． 【变式2】. （23-24七年级下·吉林长春·月考）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 【变式3】. （2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 题型10含参数一元一次方程的整数解问题 方法技巧：用“参数分离法”将方程整理为（、含参数）的形式，根据整数解条件确定参数取值，注意分母不为0的限制。 【典例10】. （25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 【变式1】. （2025七年级上·全国·专题练习）若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【答案】3或5 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，已知方程的解求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程得到，再根据方程的解大于4且为整数即可求解． 【详解】解：， 解得， ∵都是整数， ∴为15的因数． ∴， 又∵， ∴=1或3， ∴或5． 【变式2】. （25-26七年级上·山东日照·月考）若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，多项式的定义． 先解方程得到，由解为整数知是4的因数，即、、；再根据多项式是二次三项式，要求二次项系数且一次项系数，排除和，得到满足条件的值，最后求这些值的和． 【详解】解：， 化简得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是整数， ∴是4的因数，即、、， ∵多项式是二次三项式， ∴且， ∴且， ∴满足条件的值为、、、、， ∴这些值之和为． 故选：B． 【变式3】. （25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1： ， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 题型11一元一次方程的错解与遮挡问题 方法技巧：错解问题：将错解代入错误方程求参数，再解原方程；遮挡问题：将已知解代入方程，建立关于遮挡量的方程求解。 【典例11】. （2025七年级上·江苏连云港·专题练习）已知是关于的方程，在解这个方程时，小虎误将看作，解得，请你帮助小虎求出原方程的解． 【答案】 【分析】把代入方程，解方程求得a值，再解方程． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是关于的方程的解， ∴， 解得， 故正确的方程是， 解得， 故方程的解为． 【变式1】. （25-26七年级上·山东日照·月考）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程、一元一次方程的解法，解题时要能读懂题意并列出方程是关键． （1）依据题意得，当时，方程为，进而计算可以得解； （2）依据题意，由误将“”看作“”，得到方程的解为，可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，当时，方程为． 去分母得，． 去括号得，． 移项、合并同类项得，． 系数化1得，． （2）解：由题意，误将“”看作“”，得到方程的解为， ． 方程两边同乘30，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得． 【变式2】. （25-26七年级上·江西赣州·月考）马小哈在解一元一次方程“”时，不小心将墨水泼在作业本上了，其中有一个未知数的系数看不清了，他便问同桌，同桌告诉他答案是“”，马小哈很快就知道被墨水遮住的系数了，请你算一算，被墨水遮住的系数是多少． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被墨水遮住的系数为，则方程为，代入到方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：设被墨水遮住的系数为， 则方程为， 代入得，， 解得， 答：被墨水遮住的系数是． 【变式3】. （25-26七年级上·河南安阳·期中）按要求完成下列各题： (1)关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值． (2)小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 【答案】(1) (2)，原方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键． （1）根据方程的解互为倒数，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，再根据乘方的性质，可得答案； （2）先根据错误方程的解，求出的值，再列出正确的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程的解与方程的解互为倒数， ∴方程的解为． ，解得． ． （2）由题意得：错误的方程为：， 将代入得：，解得， ∴原方程为：，解得． 题型12解含绝对值的一元一次方程 方法技巧：根据绝对值内表达式正负分类讨论，去绝对值符号转化为普通一元一次方程，求解后检验解是否符合分类条件。 【典例12】. （25-26七年级上·安徽安庆·期中）关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的代数意义，将实数轴按绝对值内表达式的零点（即和）分为三个区间：、和，在每个区间内去绝对值符号，求解方程，并验证解是否满足区间条件即可，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 当时，方程化为， 此时解得； 验证：对于，总有，故解符合题意； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，该解不满足（当时，当时，当 时方程无解），故无解； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，总有，故解符合题意； 综上所述，方程的解为 或， 故答案为：或． 【变式1】. （25-26七年级上·四川·月考）关于的方程的所有解的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值的性质．根据绝对值的性质，原方程变形为或，然后分别求出方程的解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或； ∴方程的所有解的和为． 故答案为：8． 【变式2】. （25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，则该方程的根有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．大于或等于2 【答案】A 【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，利用零点分段讨论即可得解． 【详解】解：对于， 令得，令得， 故绝对值内表达式的零点为0，，，以此对x的取值范围进行分段讨论： ①当时，，， ∵， ∴， ∴（舍去）； ②当时，，，， ∵， ∴， ∴（舍去）； ③当时，，，， ∴与矛盾， ∴此种情况不成立； ④当时，，，， ∵， ∴， ∴（舍去）， 综上所述，该方程的根有0个． 故选：A． 【变式3】. （25-26七年级上·陕西商洛·月考）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解绝对值方程，理解题干中解绝对值方程的方法是解题的关键． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （3）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，解得， 方程的解是或， 故答案为：或； （2）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，它的解是， 方程的解为或； （3）①当时，， 原方程可化为，解得； ②当时，， 原方程可化为 ，化简得 ，该等式不成立，故方程在此范围内无解 ③当时，， 原方程可化为，解得； 综上，方程：的解为或． 题型13用整体思想解一元一次方程 方法技巧：将重复出现的含未知数代数式设为整体（如设），简化方程后先求整体值，再回代求未知数。 【典例13】. （25-26七年级上·山西朔州·月考）学习了“一元一次方程”后，同学们对一元一次方程的解法进行了交流，请你仔细阅读： 小明：我用去括号、移项的方法，计算比较繁琐； 小亮：我用整体求解法，先将看成整体进行移项、合并同类项，得 ，即，再将系数化为1，求出，最后求出x的值． 请你利用小亮的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程—拓展，正确计算是解题的关键，根据整体求解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 移项并合并同类项，得． 【变式1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 【变式2】. （24-25七年级上·广东韶关·期末）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）【知识呈现】中的代数式化简的结果为________；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为4，求代数式的值； 【灵活运用】 （3）求中的值． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题主要考查了绝对值及列代数式，理解题中所给整体思想是解题的关键． （1）根据所给方法对代数式进行化简即可； （2）利用整体思想即可解决问题； （3）将看作一个整体进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知，令， 则原式， ∴ ， 故答案为：； （2）依题意，由得，， ∴； （3）依题意，令， 则原方程可化为， 解得， ∴， 则， ∴，． 【变式3】. （25-26七年级上·安徽阜阳·月考）阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并：； (2)拓展运用：若，求代数式的值：； (3)迁移运用：已知．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是5．一动点从点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上向一个方向运动；同时另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，或 【分析】本题主要考查代数式求值和整式的加减运算，一元一次方程的应用，掌握整体代入法是解题的关键． （1）利用整体的思想进行合并即可； （2）先利用整体的思想进行合并，然后整体代入计算即可； （3）先求出，，，然后分两种情况讨论：点在数轴上向右运动；点在数轴上向左运动． 根据题意将原式进行变形，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 当时，原式； （3）解：因为， 所以， 所以点表示的数是2，点表示的数是－6， 因为点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动，运动时间为秒， 所以点表示的数是，则． ①当点在数轴上向右运动时，点表示的数是， 则． 若，即，解得（不合题意，舍去）或． ②当点在数轴上向左运动时，点表示的数是， 则． 若，即， 解得（不合题意，舍去）或． 综上：当时，或． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程）判断各选项． 【详解】解：一元一次方程需满足：①是等式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为1， 对于A：，未知数x的最高次数为2，不符合条件③； 对于B：，不含未知数，不符合条件②； 对于C：，不是等式，不符合条件①； 对于D：，是等式方程，只含未知数x，且x的次数为1，符合所有条件； 故选：D． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列对等式的变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握其知识点是解题的关键．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A．，两边同时得，选项等式的变形错误，不合题意； B．，两边同时减去5得，选项等式的变形正确，符合题意； C．，两边同时乘以得，不能肯定得到，选项等式的变形错误，不合题意； D．，两边同时除以得，选项等式的变形错误，不合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级上·广西南宁·期中）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，解题关键是明确图形所表达的“等式两边同时加同一个数，等式仍成立”这一性质，再将其与各选项对应的等式性质进行匹配．本题依据等式的性质依次进行判断即可． 【详解】解：如图的事实具有的性质为：等式两边同时加同一个数，等式仍成立； A. 若，则，不满足等式两边同时加同一个数； B.若，则，不满足等式两边同时加同一个数； C.若，则，满足等式两边同时加同一个数，等式仍成立； D. 若，则，不满足等式两边同时加同一个数． 故选：C． 4．（25-26七年级上·青海海南·期末）一艘船从甲码头到乙码头逆水而行，用了；从乙码头返回甲码头顺水而行，用了，已知水流的速度为，则船在静水中的平均速度是多少？设船在静水中的平均速度为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，正确理解顺水速度、逆水速度、静水速度之间的关系是解决本题的关键．根据路程相等列方程即可得解． 【详解】解：设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为． 由题意，得． 故选：． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解与代数式值的联系，解题的关键是将方程转化为代数式的值的问题求解． 先将方程变形为，再结合表格找出对应的值． 【详解】解：方程变形为， 由表格可知，当时，， 所以方程的解是． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）关于x的方程的一个解是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将方程的解代入方程，得到关于a和b的关系式，再整体代入求值即可． 【详解】解：关于x的方程的一个解是， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·青海海南·期末）下表是当取不同值时，整式对应的值，则关于的方程的解为 ． … 0 2 4 … … 1 5 … 【答案】1014 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解一元一次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据表格中时，求出；再根据时，求出；代入方程，解一元一次方程即可． 【详解】解∶由表格数据， 当时，，即， 解得； 当时，，即， 解得； 方程化为， 解得． 故答案为：1014． 8．（25-26七年级上·青海西宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查新定义方程和解一元一次方程，先解方程求出x的值，然后根据新定义得到的解，然后代入计算即可． 【详解】解：解方程得， 根据“和谐方程”的定义可得的解为， 把代入得， 解得， 故答案为：． 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两车同时从相距的、两地相向而行，甲车每小时行，经过2小时两车之间的距离为乙车行驶路程的，则乙车每小时行 ． 【答案】70或130 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解， 【详解】设乙车每小时行，经过2小时，甲车行驶， 乙车行驶，两车之间的距离为； 情况一：两车未相遇，有，解得； 情况二：两车相遇后相距，有，解得． 故答案为：70或130． 10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）若关于的方程解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．两个方程形式相似，由第一个方程的解为，整理得，将第二个方程变形为，可得，据此计算可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 即， ，变形为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时除以2即可得到答案； （2）先合并同类项，再把方程两边同时除以即可得到答案； （3）根据除法中各部分之间的关系，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ； （3）解： ． 12．（25-26七年级上·山西运城·期末）苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 【答案】甲种型号的“手幅”的单价是元，乙种型号的“手幅”的商品单价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元． 根据题意得：， 解得， ． 答：甲种型号的“手幅”单价是元，乙种型号的“手幅”单价是元． 13．（25-26七年级上·宁夏中卫·期末）某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 【分析】本题考查有理数的乘法运算、一元一次方程的实际运用等知识点，根据题意找出等量关系建立方程并求解是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有x人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解即可． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有x人， 由题意，得， 解得：． 答：2班有44人． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：___________，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 方程两边同除以，得，第五步 任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步进行的是__________，这一步的依据是__________（填写具体内容）； ②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，改正为__________． ③请直接写出该方程正确的解为__________； 任务二：学以致用，请解方程：． 【答案】任务一：①去分母；等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式；②三，；③；任务二： 【分析】本题考查一元一次方程的解法，涉及去分母、去括号、移项等步骤，需注意移项时符号的变化． 任务一：根据去分母法则和移项法则求解即可； 任务二：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：①第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，改正为； ③ 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以，得， ∴该方程正确的解为； 任务二：解方程： 去分母，得 ， 去括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得，， 两边同除以11，得 ． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为，则称点为点A的“倍联动点”（a、b均为正整数）．例如，点A表示的数为2，当，时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当，时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是________． (2)若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数． (3)已知数轴上两点M、N表示的数分别为m、，且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”与点Q之间的距离始终为3，求k的值． 【答案】(1)1或4 (2)4或 (3)9或3 【分析】（1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可； （2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数； （3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3，判断出k的取值和无关，即可确定对应的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值． 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点的倍联动点表示的数为， 根据“倍联动点”的定义，，∵a、均为正整数， ∴和， 当时，点的“2倍联动点”表示的数为； 当时，点的“2倍联动点”表示的数为， ∴点的“2倍联动点”表示的数是1或4， 故答案为：1或4； （2）解：设点表示的数是，由“ab倍联动点”的定义可得， ∴， ∵，且均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，代入，无解， 答：点表示的数为4或； （3）解：设运动时间为秒，则点表示的数是，点表示的数是， 点为点的6倍联动点，， ∴若点表示的数为，则， ∵等式左边的式子的值与有关， ∴不符合题意； 若点表示的数为，则 或， 或， ∵点为点的“倍联动点”，即且， 当时，可得， ∴ 当时，可得， ∴； 若点表示的数为，则， ∵等式左边的式子的值与有关， ∴不符合题意； 若点表示的数为，则， ∵等式左边的式子的值与有关， ∴不符合题意； 综上所述，的值为9或3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $